广西“飞天”校际2024-2025学年高三上学期7月考试 数学试题（含解析）

2024年7月“飞天”高三年级考试数学姓名______考号______注意事项：1.本杯即原飞机杯2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答案的标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意。1.复数z满足：，（）A.2 B. C.1 D.2.能正确表示图中阴影部分的是（）A. B. C. D.3.，是两个不共线的单位向量，，，，下列正确的是（）A. B. C. D.4.红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（）A.7 B.8 C.4 D.55.在三子棋游戏（规则同五子棋，三子连成一线即可获胜）中，两个未经训练的人工智能依次随机等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某时刻战况如图，则A能获胜的概率为（）ABABBAA. B. C. D.6.四面体中，其余各棱长均为2，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.7.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（）A. B.2 C. D.48.已知函数，则（）A. B. C. D.二、多项选择题，至少有一个选项符合题意，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.已知曲线：，则（）A.与有唯一交点 B.与有唯一交点C.与联立恒得两整数根 D.与相交得到的弦，长恒为10.在集合中取连续k项作为一组数据，下列正确的是（）A.k为奇数时，平均数 B.k为奇数时，平均数C.k为偶数时，方差不一定 D.k为偶数时，方差一定11.数列满足，，则下列正确的有（）A.数列是递增数列 B.C.恒成立 D.恒成立三、填空题，本题共3小题，每小题5分.12.随机变量，则______.13.记双曲线的左右焦点分别为，分别过和坐标原点O作直线m，n，且，记到m，n的距离分别为，，则______，若n是C的渐近线，则当取最小值时，______.（第一空2分，第二空3分）.14.设定义域为R的函数对任意的实数a，b均有，且，若实数t使得恒成立，t的取值范围是______.四、解答题，本题共5小题，请写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.15.（13分）在中，，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）当，时，求的面积.16.（15分）点A，B分别是椭圆的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点，P的横坐标非负，BP的中点是M，当P位于下顶点时的面积为1，椭圆离心率为.（1）求椭圆方程；（2）记的面积为，的面积为，求的最小值.17.（15分）已知，，，.（1）求在处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围.18.（17分）在直三棱柱中底面是正三角形，底面边长为3，侧棱长未知，D，E分别是，的中点，P是直三棱柱表面上的一点，且P到底面的距离为。当平面时，当P在平面中时，P到的距离为.（1）求直三棱柱的侧棱长；（2）当P到的距离为1时，求二面角的余弦值；（3）P每次移动都移动1个单位，从上出发顺时针移动的概率为，逆时针移动的概率为，一旦走完一圈便不再移动，与平面的夹角为，求第n次移动后的概率.19.（17分）数列是正项递增数列，由数列中所有项构成集合A，它的任意一个子集记为定义集合B是每一个子集中的所有数之和（即分别写出1个数，2个数，……n个数之和）.（1）若，写出，以及集合B；（2），将集合B中的元素分成n组，要求每组中最大项与最小项之比不超过2，证明一个符合题意的分组；（3），将集合B中的元素分成n组，要求与（2）相同，证明存在这个分组.2024年7月“飞天”高三年级考试数学参考答案及评分标准一、选择题，本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的4个选项中只有一项符合题意.1【答案】C【解析】设，则原式，故选A2.【答案】A【解析】略3.【答案】D【解析】二者不共线，D易知对；4.【答案】D【解析】如图共五种，故选B.5.【答案】B1.ABABBAA2.ABABABA3.ABABBAA所以6.【答案】C【解析】如图1，可知两面夹角为60°，由图2，以B为原点建系，，半径，则外接球的表面积图1图27.【答案】B【解析】…1…2所以8.【答案】A【解析】当时，，不难看出是偶函数，相应的是奇函数，因此，则倒序相加得到二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.9.【答案】BCD【解析】事实上这是一条顶点轨迹为的抛物线，顶点坐标为，因此A错，B对；令得到两个根，，随a的变化，两个根会，恒为整数，则弦长恒显然恒为故选BCD10.【答案】AC【解析】对于平均数：假设从第m项开始取，那么平场数，显然是奇数，A对对于方差：利用特值，如3，5，7，9，11，13，15，方差不是整数，C对；故选AC11.【答案】AB【解析】设a，b，，，同理，a，b，t，，而，假设，则故是递增数列，A对；，由A类似的归纳，易知，时取等，于是，故B对；，，而，时，不符合题意，C错；就不成立，D错：故选AB三、填空题，本题共3小题，每小题5分.12.【答案】0.34135【解析】13.【答案】2，【解析】由几何知识：由对称性，取n斜率为正，记此时焦距为2c，则， n：，于是，而的取等条件是，则，14.【答案】【解析】，当，时，，k是常数，，即，，当，时，，所以，所以，而必然成立，所以四、解答题15.（13分）（1）原式（1分）（2分）（4分）（6分）（2）余弦定理得到（8分）勾股定理得到（11分）面积：（13分）16.（15分）（1）由题意得，，（3分）联立解得，，所以椭圆方程为（5分）（2）延长PO交椭圆于另一点N，易知P，N关于原点对称不妨设，则，易知ON是的中位线所以（8分）原式即求原式（12分）由于所以所以最小值是1（15分）17.（15分）（1）（3分）所以（4分），（6分）（2）令不难发现恒成立（7分）令令令当时，易知所以单调递增，所以所以单调递减，注意到，（10分）当时，时单调增，时单调减其中，所以存在，不符合题意（12分）当时，时单调增，时单调减恰好，符合题意当时，时单调增，时单调减其中，所以存在，不符合题意（14分）综上所述，（15分）18.（17分）（1）如图：延长交于点Q，连接只需有平面即可，设高为（2分）若不在平面内，在平面内可以得到平面所以只需（3分）根据几何关系得到，高为（4分）（2）以AC中点O为原点，建立如图的坐标系，，，或，（6分），或或或（9分）（3）由题意得此图由夹角60°得到与P点轨迹平面相交的圆，圆内和圆上的点符合题意图中，P从A出发，只需考虑净结果（12分）一：净向左1，2，3，4，5步均可设向左k步得到所以当n为偶数时（14分）当n为奇数时（15分）二：净向右4，5，6，7，8步均可设向右k步得到当n为偶数时当n为奇数时（16分）综上：当n为偶数时当n为奇数时（17分）19.（17分）（1）或或，，（3分）（2）不难发现共有个数（5分）不妨让最大数与最小数之比可以分为，，……（6分）假设分为n组，这样最后一