中考数学二轮复习几何模型归纳讲练专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型（原卷版）

专题19相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔SKIPIF1<0例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形SKIPIF1<0中，点E，F，G，H分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，若菱形的面积等于24，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．

例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形SKIPIF1<0中，点D、E分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点F，交SKIPIF1<0于点G，求SKIPIF1<0．

例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点F、G在SKIPIF1<0上，点E、H分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高．SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的长为____________．例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在SKIPIF1<0中，D，E，F分别为SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，求证：SKIPIF1<0．(2)如图2，在（1）的条件下，连接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．(3)如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点O，E为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．例5.（2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：SKIPIF1<04）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为___________．例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0的中点，联结SKIPIF1<0并延长交边SKIPIF1<0或边SKIPIF1<0于E．（1）当点E在边SKIPIF1<0上时，①求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点O，记SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：SKIPIF1<0（2）探索推广：如图②，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在SKIPIF1<0上取一点E，使SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，点H为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0值．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔SKIPIF1<02）两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：SKIPIF1<0.3）四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,SKIPIF1<0；结论：AF=AG例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上任一点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，连接SKIPIF1<0相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点O，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0延长线上一点，过点E作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点F．（1）求证SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1.（2021·山东淄博·中考真题）如图，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在同一条直线上．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0之间满足的数量关系式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点E，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长分别是（

）

A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<03．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计SKIPIF1<0，风筝顶角SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取D，E两处，使得SKIPIF1<0，并作一条骨架SKIPIF1<0．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B，C两点间的距离大约是（）（参考数据：SKIPIF1<0）

A．41SKIPIF1<0 B．57SKIPIF1<0 C．82SKIPIF1<0 D．143SKIPIF1<04．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．6．（2023·广东梅州·九年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的长为．

7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一点，点E在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0交于点F，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝．8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，SKIPIF1<0中，点E、F分别在边AB、AC上，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是______．10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_____．11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度SKIPIF1<0远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于SKIPIF1<0）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点SKIPIF1<0处，对其视线可及的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，可测得SKIPIF1<0的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度SKIPIF1<0，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点SKIPIF1<0，如图4，测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（ⅱ）分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上测得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；测得SKIPIF1<0．求解过程：由测量知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵①___________，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0②___________SKIPIF1<0．故小水池的最大宽度为___________SKIPIF1<0．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得SKIPIF1<0用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得SKIPIF1<0．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度SKIPIF1<0，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示，角度用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出SKIPIF1<0，且测量的次数最少，才能得满分）．12．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与实践问题情境：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．独立思考(1)如图SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；问题拓展如图SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是图1中AB上一动点，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(2)当点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点时，求证：SKIPIF1<0；(3)当点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点时，请你直接写出SKIPIF1<0的值．

13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是等边三角形，点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上的一个动点，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，猜测线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，①线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．14．（2023·浙江·九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景：如图1，在四边形SKIPIF1<0中，点F，E，G分别在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0尝试应用：如图2，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中线，点E在SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．迁移拓展：如图3，在等边SKIPIF1<0中，点D在SKIPIF1<0上，点E在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的值．（用含m的式子表示）

16．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在边长为SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），射线SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(2)求证：SKIPIF1<0．(3)以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0长为半径画弧，交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若SKIPIF1<0＝2，求SKIPIF1<0的值；(3)若MN∥BE，求SKIPIF1<0的值．18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：SKIPIF1<0而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得SKIPIF1<0．根据上述这两个式子，可以推出：SKIPIF1<0．（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：SKIPIF1<0？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：SKIPIF1<0．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则SKIPIF1<0．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，SKIPIF1<0．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是．19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0分别是斜边SKIPIF1<0上的动点，并且满足SKIPIF1<0，分别过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0边的垂线，垂足分别为点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值是一个定值．问题：若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0值为___________；【操作探究】如图SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图SKIPIF1<0进行证明，并用含SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的式子表示SKIP