2024届广东省东莞市虎门中学等七校高三上学期联考数学试题及答案

东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.Ttt4nnSss2nnZSÇT=1.已知集合，，则（）A.B.SC.TD.Zz2.在复平面内，复数z对应的点为-)，则（）1i1A.2B.1C.2D.23.对于定义域是R的任意奇函数，都有（）fx0fxfx0fxfxA.B.D.C.fxfx00fxfx4.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．A10B，C(，则ꢀꢀ)现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，B.D.ABCACBA.C.BACCABfxexxt2,3上单调递减，则t的取值范围是（5.函数在）,6A.C.B.D.,4136.等边边长为2，，则ADBC（）232A.1B.1C.D.3a,babab，则的最小值为（7.已知正实数满足ab）83A.9B.8C.3，则b在a上的投影向量为（D.D.，3a0,18.向量）2,00,23,0C.3AB.､二多项选择题：本大题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：xy5689123517202528经过拟合，发现基本符合经验回归方程y2.6xa，则（）A.经验回归直线经过B.aC.x5时，残差为0.2D.若去掉样本点，则样本的相关系数r增大πxfxsin(ω)10.已知函数的部分图象如图所示，则（）2πfxysin2xA.B的图象可由曲线向左平移个单位长度得到3πfx2x62π,0fx是图象的一个对称中心C.37π5πD.在区间fx,上单调递增6411.如图，圆锥SO的底面圆O的直径4，母线长为22，点B是圆O上异于A的动点，则下，C列结论正确的是（）A.SC与底面所成角为45°B.圆锥SO的表面积为42πππ的取值范围是C.,42D.若点B为弧AC的中点，则二面角SO的平面角大小为45°12.已知大气压强随高度hm的变化满足关系式0p，0是海平面大气压强，pPak104.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：/m平均海拔第一级阶梯4000第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p,p,p，则（）1230e0.4103A.B.D.233e0.182C.､三填空题：本大题共小题，每小题分，共4520分.请把答案填在答题卡的相应位置上.(x5aaxax23x3a4x45x5a13.已知，则的值为________．0123sinπ214.已知2，则的值为______.2cos1213131315.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交141516车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．,B是球OP体积的最大16.已知的球面上两点，60，P值为6，则球O的表面积为________.､四解答题：本大题共小题，第6171018､19､20､21､221270分.解答应题分，题各分，共､写出文字说明证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超.出指定区域的答案无效.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aCcAbB17..（1）求B；（2）若b23，的面积为23，求的周长.ABCDAA122,BD18.如图，在长方体中点.中，和交于点为AB的E,F111111EF//1A（1）求证：平面；1（2）求点A到平面CEF的距离.的前项和，已知2Snan3nN*．Sann19.记为数列na（1）求（2）若；n1blog3a2n1nbT150n，求的最大值．n，记n为的前项和，且满足nann20.某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不）.并以此为样本绘制了如图所示的tx同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨频率分布直方图.n(adbc)22附：.abcdacbd00100.1000.0500.0012.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：0.7t0.7t亩产量超过河水灌溉180井水灌溉70合计250试根据小概率值0.05亩产量不超过合计2701304009060150的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？21.投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为p0p．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最fpfpp0大值点；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮p相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进0p一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，0则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．mf(x)x22.已知函数．ex（1）讨论f(x)的单调性；xxf1f2，证明：0me，且2122（2）若，且．12东莞市2023-2024学年第一学期七校联考试卷高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.Ttt4nnSss2nnZSÇT=1.已知集合，，则（）A.B.SC.TD.Z【答案】C【解析】【分析】分析可得TS，由此可得出结论.【详解】任取tT，则t4n122n1，其中nZ，所以，tS，故TS，STT因此，.故选：C.z2.在复平面内，复数z对应的点为-)，则（）1i12A.2B.1C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的几何意义及复数的除法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】因为复数z在复平面内对应的点为-)，所以z1i.z1i1i1i1i2i所以所以，1i1i1i1i2z0211.21i故选：B.3.对于定义域是R的任意奇函数，都有（）fx0fxfx0fxfxA.B.C.fxfx0D.fxfx0【答案】C【解析】【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案.fxfxfx【详解】∵为奇函数，fx∴fxfx，2fxfxfxfxfx0∴，又，∴fx02，f0=0故选：C【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题.4.假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．A10B，则ꢀꢀ，C()现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，B.D.ABCACBA.C.BACCAB【答案】B【解析】nan，bcna}b}为常数列；是首项为10，公n【分析】设三种方案第天的回报分别为，，由条件可知nnc}差为10的等差数列；，C，即可判断大小．是首项为0.4，公比为2的等比数列，然后求出投资10天三种投资方案的总收nA10B益为，n【详解】解：设三种方案第天的回报分别为an，bc，则an40，n，na}b}是首项为10，公差为10的等差数列；n由条件可知为常数列；nc}是首项为0.4，公比为2的等比数列．nA10B，C，设投资10天三种投资方案的总收益为，109A400B101010550；则；210)C10409.2，12所以B10A．1010故选：B．【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于根据生活中的数据，转化到数列中所需的基本量，公差，公比等，属于中档题.fxexxt2,3上单调递减，则t的取值范围是（5.函数在）,6A.C.B.D.,4【答案】A【解析】yxxt的单调性，从而可求得t的取值范围.【分析】根据复合函数的单调性可得3上单xxt【详解】因为函数yex在R上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数y在t3t6调递减，则故选：A，解得.213，则ADBC（6.等边边长为2，）223A.1B.1C.D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解.13【详解】如图所示，由是边长为2的等边三角形，且，可得ADABBD，223ADABBD222所以.3故选：D.a,babab，则的最小值为（7.已知正实数满足ab）83A.9B.8C.3D.【答案】C【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可113，【详解】由条件知abab1111ab3abba13ab(ab)5523，3ba当且仅当ab1时取等号.故选：C，3a0,18.向量，则b在a上的投影向量为（）2,00,23,03D.A.B.C.【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.baa3·【详解】b在a上的投影向量为.aa故选：D.､二多项选择题：本大题共小题，每小题分，共4520分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.某学校一同学研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该同学记录了5天的数据：x568912y1720252835经过拟合，发现基本符合经验回归方程y2.6xa，则（）A.经验回归直线经过B.aC.x5时，残差为0.2D.若去掉样本点，则样本的相关系数增大r【答案】ABC【解析】【分析】计算样本中心点可得验证选项A；由样本中心点计算a验证选项B；根据残差的定义计算验证选项C；根据相关系数r的分析验证选项D．5689121720252835x8，y25，【详解】55所以样本中心点为，则A正确；y2.6xˆ，得ˆy2.6x252.684.2，则B正确；由ˆ2.6x4.2x5时，ˆ2.654.217.2，由B知，，当则残差为1717.20.2，则C正确；由相关系数公式可知，去掉样本点后，相关系数r的公式中的分子、分母的大小都不变，故相关系数r的大小不变，故D不正确．故选：ABC．πxfxsin(ω)10.已知函数的部分图象如图所示，则（）2π的图象可由曲线fxysin2x向左平移个单位长度得到A.3π6B.fx2x2π,0fx是图象的一个对称中心C.37π5πD.在区间fx,上单调递增64【答案】BC【解析】π3fxsin2x【分析】根据函数的图象确定函数的表达式为，即可结合选项逐一求解.14ππTTπ2【详解】由图可知：，126ππππ又经过点22π,kZ,故2,kZ，fx,1，所以1223πππ3,fxsin2x由于故，23π对于A，的图象可由曲线ysin2x向左平移个单位长度得到，故A错误，fx6π6πππ3fx2x对于B，=sin2x=sin2x，故B正确，622π2πfsinπ0,0图象的一个对称中心，故C正确，fx对于C，对于D，令fx，故是33πππ5ππ2π2x2,kZπx,kZ，，解得23212127π13π19π25π7π5π64故的其中两个单调递增区间为在fx不单调递增，故D,,,，，故12121212错误，故选:BC11.如图，圆锥SO的底面圆O的直径4，母线长为22，点B是圆O上异于A，C的动点，则下列结论正确的是（）A.SC与底面所成角为45°B.圆锥SO的表面积为42πππ的取值范围是C.,42D.若点B为弧AC的中点，则二面角SO的平面角大小为45°【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据SO面，由SCOBSO判断；对于，由圆锥的侧面积公式求解SCπ2ASBSDO判断；对于C，由求解判断；对于D，取BC的中点D，连接，，易得为二面角SO的平面角求解判断.【详解】对于A，因为SO面，所以与底面所成角，SCO是SC在Rt△中，圆锥的母线长是22，半径r2，OC22cosSCO，则，所以A正确；则SC222对于B，圆锥SO的侧面积为rl42π，表面积为42π+4π，则B错误；对于C，当点B与点A重合时，ASB0为最小角，πASB当点B与点C重合时，达到最大值，2π2ASB又因为B与A，C不重合，则，ππ42又2SABASBπ，可得对于D，如图所示，SAB,，则C正确；，BCD，为，，连接，又OAC的中点，则//取的中点BCODSO，所以，因为，所以，又面，面SOODO，又，面，故SDOSO的平面角，所以为二面角12SOAB22，2tanSDO2，则错误ACD.因为点B为弧故选：AC.的中点，所以，则OD12.已知大气压强随高度hm的变化满足关系式0p，0是海平面大气压强，pPak104.我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：/m平均海拔第一级阶梯4000第二级阶梯第三级阶梯若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围，设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p,p,p，则（）1230e0.4103A.B.D.233e0.182C.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，列出不等式，根据对数函数的性质解对数不等式即可求解.01pp104h1h1014h【详解】设在第一级阶梯某处的海拔为，则，即.101010e0.4h40001，所以1044000p1，A正确；因为，解得p0p0pe0h0e1，即0ppp0由，得.当时，，所以，B错误；p3hh，3设在第二级阶梯某处的海拔为，在第三级阶梯某处的海拔为20210442p3p2两式相减可得ln1042h3.则0310332h1000,2000,h200,1000，所以h0,1800，则010418000.18，3因为2323p2即1e0.18，故均正确.p23e0.18p，C,D故选:ACD.､三填空题：本大题共小题，每小题分，共4520分请把答案填在答题卡的相应位置上..(xaaxax3xa4x5x52345a13.已知，则的值为________．0123【答案】10【解析】【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接列式计算作答.aC325(102【详解】依题意，.故答案为：10sinπ214.已知2，则的值为______.2cos124【答案】【解析】3【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.sinπ2sin2cos2tan43【详解】tan.21sin22sin124故答案为:.3113115.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交33141516车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是________．15【答案】【解析】37【分析】设小明迟到为事件ABPA,PB,P得答案.11111137PA【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则，343536180111PAB.34121PABPA15371237PBA则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.18015故答案为：37,B是球OP16.已知的球面上两点，60，P体积的最大值为6，则球O的表面积为________.48π【答案】【解析】【分析】当平面时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为，列方程求解即可.R【详解】如图所示，当平面时，三棱锥的体积最大，11RRsin60R6设球O的半径为R，此时，32故R23，则球O的表面积为S4R248π.48π故答案为：.､四解答题：本大题共小题，第6171018､19､20､21､221270分.解答应题分，题各分，共､写出文字说明证明过程或演算步骤必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超.出指定区域的答案无效.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aCcAbB17..（1）求B；（2）若b23，的面积为23，求的周长.B【答案】（1）2）6233【解析】【分析】12BB；（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出2ab8，即可求出（2）根据余弦定理可得到abab12，再根据三角形面积公式得到ab6，进而求出的周长.1）aCcAbB，由正弦定理得：sinACsinCA2sinBB，sinAC2sinBBsinB整理得：，0B，∵在中，，∴sinB0即2B1，1B∴，2B即；312223a2c22ac（2）由余弦定理得：，∴ac2ac12，13∵SacsinBac23，24ac8∴，∴ac22412，ac6∴∴，的周长为623.ABCDAA122,BDE,F为AB的18.如图，在长方体中点.中，和交于点111111EF//1A；1（1）求证：平面（2）求点A到平面CEF的距离.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】1）利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解．【小问1详解】ADBD，.11如图，连接因为长方体，1ABCD1//BB1DD且，11中,1111所以四边形DD为平行四边形.11所以E为的中点，1在中，因为E，F分别为和AB的中点，11EF//AD1.所以因为所以EF//1AAD1A，1平面平面，平面11A.11【小问2详解】DAAAD2,CD22，1如图建立空间直角坐标系，因为长方体中D(0,0)(2,0)，C2,0)B(2,2,0)F(2,,0)，则，2，2，21(2,22,2)，E2.所以2，(2,2,0)，.设平面CEF的法向量为m(x,y,z)，111211mCEx01则令即mCF2x2y0，11x11y2z1，则，，可得m2.11AF(0,2,0)，|AFm|d1.所以点A到平面CEF的距离为|m|的前项和，已知2Snan3nN*．Sann19.记为数列na（1）求（2）若；n1blog3a2n1nbT150n，求的最大值．n，记n为的前项和，且满足nanna3n【答案】（1）n（2）12【解析】Sa的关系计算即可；n1）利用与n（2）利用等比数列、等差数列的求和公式及分组求和法求n，再由函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】当n1时，2113a3，121，解得2Sn1n13，2Sn2Sn12aaa当n2时，2Sa3aa因为，所以，即，n1nnnnn1nnn13n2所以，所以，是首项为3，公比为3的等比数列，an所以数列的通项公式为a3；annn【小问2详解】1bn2n1，由题意知：n111nn12n1113Tn1n2，所以n122313易知在nN上单调递增，T*n1T144111150,13169113123150而，121223T150nn的最大值为12．所以满足的20.某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不）.并以此为样本绘制了如图所示的tx同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨频率分布直方图.n(adbc)22附：.abcdacbd0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后（2）若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：0.7t0.7t亩产量超过河水灌溉180井水灌溉70合计250亩产量不超过合计2701304009060150试根据小概率值0.05的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？【答案】（1）0.75（2）用河水灌溉是比井水灌溉好.【解析】1）先根据频率之和为1求出b的值，再根据公式求出平均值；（2）运用卡方公式进行求解.【小问1详解】由题：(0.7521.2521.752.25b)，解得b=2，所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为：(0.450.750.551.250.651.750.752.250.8520.951.251.050.1；【小问2详解】n(adbc)2400607090)226.154，abcdacbd250150130270因为6.1543.841，所以根据小概率值0.05溉是比井水灌溉好.的独立性检验分析，有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关,用河水灌21.投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为p0p．（1）若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为，求的最fpfpp0大值点；（2）现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮p相互独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进0p一次，奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的作为p的值，若前次投进，0则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．20【答案】（1）最大值点3（2）小李应选规则一参加比赛．【解析】1）先求出连续投篮6次，恰好投进4次的概率的解析式，再利用导数研究其单调性及其fp最值即可；（2）若选规则一,利用二项分布的概念即可求出其数学期望；若选规则二，可分别求出离散型随机变量的各种情况概率，从而可求得其分布列，进而得出其数学期望，比较这两种规则下求得的数学期望，进而判断即可.【小问1详解】4642由题意得则fpCp1p,p0,1，则463241p46p1p46p，3fpC4p1p2pC23令，得，fp0pf22323pp0fpp,1fp0，在fp当时，，在区间时，32323区间的最大值点．,1内单调递减，所以fp0【小问2详解】若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．2X~B2EX，则64，则33记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则Y2X，．EY2EX8若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．Ak2,3，未投进为事件记小李第k次投进为事件所以投进0次对应事件为A，kk1255PZ0PAAAA,A,A，其概率为；12312333627AAAAAAAAA3投进1次对应事件为，12312312212112121