数字电子技术基础知识

1数字电子技术根底学问

1.1学习要求

0）了解数字电路的特点以及数制和编码的概念。

0）把握规律代数的根本运算法则、根本公式、根本定理和化简方法。

0）能够娴熟地运用真值表、规律表达式、波形图和规律图表示规律函数，并

会利用卡诺图化简规律函数。

1.2学习指导

本章重点：

0）规律函数各种表示方法之间的相互转换。

0）规律函数的化简及变换。

本章难点：

0）规律函数各种表示方法之间的相互转换。

0）规律函数的化简及变换。

本章考点：

Q）规律函数各种表示方法之间的相互转换。

0）规律函数的化简及变换。

1.2.1数字电路概述

1.数字信号与数字电路

在数值上和时间上均连续的信号称为模拟信号，对模拟信号进展传输、处理的电

子线路称为模拟电路。在数值上和时间上均不连续的信号称为数字信号，对数字信号

进展传输、处理的电子线路称为数字电路。

数字电路的特点：

（D）输入和输出信号均为脉冲信号，一般高电平用1表示，低电平用0表示。

0）电子元件工作在开关状态，即要么饱和，要么截止。

0）争论的目标是输入与输出之间的规律关系，而不是大小和相位关系。

@）争论的工具是规律代数和二进制计数法。

2.数制及其转换

0）数制

基数和权：一种数制所具有的数码个数称为该数制的基数，该数制的数中不同位

置上数码的单位数值称为该数制的位权或权。

十进制：基数为10,承受的10个数码为0~9,进位规章为“逢十进一”，从个

位起各位的权分别为10。、101、102,•••lOn-lo

二进制：基数为2,只有0和1两个数码，进位规章为“逢二进一”，从个位起

各位的权分别为2。、21、22、…2n-l。

16进制：基数为16,承受的16个数码为0~9、A-F,进位规章为“逢十六进

一“，从个位起各位的权分别为160、16K162,•••I6n-1O

0）数制之间的转换

其他进制转换为十进制：承受多项式求和法，马上其他进制的数依据基数和权开

放为多项式，求出该多项式的和，即得相应的十进制数。

十进制整数转换为其他进制：承受除基数取余数法，马上十进制整数连续除以其

他进制的基数，求得各次的余数，直到商为0为止，然后将先得到的余数列在低位、

后得到的余数列在高位，即得相应的其他进制数。

二进制与16进制之间的转换：将16进制转换为二进制数，每一个16进制数码

用4位二进制数表示即可；将二进制整数转换为16进制数，从低位开头，每4位为

一组转换为相应的16进制数即可。

3.编码

将数值、文字、符号及一些特定操作等信号用二进制数码来表示称为编码。

将十进制的10个数码分别用4位二进制代码表示称为二-十进制编码，也称

BCD码。常用的BCD码有8421码、余3码、格雷码、2421码、5421码等。

8421码的10个十进制数码与自然二进制数对应，即用二进制数的0000~

1001来分别表示十进制数的0〜9,它是一种有权码，各位的权从左到右分别为8、

4、2、1,假设8421码各位分别为明、4、%、a0,则它所代表的十进制数的值为：

N=8a+4a+2a+la

3210

其他BCD码中，2421码和5421码是有权码，余3码由8421码加3得来，是

无权码，格雷码的特点是从一个代码变为相邻的另一个代码时只有一位发生变化。

1.2.2规律代数

规律代数是分析和设计数字电路的数学工具是。规律代数也用字母（A,B,

C，…）表示变量，但变量的取值只有0和1两种，分别代表两种相反的规律状态。

规律代数表示的是规律关系，不是数量关系。在规律代数中只有规律乘（与运算）、

规律加（或运算）和规律非（非运算）3种根本运算，其他的根本公式和定理是依据

这3种根本运算推导出来的。

1..规律代数的公式和定理

0）根本运算

与运算：A0=0

Al=A

A=A

AA=Q

或运算：A+0=A

A+l=1

A+A=4

AjA=1

非运算：A=A

0）根本定理

交换律：AB=BA

A+B=B+A

结合律：ABC=(AB)C=A{BC)

A+8+C=(A+8)+C=A+(B+C)

安排律：A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+。

吸取律：AB+AB=A

(A+8)(A+豆)=A

A+AB=A

A(A+B)=A

A(A+B)=AB

A+AB=A+B

反演律（摩根定律）：~AB=A+B

A+B=AB

2.规律函数的表示方法

规律函数有真值表、规律表达式、规律图、波形图和卡诺图5种表示形式，只要

知道其中一种表示形式，就可转换为其他几种表示形式。

。）真值表：真值表是由变量全部可能的取值组合及其对应的函数值构成的表

格。真值表的列写方法是：将n个变量的2n种不同的取值按二进制递增规律排列起

来，同时在相应位置上填入函数的值即可。

0）规律表达式：规律表达式是由规律变量和与、或、非3种运算符联接起来

构成的式子。依据真值表写规律表达式的方法是：取尸=1（或尸=0）的输入变量组

合到规律表达式。对于每一种取值组合而言，输入变量之间是与规律关系。对应于

F=1,假设输入变量的值为1.则取其原变量；假设输入变量的值为0,则取其反变

量。而后取乘积项。各种取值组合之间是或规律关系，故取以上乘积项之和。

0）规律图：规律图是由表示规律运算的规律符号构成的图形。依据规律表

达式画规律图的方法是：规律乘用与门实现，规律加用或门实现，规律非用非门实现。

如判偶函数F=ABC+~ABC+ABC+ABC,需要3个非门来实现变量A、B、C的非运

算，4个与门来实现与运算X=A5忑二Y=ABC>Z=A反：和川=48不，另外还需1

个或门将上述4项相加，规律图如图1.1所示。

依据规律图写规律表达式的方法是：从输入端到输出端，逐级写出各个门电路的

规律表达式，最终写出各个输出端的规律表达式。

@〕波形图：波形图是由输入变量的全部可能取值组合的高、低电平及其对

应的输出函数值的高、低电平构成的图形。

0）卡诺图：将规律函数真值表中的各行排列成矩阵形式，在矩阵的左方和

上方依据格雷码的挨次写上输入变量的取值，在矩阵的各个小方格内填入输入变量各

组

取值所对应的输出函数值，这样构成的图形就是卡诺图。2变量的异或函数尸

=A£T+AB=4㊉8、3变量的判偶函数尸=A万C+4圮+48。一以及4变量的函数

尸=4B5+CD函卡诺图分别如图1.2（a）、（b）、（c）所示。

3规律函数的化简

规律函数通过化简得到的最简与或表达式中，所含与项的数目最少，而且每个与

项的变量数目也最少。规律函数的化简有公式法和卡诺图法等。

图1-2规律函数的卡诺图

a-异或函数的卡诺图b-判偶函数的卡诺图c-F=ZBD+d）的卡诺图

①）公式化简法：公式化简法是运用规律代数的根本公式和定理来化简规律函

数。公式化简法有并项法（应用4+A=l）、配项法（应用A=4（B+3）、加项法

（应用A+4=A）、吸取法（应用A+AB=A）等方法。

0）卡诺图化简法：卡诺图化简法是将规律函数用卡诺图来表示，在卡诺图

上通过并项操作将函数化简。卡诺图化简法的原则是：画出规律函数的卡诺图后，将

卡

诺图中2，，（〃=0、1、2、3、…）个值为1的相邻小方格圈起来，圈内小方格个数应

尽可能多，圈的个数应最少，每个圈必需包含至少一个在已圈过的圈中没有消灭过

的小方格，每个小方格可被圈屡次，最终将代表每个圈的与项相加，即得所求函数的

最简与或表达式。

1.3习题解答

1.1将十进制数75转换成二进制和16进制数。

分析将十进制整数转换成二进制数承受除2取余法，转换成16进制数除了采

用除16取余法，也可从所得的二进制数每4位一组直接转换为16进制数。

解首先将十进制数75转换成二进制数。将十进制整数75连续除以2,求得各

次的余数，直到商为0为止，然后将先得到的余数列在低位、后得到的余数列在高

位，即得相应的其他进制数。转换过程可用短除法表示，如图7.3所示。所以：

（75）10=（1001011）2

将十进制数75转换成16进制数，可承受除16取余法：75除以16,得商4及

最低位的余数11（16进制数B）,再将商4除以2,得商0及余数4,所以：

（75）1。=哂6

1.2将以下各数转换成十进制数：（101）2，（101）16。

分析将其他进制数转换为十进制数承受多项式求和法。

解将(101)2转换成十进制数，为：

(101)=(1x22+0x21+1x20)=(5).0

210

将(101)16转换成十进制数，为：

(101)=(1x162+0x161+1x160)=(257),0

1610

275余数

237A低位

218

290

24

220

20

0高位

图1-3习题1.2解答用图

1.3将二进制数110111、1001101分别转换成十进制数和16进制数。

解将二进制数1101111001101转换成十进制数，分别为：

(110111)=(1x25+1x24+0x23+1x22+1x2】+1x20)=(55)

21010

(1001101)=(1x26+0x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x2。)=(77)

21010

将二进制数110111、1001101转换成16进制数，分别为：

(110111)2=(37儿

(1001101)=(4D)

216

1.4将十进制数92转换成二进制码及8421码。

分析十进制数与8421码的转换按位转换即可。

解将十进制数92转换成二进制码用短除法表示，如图7.4所示。

292余数

2_460低位

2_230

2_1_1_

2_5

2_2_1

210

0高位

图1-4习题1.4解答用图

所以:

(92)=(1011100)

1()2

由于9的8421码为1001,2的8421码为0010,所以，将十进制数92转换成

8421码为：

(92)=(10010010)

108421

1.5数码100100101001作为二进制码或8421码时，其相应的十进制数各为多少？

解数码100100101001作为二进制码时，其相应的十进制数为：

(100100101001)=(1x2n+1x28+1x25+1x23+1x2。)=(2345)

21010

数码100100101001作为8421码时，其相应的十进制数为：

(100100101001)=(929)

842110

1.6利用真值表证明以下等式。

。)~AB~+AB=(A'+B)(A+B)

0)A+A(B+C)=A+B+C

0)ABC+ABC+ABC+ABC~+ABC+ABCVABCVABC=1

@)~AB+BC+CA^AB+BC+CA

分析利用真值表证明等式的方法是：列出等号两边函数的真值表，看看是否完

全一样，完全一样则等式成立，否则等式不成立。

解(1)设后+不8,F2=(A+~B)(A+B),真值表如表1-1所示。由表1-1

可知，对于变量A、h的每一种取值:F与F的值完全一样，所以原等式成立。

12

表1-1习题1.6〔1〕的真值表

4BFo

0000

0111

1011

1100

②)设=4+五(B+C),F=A+~BVC,真值表如表1-2所示。由表1-2可

F2

1

知，对于变量A、B、C的每一种取值，々与尸2的值完全一样，所以原等式成立。

表1-2习题1.6〔2〕的真值表

ARCFc

00011

00100

01000

01100

10011

10111

11011

11111

&)设=ABC+ABU+ABC+ABC+ABC+ABC+AB~C+ABC,F=1直

p2一3

1

值表如表1-3所示。由表1-3可知，对于变量A、B、C的每一种取值，匕与尸2的值

完全一样，所以原等式成立。

表1-3习题1.6〔3〕的真值表

ABCFy八

00011

00111

01011

01111

10011

10111

11011

11111

④)设=AB+BC+CA,F=AB+^C+~CA,真值表如表1-4所示。由表14

F2

可知，对于变京A、B、C的每一种取值，F与F的值完全一样，所以原等式成立。

12

表习题1.6〔4〕的真值表

ARc乙八

00000

00111

01011

01111

10011

10111

11011

11100

1.7在以下各个规律函数表达式中，变量A、B、C为哪些种取值时函数值为1?

(D)F=AB+BC+AC

0)F=(A+B)AB+BC

0)F=ABC+ABC~ABC+ABC

&)ABrBC~+~AC

分析列出函数的真值表，即可一目了然地看出变量为哪些种取值时函数值为1o

解(1)函数的真值表如表1-5中的1、2两列所示，可见当变量A、B、C的取

值分别为011、101、110、111时函数值为1。

0)尸=(A+B)AB二BC=(A+®(T+豆)(B+ABC，AB,函数的真值表如表1-5

中的1、3两列所示，可见当变量A、B、C的取值分别为011.100.101时函数值为1。

0）函数的真值表如表1-5中的1、4两列所示，可见当变量A、B、C的取值

分别为001、010、100、111时函数值为1o

®）函数的真值表如表1-5中的1、5两列所示，可见当变量A、B、C的取值

分

别为000、001>010、100时函数值为1。

表1-5习题1.7的真值表

ARCFFFF

0000001

0010011

0100011

0111100

1000111

1011100

1101000

1111010

1.8利用公式和定理证明以下等式。

(D)ABC+ABC+ABC=AB+AC

0)A+ABC+ACD+(C~D)E=A+CD+E

0)AB(C+D)+D+D(A+B)(B~C)=A~BC+D

@)ABCD+ABCD=AB+BC+CD+DA

分析利用规律代数的公式和定理，由等式右边的表达式推导出左边的表达式，

或者由等式左边的表达式推导出右边的表达式。

解(1)ABC+ABC+ABC~=AB(C+C)+AC(B+AB+AC

(2)A++ACD+(C+D)E=A+ACD+CDE=A+CD+CDE=A+CD+E

(3)AB(C+D)+D+D(A+C)=ABC+ABD+D+D[AB~+AC~+BC)

=ABC+D+AB+AC+BC=ABC+ABC+BC+D=A+BC+D

(4)AB+BC+CD+DA=(A+B)(B+C)(C+D)(D+A)

=(AB+~AC+BC){CD+CA+DA)=ABCD+ABCD

1.9某4个规律函数的真值表如表1-6所示，试分别将表中各规律函数用其他4

种方法表示出来，并将各函数化简后用与非门画出规律图。

表1-6习题1.9的真值表

ARCFy凡F3“4

0000000

0010101

0101101

0110011

1001100

1010010

1101010

1110111

分析由规律函数的真值表可直接写出规律表达式并画出波形图和卡诺图，而规

律图则需要依据规律表达式才能画出。

解由真值表写出各函数的规律表达式，化简后转化为与非形式，为:_

片=ABC+ABC+ABC=AC+BC=AC+BC=AU-记

F2=ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=ABC-ABC-ABC-ABC

F3=ABC+ABC+ABC+ABC=AB+BC+CA=AB+BC+CA=ABBCCA

F,=ABC+ABC+ABC+ABC=AB+BC+CA=AB+BC+CA=ABBCcf

4

由各函数的规律表达式画出规律图，如图1・5所示。

A

&0-0F

B2

C

图1-5

0）由真值表画出各函数的波形图，如图1・6所示。

图1-6习题1.9的波形图

0）由真值表画出各函数的卡诺图，如图1-7所示。

7c7c

0()011110?<00()11110

000010010I

1100111010

ab

7c7c

?<000111100001111G

0001000111

1011110010

cd

图1-7习题1.9的卡诺图

a-/的卡诺图b-52的卡诺图c-尸3的卡诺图d-F4的卡诺图

1.10用公式法将以下各规律函数化简成为最简与或表达式。

(D)F~=ABC+ABC+ABC+ABC

0)F^=A+B+C+ABC

0)F=ACD+ABD+BC+ACD+ABD

&)F=ABC+AB~AD+AD

(5)F=A(A+B)+B(B+C)+B

6)F=ABC+AB+BC

0)F^AB+ABC+A(B+AB)

8)F=(AB+AB~+AB)(A+B+D+ABD)

分析公式化简法有并项法(应用A+W=1)、配项法(应用A=A(B+B),加项

法(应用A+A=4)、吸取法(应用A+48=4)等方法，其关键在于娴熟把握规律

代数的根本公式和守。

解(1)F=ABC+ABC+ABC+ABC=AC(B+B)+AB(C~C)=AC+AB

(2)F=A+B+C+ABC=~ABC+ABC=1

(3)F=ACD'+ABD+BC+ACD+ABD=ACD+AB(D~+D)+BC+ACD

=ACD+AB+BC+ACD

d>)F=ABC+AB~AD~AD=AB(C+])+D(A+A)^AB+D

&)F=TA(A+B)+B(B+C)+B=AB+BB+BC+B=B

6)F=ABC+AB+BC=(ABCTAB)(B~C)'^AB'^ABC'^AB

(D)F=AB+ABC+A(B+AB)=A+AC+AB+AB~=A+TT=1=0

6))F=(AB+AB'+AB)(A+B+D+ABD)=(A+B)(ABD~rABD)=A+B

1.11用卡诺图法将以下各规律函数化简成为最简与或表达式。

(D)F=ABCD+ABCD+AB~AD+ABC

0)F=AB+BCD+ABD+ABCD

0)F=ABCD+~BCD+ABD+BCD~+ABC

@)F~^~ABCD~+~ABCD+ABCD+ABCD

0)F=ABC+AC+ABC~+BC

6)尸工7kB匚丽)C+而]Gt•万(4+8)

0)F=ABC+BD(A+C)+(8+D)AC

®)r=ABC~+ABC~+ABC+ABC

分析卡诺图化简法时画圈(并项)的原则是：圈内相邻小方格个数为2〃个，圈

内小方格个数应尽可能多，圈的个数应最少，每个圈必需包含至少一个在己圈过的

圈中没有消灭过的小方格，每个小方格可被圈屡次，最终将代表每个圈的与项相加，

即得所求函数的最简与或表达式。

解(1)卡诺图如图1-8所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为：

F=AB+AC+AD

Q)卡诺图如图1-9所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为：

F=AB+BC+AD

0)卡诺图如图1-10所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为:

F=BD+ACD+ABD

)卡诺图如图1-11所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为:

F=BD

0)先将函数化为与或表达式,为：

F=ABC+AC+~ABC+BC=ABC+(A+C)(A+B+C)(B+C)=ABC+C

卡诺图如图1-12所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为：

F=C

6)先将函数化为与或表咨主，为:

F=(AB+BD)C+BDAC+D(A+B)=ABC+BCD+ABD+BCD+ABD

卡诺图如图1-13所示，由卡诺图得化简后的规律表达式为：