专题1.5 数轴与相反数（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（解析版）

专题1.5数轴与相反数（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴；【知识点二】数轴三要素：原点、正方向、单位长度是数轴三要素；【知识点三】数轴和画法：1、画一条直线（通常画成水平直线）；2、在直线上适当位置取一点为原点；3、通常规定直线上从原点向右方向为正方向，用箭头表示出来；4、根据需要，选取适当长度为单位长度，原点右边，每一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3...;在原点左边用同样方法表示-1，-2，-3...【知识点四】有理数与数轴上点的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，一般地，设a为一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离也为a单位长度；【知识点五】相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，特别的地，0的相反数是0；【知识点六】相反数的性质：a,b互为相反数，则a+b=0;反之，若a+b=0，则a,b互为相反数；一个有理数有且只有一个相反数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.【知识点六】相反数的几何意义：一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并且到原点的距离相等.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】数轴的三要素及数轴上表示有理数；【例1】（23-24七年级上·广东肇庆·期中）（1）如图，写出数轴上点，，，表示的数；

（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：，．【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，；(2)见解析．【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数；（）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点；此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度．解：（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，；（2）先画出数轴，表示如下图所示：

【变式1】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可．解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意；B．没有原点，故此选项不符合题意；C．没有正方向，故此选项不符合题意；D．数轴画法正确，故此选项符合题意．故选：D．【变式2】（2024·福建福州·一模）如图，数轴上的三个点中，表示负数的是点．

【答案】M【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案．解：由数轴可知，取右方向为正方向，可得：在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数，∵M点在原点的左侧，N点，P点在原点的右侧，∴表示负数的是点M，故答案为：M．【题型2】数轴与相反数的理解认识；【例2】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在数轴上表示下列有理数及其相反数，再用“＜”把所有表示的数连接起来：【答案】图见解析，【分析】本题考查相反数：“只有符号不同的两个数”，用数轴比较有理数的大小，先求出相反数，在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行及比较即可．解：的相反数为分别为，数轴上表示各数如图：

由图可知：．【变式1】（2024·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案．本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．解：由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是，故选：A．【变式2】（23-24七年级上·浙江·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A与点B互为相反数，那么点C表示的数是．【答案】5【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值等知识点，关键是理解相反数在数轴上表示的意义，即在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁．根据在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，且在原点的两旁，得出点A表示的数是，点表示的数是1，进而得出答案．解：数轴的单位长度为，点A与点B互为相反数，点A表示的数是，点表示的数是1，∴点C表示的数是5．故答案为：5．【题型3】利用数轴比较有理数的大小；【例3】（23-24七年级上·四川内江·期中）（1）画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：，，，，．（2）用“”号把各数从小到大连起来：（3）请找出其中的一对相反数．【答案】（1）见解析；（2）；（2）和互为相反数【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．（1）根据有理数与数轴的关系，在数轴上表示出各数即可；（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可；（3）根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由数轴可知，；（3）由题意得，和互为相反数．【变式1】（2024·北京顺义·一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．根据数轴上的点的特征即可判断．解：A：点在的左边，，故该选项不符合题意；B：点在的左边，，故该选项不符合题意；C：，，又，，故该选项不符合题意；D：，，又，，故该选项符合题意；故选：D．【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）数m，n在数轴上的位置如图所示，用“”把m，，n，连接起来为．

【答案】【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点越向右越大．解：由数轴可知，，且，故．故答案为：．【题型4】相反数意义及符号简化；【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）（1）化简下列各数：①；

②；③；④；（2）化简过程中发现：化简结果的符号与原式中“”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为_________数；当“”的个数是偶数时，最后结果为_________数．【答案】（1）1，8，-a，a；（2）负，正【分析】利用相反数的定义以及多重符号法则求解即可．解：（1）①；

②；③；

④；（2）通过（1）中化简过程中发现，化简结果的符号与原式中“”的个数有着密切联系，当“”的个数是奇数时，最后结果为负数；当“”的个数是偶数时，最后结果为正数．故答案为：负，正．【点拨】本题考查相反数的定义以及多重符号法则，熟练掌握多重符号法则“奇负偶正”是解答的关键．【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（

）A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数B．与互为相反数C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数D．的相反数是【答案】D【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意；B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意；D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意．故选：D．【变式2】给出下列各对数：与，与，与，与，与中，互为相反数的有【答案】与，与【分析】根据相反数的定义，逐个化简，再分析.解：=-3与不是互为相反数，=-与=-2不是互为相反数，与互为相反数，=-3与=-3不是互为相反数，与互为相反数故答案为与，与【点拨】考核知识点：相反数.理解相反数的定义是关键.【题型5】数轴上距离问题【例5】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段．问题：（1）数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段_______；（2）数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段_______；（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为，求另一个点表示的数．【答案】(1)7；(2)4；(3)另一个点表示的数为2或【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；（3）分两种情况讨论，当另一个点在右侧或当另一个点在左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可．解：（1）数轴上点M、N代表的数分别为和3，则线段，故答案为：7；（2）数轴上点E、F代表的数分别为和，则线段，故答案为：4；（3）由题可得：①当另一个点在右侧时，；②当另一个点在左侧时，，综上，另一个点表示的数为2或．【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是．【答案】【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．解：∵点A，B表示的数分别是1，3，∴，∵，∴，∵C在B的左侧，∴点C表示的数是．故答案为：．【变式2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】C【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数．解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点当点在的右侧，，表示的数为，那么C表示的数为：，当点在的左侧，，表示的数为，那么C表示的数为：，故选：C．【题型6】数轴上的动点问题【例6】（23-24七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示．

（1）在数轴上分别用，两点表示，；（2）若数与表示的点相距20个单位长度，则与表示的数分别是什么？（3）在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，则与表示的数是多少？【答案】(1)见解析；(2)表示的数是，表示的数是10；(3)表示的数是5，表示的数是【分析】（1）根据题意作图即可；（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等，据此求出表示的点到原点的距离为，结合数轴即可作答；（3）结合（1）的图形，可得，先求出表示的点到原点的距离为，问题随之得解．解：（1）如图，

（2）数与其相反数相距20个单位长度，则表示的点到原点的距离为，∴结合数轴，表示的数是，即表示的数是；（3）如图，

即有，∵表示的点到原点的距离为10，而数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，∴表示的点到原点的距离为，∴表示的数是5，表示的数是．【点拨】本题考查的是相反数的定义等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．【变式1】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）一个点在数轴上表示，该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本题考查了数轴上的动点问题，；利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．解：在数轴上向左移动3个单位长度后所表示的数是；在数轴上向右移动3个单位长度后所表示的数是；即该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是或，故选：C．【变式2】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当线段和的大小关系满足时，点P表示的数是．【答案】26或/或26【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键．解：在点P运动过程中，，即，分两种情况：①当点P运动到点A右侧时，，此时点P表示的数是；②当点P运动到点A左侧时，设，则，∵，∴，则，，∴点P表示的数是，综上所述，点P表示的数是26或，故答案为：26或．【题型7】数轴上点的符号判断式子符号【例6】（20-21七年级上·福建龙岩·阶段练习）点A，B在数轴上的位置如图所示：

（1）点A表示的数______，点B表示的数是______（2）在原图中分别标出表示的点C、表示的点D；（3）比较的大小，井用“”连接．【答案】(1)，；(2)见详解；(3)【分析】（1）直接利用数轴得出各点表示的数；（2）利用相反数的定义，在数轴表示出，点位置；（3）利用数轴上点的特征得出答案．（1）解：点A表示的数是：，点表示的数是：3，故答案为：，；（2）解：如图所示：点，即为所求；

（3）解：由（2）中数轴上的点从左到右依次增大，得．【点拨】此题主要考查了相反数的定义，数轴上点的特征，正确掌握数轴上点的特征是解题的关键．【变式1】（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，O、A、B、C为数轴上四点，其中O为原点，且，，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，熟练掌握数轴的特性是解题的关键；根据，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据，求出B点所表示的数是多少即可．解：点表示的数为x，表示的数是，点和点A表示的数互为相反数，点所表示的数是，故选：．【变式2】（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点，在数轴上的位置如图，则，

【答案】【分析】根据数轴上点的位置判断出与的正负即可．解：根据数轴上点的位置得：，且，则，，故答案为：；．【点拨】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023湖北黄石）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（

）

A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可．解：由图可知，，故选：C．【点拨】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键．【例2】（2023四川自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根据数轴的定义求解即可．解；∵数轴上点A表示的数是2023，，∴，∴点B表示的数是，故选：B．【点拨】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答．（1）知识回顾如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a的值是；

（2）探究迁移如图2，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长；

（3）拓展应用一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄．【答案】(1)2；(2)A点表示的数为12，B点表示的数，18，；(3)小明12岁，爷爷64岁【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，理解题意，数形结合分析问题是解题关键．（1）根据右加左减的规律求解即可；（2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等，由线段图可求的长；（3）仿照（2）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为：岁进而可求出小明和爷爷的年龄．解：（1）∵点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，∴．故答案为：2；（2）由题意可知，B点到24的距离、的距离、A点到6的距离相等，∴，∴A点表示