第二章：平面向量的教材分析与教法建议

第二章：“平面向量”的教材分析与教法建议房山区教师进修学校张吉一、地位与作用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。二、课程学习目标本章主要包括向量的线性运算、向量的分解与向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量应用四部分内容。通过本章学习，应引导学生：

1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。

2．通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

3．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件。4．了解向量的线性运算性质及其几何意义。5．了解平面向量的基本定理及其意义。6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。8．会用坐标表示的平面向量共线的条件。9．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。11．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。三、本章重点与难点（一）重点：（1）向量的线性运算及应用；（2）数量积的运算及应用。（二）难点：（1）理解平面向量基本定理；（2）理解平面向量分解定理。四、本章内容安排

本章共安排了4个小节内容，大约需要12个课时，具体分配如下（仅供参考）：节次内容课时2．1向量的线性运算

4课时2．1．1向量的的概念1课时2．1．2向量的加法1课时2．1．3向量的减法2．1．4数乘向量1课时2．1．5向量共线的条件与数轴上向量坐标运算1课时2．2向量的分解与向量的坐标运算2课时2．2．1平面向量的基本定理1课时2．2．2向量的正角分解与向量的直角坐标运算1课时2．2．3用平面向量坐标表示向量共线条件2．3平面向量的数量积2课时2．3．1向量数量积的物理背景与定义1课时2．3．2向量数量积的运算律1课时2．3．3向量数量积的坐标公式与度量公式2．4向量的应用2课时2．4．1向量在几何中的应用1课时2．4．2向量在物理中的应用1课时小结与复习2课时五、本章教材编写时注意了以下几个问题

1．突出向量的物理背景与几何背景教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；在2.1节，通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。

教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果a+x=b，则x叫做向量b与a的差。这样，作b－a时，可先在平面内取一点，再作，则就是b－a。第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知、，定义。在这种定义下，作时，可先在平面内任取一点，作，，则由向量加法的平行四边形法则知，。由于，即就是。实践表明，中学生理解第一种定义方法存在困难，但能容易地作出；接受第二种定义方法容易，但作较繁。为便于学生接受，教科书先类比相反数给出相反向量，再把定义为，然后借助几何直观得出的作法（向量减法的几何意义）。2．强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。例如，在引入向量的概念时，联系了位移、物体在液体中的受力分析、弹簧受力分析等；向量的加法运算、平面向量的正交分解、平面向量的数量积等都与相应的物理问题建立联系；向量加法的三角形法则和平行四边形法则与位移的合成、力的合成相联系。另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。

3．根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容。

向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念→向量的线性运算→平面向量基本定理及坐标表示→向量的数量积→向量应用举例。

具体的考虑是：（1）借助力、速度、位移等现实中的常见现象，让学生认识引进向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，给出向量的概念。

（2）数学中引进一个新的量，自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与我们熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发，因此在引进向量概念后接着讨论向量的线性运算（加、减及数乘）是很自然的。只是要对向量与数之间不同的地方要非常小心，也即运算中除了考虑大小，还要考虑方向问题。这里，为了便于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法。（3）受到数轴上的点表示数的启发，向量能不能用类似于数轴上的点的形式来表示呢？根据这个想法，以向量的加法运算为基础，得出平面向量基本定理，就可以引进向量的坐标表示。

（4）从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？还是从向量的物理背景中得到启发，可以定义两个向量的数量积运算，并讨论运算律问题。至于向量是否可以作其他运算，以及如何定义，可以作为悬念留待今后解决。（5）学习的目的在于应用，应用的过程中可以加深理解相关知识，因此安排了“向量的简单应用”。本章内容的这种想法，如果能够让学生在学习过程中明确起来，那么对他们掌握本章内容会有很大帮助。这里需要说明的是，向量的坐标表示的引入，由于目的不同而有不同的处理方式。高等数学教材中，往往采取先介绍向量的概念及各种运算，并直接用向量解决有关几何问题，然后再引进坐标，并用向量和坐标方法讨论空间直线、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章为了尽早让学生知道处理几何问题的另两种方法——向量法和坐标法，突出数形结合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引进向量的坐标，并把向量的线性运算及向量的共线等用坐标表示。4．强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。

向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律（a+b=b+a）又可以表示平行四边形的性质（在平行四边形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD）。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为：[形到数]——[数的运算]——[数到形]；则向量方法可简单地表述为：[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。5．通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。又如，在学习向量的运算及运算律时，也是从数谈起的：“数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比，向量是否也能进行运算呢？”“数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算。类似的，向量的加法是否也有运算律呢？”“我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则？”……再如，在向量的坐标表示中，先提出问题：“在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐标表示，并把向量（有向线段）的坐标与点的坐标对应起来，实现向量的运算到数的运算的转化。6．用恰时恰点的问题引导学生的数学思维。

本章充分利用“观察”“思考”“探究”等栏目设置了大量问题，教科书通过这些问题来启发学生独立思考，加强数学知识的形成过程，提高学生的数学思维水平。例如，引进向量加法运算时，通过“探究”栏目，创设从力的合成到向量加法的问题情景；讨论向量加法的运算律时，提出“数的加法满足交换律与结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律？请画图进行探索。”在讨论向量数乘运算时，先提出“已知非零向量，作出++和（-）+（-）+（-）。你能说明它们的几何意义吗？”平面向量基本定理的引入，先让学生思考“给定平面内任意两个向量，请作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面内任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引导学生从具体到抽象，概括出平面向量基本定理。六、对本章教学的几个建议1．引导学生用数学模型的观点看待向量内容在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。2．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。

值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平。3．引导学生认真体会向量法的思想实质向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具。教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意。4．注意与数及其运算、解析几何的思想方法的类比前已指出，向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比使学生体会向量研究中的问题与方法，使向量的学习有一个好的思维固着点。这样的类比是教学中提高思想性的有效手段，因此教学中应当予以充分的关注。另外，从思想实质来说，向量法与解析法是完全一致的，教学中可以引导学生回顾数学2中归纳的解析法的“三步曲”，然后让学生自己概括出向量法的“三步曲”。顺便指出，作为向量数量化依据的平面向量基本定理，教科书是通过具体的例子来说明同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合，这种表示是学生所不熟悉的。教学中应当充分用好具体例子，使学生形成对基本定理的直观理解，但不要加以证明。在进入平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算后，可以引导学生通过例题，在解决线段的定比分点、平移、平面上两点之间的距离等问题的过程中，使学生看到结果与在数学2中得到的一样，从而进一步体会平面向量基本定理的内涵。七、分节分析（一）向量的线性运算（共4课时）2．1向量的线性运算2．1．1向量的概念（1课时）1．教学要求（1）在物理学上一个向量为从始点到终点的位移，在几何上向量表示一点相对于另一点的位置；（2）知道如何用向量确定点的位置，给定一点，另一点的位置可用向量唯一确定；（3）向量的有关概念。2．内容分析（1）位移的概念：表示质点位置变化的物理量，它只与质点的起点与终点位置有关，与质点实际运行的路径无关。（2）向量的有关概念：①有向线段的概念；②向量、向量的方向、向量的大小（模）、向量的基线的概念；③向量的几何表示：有向线段；④零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等基本概念；⑤自由向量：只有大小和方向，而无特定位置的向量。（3）用向量表示点的位置3．本节重点、难点（1）重点：①向量的概念；②相等向量的概念；③向量的几何表示。（2）难点：向量的概念的理解。4．教法建议（1）向量概念的教学。在几何学中，点是构成平面最基本的元素，连结两点间的线段是空间最基本的图形。这一小节，我们探究的是，在平面内如何表示一点到另一点的位移，以及如何确定一点相对于另一点的位置（用位置向量）。由此，引出有向线段和向量的概念，并讲解如何用向量确定点的位置，为向量在几何中的应用奠定必要的基础。（2）思考与讨论的目的是想说明，向量与平行四边形的特征性质：“如果四边形中，有一组对边平行且相等，则另一组对边平行且相等”之间的内在联系。即，两条不共线的有向线段表示同一向量的充要条件是：它们起点与起点、终点与终点相连构成平行四边形。这一讨论的另外一个目的是，为下一节学习加法交换律打下基础。（3）书中例题的解，直接给出了答案，没有说理。教学时，还是建议教师要引导学生说出理由。从而复习正六边形和平行四边形的有关性质。（4）强化几何与向量的联系。（4）练习A、B全做。练习B中的2、3可以增加要求“说明理由”，让学生复习有关平面几何知识。在学习平面向量时要抓住一切机会，让学生复习平面几何的知识。5．例题分析（课本例题）2．1．2向量的加法与2．1．3向量的减法（1课时）1．教学要求（1）理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则；（2）学生要熟练地掌握向量的加法运算及其运算律；（3）理解向量的减法运算为向量加法运算的逆运算；（4）能熟练地通过作图，求作两个向量的差。2．内容分析（1）向量加法的定义：向理加法是利用几何作图来定义的，方法有三角法则、平行四边形法法则、多边形法则。（2）两向量的和向量与原向量之间的关系①②+=③当向量不共线时，的方向与不同向，且④当向量同向时，的方向与同向，且当向量反向时，若，则的方向与同向，且；若，则的方向与反向，且。（3）加法运算律①交换律：；②结合律：（4）向量减法的定义：有两种方法，第一种类比运算中的加减互为逆运算，将向量减法定义为加法的逆运算；第二种方法是定义相反向量的基础上，通过各量加法定义向量减法。3．本节重点与难点（1）重点：（1）向量加法的三角形法则与平行四边形法则的运用；（2）向量减法法则的运用。（2）难点：对向量的加法与减法定义的理解。4．教学建议（1）建议直接从位移的合成引入向量的加法运算。认真分析“从点A位移到点B，再从点B位移到点C，等效于从点A到点C的位移”这句话的含义。（2）要认真地证明向量加法的交换律、结合律。特别是交换律的证明，不要忽略。教师要领悟到，向量加法交换律与“在四边形中，如果有一组对边平行且相等，则另一组对边也一定平行且相行”这个命题是等价的。正由于这个事实，才使我们能把全等与平行的性质转化为向量的加法运算及运算律表示。（3）本小节设置的“思考与讨论”的目的是，说明求向量和与表示向量的有向线段的起点的选择无关。向量加法构成的三角形平移到任何位置，其关系不变。通过证明这一事实进一步沟通“全等”“平行”与向量加法运算间的联系。（4）讲向量减法运算时，最好先复习一下数的减法运算和代数和概念。然后用逆运算的观点引入向量的减法运算。（5）应注意共线向量求差的作图方法。（6）练习A的1、2、3可作为课堂练习。练习A的4和B可留作课外作业。请教师们关注一下练习A的第4题，最好在下一节课，先对它作一小结，然后再讲减法运算。5．例题分析（课本例题）2．1．4数乘向量（1课时）1．教学要求（1）理解数乘向量所表达的几何意义；（2）理解数乘向量分配律所表达的几何意义。2．内容分析（1）数乘向量的定义：实数与向量和乘积是一个向量，记作，且它的长，当>0时，与同方向；<0时，与反方向；当时，=；（2）数乘向量的运算律：①；②③（3）向量线性运算的概念：向量的加法、减法、数乘向量的综合运算。3．本节重点、难点(1)重点：①数乘向量的定义；(2)数乘向量的运算律。（2）难点:正确运用法则、运算律，进行向量的线性运算4．教学建议（1）应该采用归纳对比的教学方式，与数的乘法进行对比。当学生充分理解3a、a与a的意义后，再给出数乘向量的一般定义。（2）建议探索与研究在课堂上进行。对分配律进行探索与说理是很重要的。高中学生一定要养成处处说理的习惯。培养学生的科学精神，是数学教育一项重要任务。（3）例1和例2可以由学生自己完成。例3由老师讲解，说明例3的几何意义。如过条件允许的话，最好启发学生思考分配律与相似三角形的判断定理之间的关系。向量等式，表明了在三角形OAB和三角形OA’B’中，有两边对应成比例而且夹角相等。例中用分配律证明了，即第三条边也成比例，也就是证明了这两个三角形相似。（4）教师要理解，如果把例3中的数3换为任意实数λ，则上面的过程也就证明了相似三角形的一个判断定理：如果在两个三角形中，有两条边对应成比例且其夹角相等，则第三条边也对应成比例，即两三角形相似。反之，由相似三角形判断定理可以推出数乘向量的分配律成立。由上面分析可得出，相似三角形判断定理与数乘向量分律是等价的。这样，我们就可用数乘向量的分配律处理有关放大缩小及相似的问题。（5）练习A、B全做。5．例题分析（课本例题）2．1．5向量共线的条件与轴上向量的坐标运算（1课时）1．教学要求（1）要求学生理解向量平行（共线）概念和平行向量基本定理，并能像例1那样，证明几何中简单的平行问题；（2）理解轴和轴上向量的概念。理解轴上向量的坐标，建立轴上向量与实数的一一对应关系。（3）学生能用向量的观点理解数轴，能用轴上向量运算证明解析几何基本公式AB+BC=AC，AB=x2-x1，|AB|=|x2-x1|，能用向量确定直线上点的位置。2．内容分析（1）平行（共线）向量：如果向量的基线平行或重合，则称这些向量共线或平行。（2）平行向量的基本定理：若，则∥，反之，若∥，则且，则一定存在唯一一个实数，使得。（3）轴上向量的坐标及运算①轴：规定了方向和长度单位的直线；②给定单位向量，它能生成与它平行的所有向量的集合为；③A、B是轴上两点，坐示分别为，则AB=，（4）向量的单位向量：与向量同方向，且长度为1的向量。4．教学建议（1）平行向量基本定理是建立直线坐标系的理论基础。一定要让学生扎实的掌握，这样能使数形结合思想在学生头脑中牢牢地扎根。（2）本节知识看似简单，其实极为重要，一定要重视。这一小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线（平行）、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等。这些知识看似简单，但极为重要。这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台。（3）向量的平行，是用向量的基线平行定义的。并规定零向量可以与任意一个向量平行。从这里可以看出引入向量基线的作用。引入基线，主要是逻辑上的考虑。我们把向量平行建立在直线平行的基础上。这样，向量与几何紧密相连，又可避开直接用方向来定义向量的平行。（4）平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明。教学时，没有必要补充证明。（5）轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出。一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念。理解轴上向量与其实数（坐标）的一一对应关系。书中没有提轴上向量的减法运算，它应包含在加法运算之中。（6）轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过，这里用向量再重新推导，目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆。直接学习必修4的学生，更应该认真学习，提高学生对这些公式的理性认识。（7）练习和习题都比较简单，要求学生全做。5．例题分析（课本例题）（二）2．2向量的分解与向量的坐标运算（2课时）2．2．1平面向量基本定理（1课）1．教学要求（1）理解平面向量的基本定理；（2）理解平面向量与数偶的一一对应关系和向量的坐标表示；（3）通过例2掌握直线的向量表达式和中点公式；（4）解题时能合理地选择基底表示向量，并进行向量运算。2．内容分析（1）平面向量基本定理：如果，是一平面内的两个不平行向量，那么对该平面内的任一向量，存在唯一一对实数，使得；（2）直线的向量表达式：设A、B是同一直线上三点，O是直线外一点，则对直线上任一点P，存在实数，使=；（3）线段中点的向量表达式：上式中，若M为AB的中点，则。3．本节重点、难点（1）重点：平面向量的基本定理及应用。（2）难点：平面向量的基本定理及应用。4．教学建议（1）教科书中，先用实例归纳出基本定理，然后做形式化的证明。（2）实际教学时，形式化证明可以省略。特别是唯一性证明，可能多数学生难以理解。但一定要对“唯一性”加以说明，以便应用唯一性解题。（3）由基本定理，分析向量与数偶的一一对应关系和向量的坐标概念。一个数偶对应平面内一个向量，即对应一个平行且相等的有向线段的集合。（4）建议引导学生推导直线的向量表达式和中点公式。应注意，直线的向量表达式和中点公式应让学生记忆。（5）建议增加思考与讨论：假设O、A、B是平面上三个定点，而且，思考点P在直线AB上的条件。（6）练习A，B的设置，全是为了学生熟练地掌握基本定理，要求学生全做。不需要增加技巧题。5．例题分析（课本例题）2．2．2向量的正交分解与各量的直角坐标运算，2．2．3用平面向量坐标表示向量共线性运算，1．教学要求（1）熟练地掌握向量的坐标运算。(2)理解正交分解的概念，用向量的观点重新认识直角坐标系，区分向量坐标与点的坐标的异同；(3)

已知向量的长度和方向转角，会求向量的坐标，知道向量始点和终点的坐标，会求向量的坐标；(4)

掌握线段的中点公式的坐标表示，会根据已知条件，确定直线上点的位置。(5)

会推导两向量平行的坐标表示；(6)

掌握判断两个向量平行（或共线）的条件。2．内容分析（1）向量垂直：若两向量的基线垂直，则称两向量垂直。（2）正交基底：若基底的两个向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底。（3）正交分解：在正交基底下分解向量，叫正交分解。（4）向量的直角坐标表示：设，，则①②③④设点A，点B，则向量（4）线段中点坐标公式：已知A，B，则线段AB中点M的坐标为，（5）用平面向量坐标表示两向量平行的条件：设，，∥4．教学建议(1)

复习基本定理、基底，引出向量的垂直、正交分解和正交基底的概念。让学生用基本定理重新认识平面直角坐标系。用三角函数的定义，初步建立向量与长度、角度之间的联系a1=|a|cosθ，a2=|a|sinθ。（2）教师应引导学生自己推导运算法则。(3)

认真向学生分析，向量的坐标与点坐标之间的关系。(4)做完前6个例题，总结用向量确定点位置的计算方法。（5）注意渗透数形结合思想。（6）下一章我们要证明，a1b2-a2b1为向量a、b张成的平行四边形的面积。它是解析几何中一个重要的不变量。显然，面积为零，两向量共线。5．例题分析（课本例题）（三）2．3平面向量的数量积（2课时）向量的数量积与距离、角度紧密相联，它是度量几何学的基础。如何度量距离和角度是几何学发展两个强大的动力。从直接度量到相似和勾股计算，从解直角三角形，到正弦和余弦定理，人们已可解决各种各样的有关角度和距离的度量。向量的数量积使度量几何上升到一个崭新的层面，使人们能更有效地用代数方法研究几何，向量的数量积已成为研究几何度量的强有力的工具。2．3．1向量数量积的物理背景与定义（1课时）1．教学要求(1)

理解投影公式al=|a|cosθ的意义和作用。(2)

掌握数量积的定义、几何意义和5条基本性质。2．内容分析（1）力做功的计算：，其中是力在物体位移方向上的分量的数量，也是力在物体位移方向上正射影的数量。（2）两个向量的夹角：①让两向量共起点后，两向量正方向所成的最小正角；②两向量夹角的表示：③范围：（3）向量在轴上的正射影：向量在轴上的正射影记作，向量的方向与轴所正向所成的角为，则=。（4）向量的数量积（内积）①定义：②内积的五个性质：若是单位向量，则；若，则，且若，则；，即；=；3．本节重点、难点（1）重点：向量数量积的定义与性质（2）难点：对向理数量积的定义的理解与应用。4．教学建议(1)

通过对物理中做功计算的分析，引入向量的在轴上的投影计算公式。(2)

先回到力做功的计算，定义W=|s|(|f|cosθ)=s·f，再引入向量的数量积定义。(3)

学生对运算的意义，通过集合运算、向量的加法、数乘向量，已突破算术运算的框框，学生在形式上会接受定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的算律。为下一节讲算律埋下伏笔。（4）对数量积，应向学生强调以下几点。①两个向量的和，数乘向量的积都仍是一个向量；②两个向量的数量积，就不在是一个向量，而是一个实数；③在向量集合中，任取两个向量，它们的数量积对应实数集中一个唯一的实数。(5)

引导学生推导数量积的5条性质。这5条性质是度量几何最基本的5个关系式，它的重要作用显现在它们的坐标表达式之中。这里，主要是通过定义，讲清楚它们的几何意义。(6)

设置的练习题，主要是巩固学生对数量积的定义的理解，并掌握其性质。

5．例题分析（课本例题）2．3．2向量数量积的运算律与2．3．3向量数量积的坐标运算与度量公式（1课时）1．教学要求(1)

掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和；(2)

能用运算律证明简单的几何问题；（3）掌握推导数量积坐标表达式的过程，熟练掌握向量垂直的条件、距离公式和夹角公式；（4）体会数量积与长度、角度间的联系。2．内容分析（1）数量积的运算律：①②③（2）向量数量积的坐标表示与度量公式：设，，则①向量内积的坐标表示：②两向量垂直的条件：③向量的长度：④向量的夹角：=⑤设点A，B，则3．本节重点、难点（1）重点：①对向量数量积运算律的理解和运用；②向量数量积的坐标表示与度量分式。（2）难点：①对向量数量积运算律的理解和运用；②灵活运用公式解决实际问题。4．教学建议(1)

由恒等变形|a|(|b|cosθ)=|b|(|a|cosθ)，得出ab=ba。(2)

认真证明分配律，揭示分配律的几何意义。为用分配律运算解几何问题打下坚实的基础。(3)

例1中的（1）、（2）、（3），主要是让学生熟悉算律的应用。但这三个向量表达式，有深刻的几何意义。如果在△ABC中令，则，，，且。则（1）和（3）都是余弦定理的向量表达式。也就是说，（1）和（3）已证明了余弦定理。显然，这时接着学习正、余弦定理是顺理成章的事。但教材依据课标，把这一内容放到必修5中，以便那个时候再返回到低的层面上循环。其教育价值，值得研究。建议讲解（1）和（3）时，顺便画图，说一下其几何意义，为以后学习埋下伏笔。例1中的（2），作出图来，显示的是平行四边形的性质。当等式右边等于0，也就证明了菱形的对角线互相垂直。这也是例2要求证明的。(4)

2．3．3

这一节，主要是把数量积运算，完全坐标化。实际上，a1b1+a2b2表示两个向量的数量积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是解析几何中一个重要的不变量。在度量几何中有着重要应用。这样，遇到几何中的度量问题，就可通过建立坐标系，用代数方法来处理。教学时引导学生自己推导数量积的坐标表达式。(5)

引导学生自己推导两个向量垂直的条件a1b1+a2b2=0。有了这个条件，就可通过计算数量积处理相关的垂直问题。引导学生写出与向量（a1，a2）垂直的向量的坐标形式为：k(-a2，a1)。特别与它垂直的两个单位向量，以及，。记住与(a1，a2)垂直的两个向量是有益的。(6)

引导学生自己推导向量长度、距离和夹角公式。(7)

引导学有余力的学生进行思考与讨论，用两个向量垂直的条件证明90°的诱导公式。(8)

讲解2．3．3

例4时，已知（a，b），要求学生会写出关于直线y=x的轴对称点的坐标（b，a）。(9)

练习A、B的练习都是度量公式基本应用，学生应能熟练地做出。

（10）学生基础好的学校也可安排一个例题：已知点A（2，5），B（1，2），而且C（4，3），求点A到直线BC的距离。引导学生通过向量运算求解。求出向量BC垂直的单位向量h0，则点A到直线BC的距离。5．例题分析（课本例题）（四）2.4向量的应用这一节的重点是，向量在解析几何中的应用。

2．4．1向量在几何中的应用1．教学要求(1)

通过书中例子，了解向量在平面几何中的应用，但不引导学生用向量去解平面几何问题；(2)

理解向量与直线平行、向量与直线垂直的概念、直线斜率与直线方向向量间的关系；(3)

会求通过一点且与已知向量