2023年新高考数学大一轮复习24 立体几何解答题归纳总结（原卷版）

专题24立体几何解答题最全归纳总结

【题型归纳目录】

题型一：非常规空间几何体为载体

题型二：立体几何存在性问题

题型三：立体几何折叠问题

题型四：立体几何作图问题

题型五：立体几何建系繁琐问题

题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题

题型七：利用传统方法找几何关系建系

题型八：空间中的点不好求

题型九：创新定义

【典例例题】

题型一：非常规空间几何体为载体

例1.如图，P为圆锥的顶点，0为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4,母线P”=2&,M是P3

的中点，四边形OBC”为正方形.

//--------------(

(1)设平面PQHc平面PBC=/,证明：/〃BC；

(2)设。为。〃的中点，N是线段CD」.的一个点，当MN与平面用8所成角最大时，求MN的长.

例2.如图所示，圆锥的底面半径为4,侧面积为16而，线段A8为圆锥底面。O的直径，C在线段A8

上，且BC=3C4,点。是以3C为直径的圆上一动点；

(1)当C0=CO时，证明：平面P4£)_L平面POO

(2)当三棱锥P-BC。的体积最大时，求二面角4-叨-A的余弦值.

例3.如图，圆锥尸。的母线长为迷，..A5C是。。的内接三角形，平面秒1C_L平面P8C.BC=26,

ZABC=600.

(1)证明：PA1PC；

(2)设点。满足0。=40尸，其中义«0,1),且二面角0—Q5—C的大小为60。，求4的值.

例4.如图，。为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，力8为底面直径，C为底面圆周上一点，DA=AC=BC=2t

四边形OOAE为矩形，点尸在BC上，且。尸〃平面E4C.

(1)请判断点尸的位置并说明理由；

(2)平面“•。将多面体08cAE分成两部分，求体积较大部分几何体的体积.

例5.如图，在直角PO4中，POLOA,PO=2OA,将一尸。4绕边PO旋转到，PO8的位置，使NAOB=90。,

得到圆锥的一部分，点C为AB的中点.

p

A

(1)求证：PC1AB；

(2)设直线PC与平面以B所成的角为。，求sin。.

例6.如图，四边形A5CO为圆柱。。2的轴截面，样是该圆柱的一条母线，EF二五EA，G是A。的中点.

(1)证明：4尸JL平面EBG；

(2)若BE=6EA,求二面角E-BG-a的正弦值.

例7.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形A4co(及其内部)以A8力所在直线为旋转轴旋转120。

得到的，G是0”的中点.

(1)设P是CE上的一点，且求证3P_L8E；

(2)当AB=3,4)=2时，求二面角E-AG-C的大小.

例8.如图，四边形A3CD是一个半圆柱的轴截面，E,尸分别是弧OC48上的一点，EF〃AD,点H为

线段40的中点，且48=4。=4,/科3=30。，点6为线段。£：上一动点.

（1）试确定点G的位置，使£心〃平面CPH,并给予证明;

（2）求二面角。一族-E的大小.

例9.坐落于武汉市江汉区的汉口东正教堂是中国南方唯一的拜占庭式建筑，象征着中西文化的有机融合.拜

占庭是筑创造了将穹顶支承于独立方柱上的结构方法和与之相呼应的集中式建筑形制，其主体部分由一圆

柱与其上方一半球所构成，如图所示.其中。是下底面圆心，A8.C是。。上三点，A.B.G是上底面对应

的三点.且AO,C共线，ACA.OB,GE=EC,BF=〈FB,人石与。尸所成角的余弦值为^.

365

（1）若"至"平面A"的距离为竽’求。的半径.

（2）在（1）的条件下，已知P为半球面上的动点，且AP=2ji6,求尸点轨迹在球面上围成的面积.

例10.如图，A3CD为圆柱0。的轴截面，火是圆柱上异于ARBC的母线.

(1)证明：BE上平面DEF：

⑵若AB=BC=«,当三棱锥所的体积最大时，求二面角B-OF-E的正弦值.

例11.如图，。，。分别是圆台上、下底的圆心，A8为圆。的直径，以08为直径在底面内作圆E,。为

圆。的直径A8所对弧的中点，连接BC交圆E于点O,A4,BB「CC\为圆台的母线，AB=2AiBl=S.

(1)证明；G。//平面088.；

(2)若二面角为求0Q与平面ACQ所成角的正弦值.

例12.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象

出长方体和圆台组合，如图所示，长方体ABC。-A,4GA中，AB=4,AD=AA]=2,圆台下底圆心。为A8

的中点，直径为2,圆与直线A5交于E,F,圆台上底的圆心。|在AM上，直径为1.

(1)求与平面4七。所成角的正弦值;

(2)圆台上底圆周上是否存在一点尸使得。，AG，若存在，求点尸到直线4河的距离，若不存在则说明

理由.

题型二：立体几何存在性问题

例13.如图，三棱锥尸-ABC中，Z4_L平面ABC,PA=[,AB=l,AC=2,ZfiAC=60°.

(1)求三棱锥4-P8C的体积：

(2)在线段PC上是否存在一点使得8MJ.AC?若存在，求笑的值,若不存在，请说明理由.

例14.已知四棱锥P-ABC3中，底面A8CO是矩形，且AB4D是正三角形，C£>J_平面H4。,

E、尸、G、。分别是PC、PD、BC、AO的中点.

(1)求平面EFG与平面A8CD所成的锐二面角的大小；

(2)线段附上是否存在点使得直线GM与平面EFG所成角的大小为2,若存在，求出寥的值；若

6PA

不存在，说明理由.

例15.已知三棱柱ABC—AgG中，ZACB=90°,AC=AA,=4,BC=2.

B

(1)求证：平面AACGJ■平面ABC；

(2)若幺人。工60。，在线段AC上是否存在一点P,使二面角B-。的平面角的余弦值为也？若存在,

4

确定点P的位置：若不存在，说明理由.

例16.如图，在四棱锥尸一ABC。中，平面ABC。，AD//BC,AD±CD,且AD=C£>,BC=2CD,

(1)证明：AB±PC；

(2)在线段户。上是否存在一点M,使得二面角M-AC-O的余弦值为姮，若存在，求与PC所成

17

角的余弦值；若不存在，请说明理由.

例17.如图，是边长为6的正三角形，点E,F,N分别在边人8,AC,BC上，AE=AF=BN=4,

M为8C边的中点，交七户于点0,沿即将三角形4E/折到。石尸的位置，使OM=厉.

(1)证明：平面。所_1平面跳小C；

DP

(2)试探究在线段。例上是否存在点尸，使二面角P-EN-8的大小为60。？若存在，求出r的值；若

rM

不存在，请说明理由.

例18.图1是直角梯形ABC。，ABUCD,ZD=90,AB=2,DC=3,AD=6,CE=2ED,以BE为

折痕将二BCE折起，使点C到达G的位置，且4。二指，如图2.

(1)求证：平面B£E_L平面A8E£＞；

(2)在棱0G上是否存在点尸，使得G到平面尸BE的距离为理？若存在，求出二面角夕-跳;一A的大小;

2

若不存在，说明理由.

例19.如图所示，在四棱柱A3cO-AIBCIA中，侧棱4A_L底面A8CQ,A8_LAC,AB=\,AC=AA]=2,

AD=CD=45，E为棱AAi上的点，且

(1)求证：BE_L平面AC8：

(2)求二面角Di-AC-Bi的余弦值；

(3)在棱上是否存在点F,使得直线。尸〃平面ACBi?若存在，求4尸的长；若不存在，请说明理由.

例20.如图，在五面体48a中，已知ACLBC,ED//AC,且AC=BC=2ED=2,DC=DB=6

(1)求证：平面ABE_L与平面ABC；

(2)线段BC上是否存在一点尸，使得平面4环与平面ABE夹角余弦值的绝对值等于旭，若存在，求竺

的值；若不存在，说明理由.

题型三：立体几何折叠问题

例21.如图1,在边上为4的菱形ABCD中，/DAB=60。，点M,N分别是边8C,CO的中点，ACc8。=Q,

ACcMN=G.沿MN将△CMZV翻折到的位置，连接RA,PB,PD，得到如图2所示的五棱锥

P-ABMND.

(1)在翻折过程中是否总有平面平面尸AG?证明你的结论；

(2)当四棱锥P-MVD8体积最大时，求直线尸8和平面所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，在线段丛上是否存在一点。，使得二面角。-MN-P余弦值的绝对值为®?若

10

存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.

例22.如图，在等腰直角三角形尸AO中，ZA=90；AD=8,43=3,B、C分别是以、叨上的点，且

ADHBC,历、N分别为BP、。。的中点，现将沿BC折起，得到四棱锥尸-458,连接MV.

(1)证明：MV〃平面幺。：

(2)在翻折的过程中，当丛=4时，求二面角8-PC-。的余弦值.

例23.如图1,在平面四边形PDC8中，PDNBC,BALPD,PA=AB=BC=2,AD=\.将沿

84翻折到ASAB的位置，使得平面S481平面48cO,如图2所示.

图1图2

(1)设平面SOC与平面SA8的交线为/,求证：BCXZ；

(2)点Q在线段SC上(点。不与端点重合)，平面。8。与平面8co夹角的余弦值为直，求线段仅2的

6

长.

例24.如图，在平面五边形R48CZ)中，APAO为正三角形，AD//BC,/948=90。且AD=A8=28C=2.将

“4。沿AZ)翻折成如图所示的四棱锥「一/WS,使得FC=近.F,。分别为A",CE的中点.

(1)求证：FQ平面P4。；

DEI

(2)若言=不，求平面EFC与平面PAD夹角的余弦值.

1L.j乙

例25.如图，在平行四边形43C。中，A8=3,AD=2,NA=60。，E,尸分别为线段A3,CO上的点，且

BE=2AE,DF=FC,现将△AOE沿。£朝折至4人乃石的位置，连接.

(1)若点G为线段A3上一点，且AG=3G8,求证：FG〃平面AOE；

(2)当三棱锥C-A力七的体积达到最大国，求二面角8-AC-。的正弦值.

例26.如图1,四边形A8C。是边长为2的正方形，四边形心灯是等腰梯形，AB=BE=；EF,现将正方

形A8c。沿A8翻折，使CD勺C'Q'重合，得到如图2所示的几何体，其中DE=4.

(2)求二面角。-A£—C的余弦值.

例27.如图，在梯形A8CO中，AD//BC,AI3=BC=2,AD=4f现将所在平面沿对角线AC翻折，使

点8翻折至点E,且成直二面角E-AC-。.

(1)证明：平面EDCJ•平面E4C；

(2)若直线0E与平面E4C所成角的余弦值为求二面角£>-丛-。的余弦值.

例28.如图1,在△ABC中，ZACB=90°,OE是△ABC的中位线，沿。石将△A。七进行翻折，使得△4CE

是等边三角形(如图2),记AB的中点为F.

图1图2

(1)证明：DF_L平面4BC.

(2)若AE=2,二面角O-ACE为？，求直线48与平面ACO所成角的正弦值.

6

题型四：立体几何作图问题

例29.已知四棱锥P-A8CO中，底面4BCO为正方形，0为其中心，点E为侧棱PO的中点.

（1）作出过0、尸两点且与AE平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出

简要作图过程）；记该截面与棱。。的交点为M,求出比值博（直接写出答案）；

MC

（2）若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求AK与平面P8C所成角的正弦值.

例30.如图，已知底面为平行四边形的匹棱锥P-ABCZ）中，平面MNGH与直线总和直线4c平行，点E

为PO的中点，点尸在C。上，且£）产:FC=1:2.

（1）求证：四边形MVGH是平行四边形；

（2）求作过EF作四棱锥尸-ABC。的截面，使心与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义:

用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.

例31.如图，在棱长为2的正方体48co-A妫中，E为棱4G的中点，F,G分别是棱Cg,BC上

的动点（不与顶点重合）.

（1）作出平面AOG与平面CB禺G的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面AOG//平面。/尸，则

EF//A.D.

（2）若G为棱8。的中点，是否存在尸，使平面J■平面DG尸，若存在，求出|b|的所有可能值；若

不存在，请说明理由.

例32.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A8CA中，E为棱的中点，F,G分别是棱CG,BC上的

动点：不与顶点重合）.

（1）作出平面AOG与平面C8瓦C的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面ADG〃平面。流尸，则

EFHA.D.

（2）若产，G均为其所在棱的中点，求点G到平面。也尸的距离.

例33.如图多面体八改力）中，面为等边三角形，四边形4BC。为正方形，EF//BC,

且所=瓶=3,4,G分别为CE,8的中点.

(1)求二面角的余弦值;

Ap

(2)作平面"/G与平面A8CO的交线，记该交线与直线AB交点为P,写出二大的值(不需要说明理由,

AB

保留作图痕迹).

例34.如图，已知多面体E4BCZ)/的底面ABC。是边长为2的正方形，石4一底面A6CO,FDHEA,且

FD=-EA=\.

2

(1)求多面体E48CZ)户的体积；

(2)记线段8c的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但

不要求证明.

例35.四棱锥尸-A8CO中，底面A8CO是边长为2的菱形，/〃8=甘.ACF£>=0,且PO_L平面ABC。,

尸0=石，点EG分别是线段上的中点，E在R4上.且PA=3PE.

(I)求证：BD"平面EFG；

(II)求直线A8与平面EFG的成角的正弦值；

(III)请画出平面EPG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.

p

题型五：立体几何建系繁琐问题

例36.如图，已知三棱柱ABC-A吗G的底面是正三角形，侧面8储qc是矩形，M,N分别为，?C;

的中点，P为AM上一点.过和尸的平面交于E,交AC于F.

(1)证明；AAJiMN,且平面_L平面；

(2)设O为的中心.若AO//平面尸，且AO=A8,求直线B产与平面A/MN所成角

的正弦值.

B

例37.如图，在锥体P-ABCZ)中，A3CD是边长为1的菱形，且=6Cf,PA=PD=及,PB=2,

E,r分别是BC,PC的中点

(1)证明：AO_L平面。£产

(2)求二面角P-AO—8的余弦值.

例38.如图，器。是半径为〃的半圆，AC为直径，点E为4。的中点，点B和点C为线段AO的三等分

点，平面AEC外一点尸满足=产。=6,EF=叔.

(1)证明：EB±FD；

(2)已知点。，R为线段FE,/必上的点，FQ=-|FE,FR=/B,求平面8。与平面RQ。所成二

面角的正弦值.

例39.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它

是一本综合性的历史著作，是当时世界.上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完

整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖端”，己知在三棱锥尸-ABC中，PAL

平面.

(1)从三棱锥ABC中选择合适的两条棱填空：_8C__L，则三棱锥P-ABC为“鳖嚅”；

(2)如图，已知垂足为0,AE±PC,垂足为E,ZABC=90°.

(7)证明：平面AOE_L平面尸AC；

(力')设平面AOE与平面A8c的交线为/,若P4=2>/J,AC=2,求二面角E—/—C的大小.

例40.已知四面体ABC。，AD=CD,ZADB=NCDB=12QP,且平面ABOJ_平面BCD.

(I)求证：13D±AC;

(II)求直线CA与平面44。所成角的大小.

例41.已知四面体ABC。，NAO5=NCO5=120°,且平面45。J_平面BCD.

(1)若人。=8,求证：BDA.AC；

(II)求二面角8—CD—A的正切值.

题型六：两角相等(构造全等)的立体几何问题

例42.如图，在三棱锥A-B8中，AA5c是等边三角形，NBAD=NBCD=90。，点P是

4C的中点，连接BQ,DP

(1)证明：平面48_1_平面瓦)P；

(2)若BD=n,cosZBPD=-—,求三棱锥A-BCD的体积.

3

例43.如图，在三棱锥A-88中，A钻。是等边三角形，/班。=N8CD=90。，点?是

AC的中点，连接BP,DP.

(1)证明：平面ACO_L平面加中；

⑵若BD=灰,且二面角4-皿—C为120。，求直线AD与平面3co所成角的正弦值.

例44.如图，四棱锥尸中，底面"CD为边长是2的正方形，E,G分别是CZ)、AF的中点，AF=4,

NME=NR4E,且二面角产一AE—8的大小为90。.

(1)求证：AElBGt

(2)求二面角B-AF-E的余弦值.

例45.如图，四棱锥E-ABCD中，四边形A8CD是边长为2的菱形，ZDAE=ZBAE=45°,NZMB=60。.

(I)证明：平面ADE_L平面ABE；

(II)当直线比与平面3所成的角为30°时，求平面"Z?与平面所成锐二面角的余弦值.

B

例46.如图，在四面体ABCD中，已知/45。=/。匝＞=60°,AB=BC=2,

(1)求证：AC±BD；

(2)若平面平面C8O,且8。=2,求二面角C-AO-B的余弦值.

9

题型七：利用传统方法找几何关系建系

例47.如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形AAC£＞垂直相交于其中心O(PO＞OQ).

(1)若二面角P-AA-Q的正切值为-3,试确定O在线段PQ的位置；

(2)在(1)的前提下，以尸，A,B,C,D,。为顶点的几何体PA5CDQ是否存在内切球？若存在,

试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.

例48.在四棱锥尸-ABC。中，E为棱4)的中点，QE_L平面ABC。，ADf/BC,NA0C=9O。，ED=BC=2,

EB=3,/为棱PC的中点.

(I)求证：E4//平面庞户；

(II)若二面角厂-应:-C为60。，求直线心与平面所成角的正切值.

例49.三棱柱A6C—A4G中，AB±AC,=AC=2,侧面8。。内为矩形，=,二面角

4-BC-A的正切值为:.

(I)求侧棱例的长；

(II)侧棱CG上是否存在点。，使得直线4)与平面ABC所成角的正切值为手，若存在，判断点的位

置并讦明：若不存在，说明理由.

例50.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形A8CD内接于圆O,AC是圆O的一条直径，B4_L平面

ABCD,PA=AC=2,E是PC的中点，ZDAC=ZAOB

(1)求证：BE//平面PAD；

(2)若二面角尸-8-A的正切值为2,求直线必与平面尸CD所成角的正弦值.

例51.如图所示，R4_L平面A8OACAB为等边三角形，PA=AB,ACLCD,M为AC中点.

(I)证明：平面PCD；

(II)若P£＞与平面处C所成角的正切值为逅，求二面角C-9-M的正切值.

2

p

题型人：空间中的点不好求

例52.如图，直线4Q_L平面a,直线4Q_L平行四边形ABCZ),四棱锥尸-ABCZ)的顶点P在平面a上，

AB=币,AD=也,ADA.DB,AC(]BD=O,OPHAQ,AQ=2,M,N分别是4。与8的中点.

(1)求证：MN"平面QBC：

(2)求二面角A/CBQ的余弦值.

例53.如图，四棱锥S-A88中，AB//CD,8C_LC£>,侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2,CD=SD=\.

(1)证明：SD_L平面SAB

(2)求A8与平面SBC所成角的正弦值.

例54.如图，四棱锥S-AB8中，底面ABCD为矩形，S0_L底面ABCD,AD=42,DC=SD=2,点M

在侧棱SC上，ZABA^=60°.

(I)证明：M是侧棱SC的中点；

(II)求二面角的余弦值.

例55.如图，在四棱锥P-ABC。中，侧面皿>_1_底面ABCD,底面ABC。为直角梯形，其中AB//CD,

ZCZM=90°,CD=2AB=2,A£>=3,PA=«,PD=2近,点E在棱上且他=1,点、F为楂PD

的中点.

在棱AD上且AE=1,点尸位棱尸。的中点.

(1)证明：平面BE尸JL平面PEC；

(2)求二面角A—8尸—C的余弦值的大小.

例56.如图，在四棱锥A—中，四边形瓦C8为梯形，EFI/BC,且防=±BC,AABC是边长为2

4

的正三角形，顶点尸在AC上的射影为点G,且FG=6,CF=—,BF=-.

22

(1)证明：平面尺；B_L平面ABC；

(2)求二面角七一4?一尸的余弦值.

例57.三棱柱A8C-A4G的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O,底面被。，⑨与底面ABC

所成的角为(，点。在棱至上，且从。=等，AB=2.

(1)求证：0。_1_平面8片。1。；

(2)求二面角的平面角的余弦值•

AlCi

Bi

例58.如图，将矩形钻8沿45：折成二面角,其中E为。。的中点，已知45+2,

BC=1.BD、=CD[,尸]为AB的中点.

（1）求证：CF〃平面AOjE；

（2）求AF与平面8.E所成角的正弦值.

题型九：创新定义

例59.蜂房