立体几何空间垂直关系高一下学期人教A版2019

空间中的垂直关系知识精讲一．线线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．二.直线与平面垂直1.概念：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图．直线与平面互相垂直，记作．2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．直线与平面垂直的性质有：（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线．（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（4）垂直于同一直线的两个平面平行．三．平面与平面垂直1．面面垂直如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直．2．平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．可简述成“线面垂直面面垂直”3．两平面垂直的性质（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号表示为：且则定理可简记为：面面垂直线面垂直（2）定理：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面．三点剖析1．线面垂直的判定方法（1）利用判定定理．如果一条直线和一个平面内的两条相交的直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直，即：要证，只需在内找两条相交直线，证明，从而可得．简言之，线线垂直线面垂直．（2）作定理用的推论．如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）用面面垂直的性质定理．如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面．（4）作定理用的正确命题．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另一个平面．2．面面垂直的证明方法（1）证明两个平面垂直，主要途径是：①利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．②面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．（2）证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的；因此，在关于垂直问题的论证中，要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如图解题思路：线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直通常利用勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直的性质或利用之后学习的空间向量。直线与平面垂直直线与平面垂直例题1、设是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若，，则②若，则③若，则④若，则A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【解析】①若，则，是直线和平面垂直的判定，正确；②若，则，推出，满足直线和平面垂直的判定，正确；③若，则，两条直线可能相交，也可能异面，不正确．④若，则中与可能相交或异面．④考虑长方体的顶点，与可以相交．不正确．例题2、如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1．【解析】∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵AC，CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1．例题3、已知四棱锥的底面是边长为的正方形，分别为棱的中点，底面，且直线与直线所成的角为．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得面？请说明理由．【解析】因为分别为正方形的两边的中点，所以,所以，为平行四边形，得，又因为平面，且平面，所以平面．（Ⅱ）因为，所以为直线与所成的角，所以，所以．因为是四棱锥的高，所以，所求体积为（Ⅲ）当是中点时，有⊥面．取中点，连，则面．∴，∴，∴面．随练1、下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．随练2、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC．（答案图）证明FO∥平面CDE；（II）设BC=CD，证明EO⊥平面CDF．【解析】（I）证明：取CD中点M，连接OM．EM．在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，则EFOM．于是四边形EFOM为平行四边形．∴FO∥EM．又因为FO不在平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴FO∥平面CDE．（II）证明：连接FM．由（I）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM，EM⊥CD且EM=CD=BC=EF．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF．随练3、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．【解析】（1）证明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF随练4、如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．求证：平面【解析】在梯形中，∵，，，∴，∴，∴，∵平面平面，平面∩平面，⊂平面，∴平面．平面与平面垂直例题1、如图，为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA．【解析】（1）如图，取EC中点F，连结DF．∵EC⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC．∴DB⊥AB，EC⊥BC．∵BD∥CE，BD＝CE＝FC，则四边形FCBD是矩形，DF⊥EC．又BA＝BC＝DF，∴，所以DE＝DA．（2）取AC中点N，连结MN、NB，∵M是EA的中点，∴MNEC．由BDEC，且BD⊥平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM⊥MN．∵DE＝DA，M是EA的中点，∴DM⊥EA．又EAMN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM，则平面ECA⊥平面BDM．（3）∵DM⊥平面ECA，DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．例题2、如图，已知：在菱形中，，底面，，分别是与的中点．求证：；（2）求证：平面；

（3）在线段上是否存在一点，使平面PDM？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．【解析】（1）连接，则．∵平面∴又与相交于∴平面∴（2）取的中点，连接，则四边形是平行四边形．∴，又⊂平面，⊄平面，∴平面．（3）当是的中点时，可使平面，∵，是的中点∴∵菱形中，∴中，又∴∵底面∴∴平面∴又∴平面射影问题例题1、如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影．【解析】∵面，∴，∵为正方形，∴，∵与相交，∴面，面，∴．由已知面，且面，∴，∵，∴面，面，∴，即为点在直线上的射影例题2、如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的一点，．（1）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论．【解析】（1）连，设与相交于点与平面相交于点，连结，因为平面，平面∩平面，故，所以又，所以平面，故是与平面所成的角．在中，，即．所以，当时，直线与平面所成的角的正切值为．（2）可以推测，点应当是的中点，因为,且，所以平面，又平面，故．那么根据三垂线定理知，在平面的射影与垂直．拓展拓展1、在长方体中，，点为上的点，且．求证：平面．【解析】由长方体的性质可得平面，．再根据，可得，故有，，即．再利用直线和平面垂直的判定定理证得平面．在长方体中，由于平面，而平面，∴．设，显然．由于，点为上的点，且，设，则,直角三角形中，，直角三角形中，，∴，∴，∴∴．平面拓展2、给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【答案】D【解析】①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选D．拓展3、已知：三棱锥，