圆锥曲线的方程专题讲义二高三数学一轮复习

人教A版数学圆锥曲线的方程专题二知识点一基本（均值）不等式的应用,由两条直线垂直求方程,直线过定点问题,直线围成图形的面积问题典例1、已知直线方程为，其中.（1）当变化时，求点到直线的距离的最大值；（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于，两点，求面积的最小值及此时的直线的方程.随堂练习：已知直线方程为．（1）若直线的倾斜角为，求的值；（2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．典例2、已知直线．（1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值；（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．

随堂练习：已知直线：，：.（1）求直线过的定点P，并求出直线的方程，使得定点P到直线的距离为；（2）过点P引直线分别交，轴正半轴于A、B两点，求使得面积最小时，直线的方程.典例3、已知直线：，.（1）证明直线过定点，并求出点的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；（3）若直线不经过第四象限，求的取值范围.

随堂练习：已知圆C:,直线(1)求证:无论取什么实数，直线恒过第一象限；(2)求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短长度；(3)设直线与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.知识点二椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征,根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中向量共线比例问题典例4、已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.

随堂练习：已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）求的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．典例5、已知，是椭圆：的焦点，，是左、右顶点，椭圆上的点满足，且直线，的斜率之积等于（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于，两点，若，，其中，证明

随堂练习：已知，，动点满足，轴于点，，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线交轴于点，轴，证明：.典例6、已知平面上一动点到的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹方程；（2）曲线上的两点，，平面上点，连结，并延长，分别交曲线于点A，B，若，，问，是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．

随堂练习：已知椭圆的一个焦点为，其左顶点为A，上顶点为B，且到直线的距离为（O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）若椭圆，则称椭圆E为椭圆C的倍相似椭圆．已知椭圆E是椭圆C的3倍相似椭圆，直线与椭圆C，E交于四点（依次为M，N，P，Q，如图），且，证明：点在定曲线上．人教A版数学圆锥曲线的方程专题二答案典例1、答案：（1）（2）最小值是4，解：（1）直线方程为，即为，由，可得，则已知直线恒过定点，可得到直线的最大距离为（2）由题意可设直线的斜率为，则其方程为，可得直线在x、y轴上的截距分别为、，即，则.由，可得，所以，当且仅当，即时取等号.则的面积最小值是4，直线的方程为，即.随堂练习：答案：（1）；（2）面积的最小值为，此时直线的方程为.解：（1）由题意可得.（2）在直线的方程中，令可得，即点，令可得，即点，由已知可得，解得，所以，，当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.典例2、答案：（1），距离最大值；（2）面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0.解：（1）已知直线，整理得，由，故直线过定点，点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值，所以为最大值．（2）∵，∴的斜率为，得，解得；若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，则设直线为，，则，，（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.随堂练习：答案：（1），：或（2）解:（1）由可得，所以直线的定点，到直线：的距离，解得或，所以直线：或（2）由题意，设直线：，因为直线分别交，轴正半轴于A、B两点，所以令，，所以，当且仅当时等号成立，故所求直线方程为，即典例3、答案：（1）证明见解析，点的坐标为（2）或（3）解：（1）证明：整理直线的方程，得，所以直线过直线与的交点，联立方程组，解得，所以直线过定点，点的坐标为.（2）当截距为0时，直线的方程为，即，当截距不为0时，设直线的方程为，则，解得，直线的方程为，即，故直线的方程为或.（3）当时，直线的方程为，符合题意；当时，直线的方程为，不符合题意；当，且时，，所以解得或，综上所述，当直线不经过第四象限时，的取值范围是：.随堂练习：答案：（1）见解析；（2），长度为；（3）解:（1）由mxy+1m=0得y=mx+1m=m（x1）+1，则直线过定点D（1，1）在第一象限，故无论取什么实数，直线恒过第一象限；(2)若直线l被圆C截得的弦长最小，则此时满足DC⊥l，D（1，1），C（1,2）

则DC的斜率k的斜率不存在，

则l的斜率k=0，即对应的=0，最短长度为(3)由（1）可知点D在圆内，设M（x，y），则由CM⊥DM得，∴．典例4、答案：（1）（2）解：（1）由题可知解得故椭圆的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，由，，得，同理，当,时，得，所以，当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q，所以，即①.设，则②，则，由，得③，③代入②得，化简整理得④，将④代入①得，化简得，解得或.综上，m的取值范围为.随堂练习：答案：（1）（2）或解：（1）设椭圆的半焦距为，∵右焦点为，∴，又∵离心率，∴，解得，∴的方程为．（2）设．，∴，即．∴，即，解得，设直线的斜率为，则，∴直线的方程为，即或．∴直线的方程为或．典例5、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）因为：上的点满足，所以表示焦点在轴上的椭圆，且，即，所以，，设，则，①所以直线的斜率，直线的斜率由已知得，即，②由①②得所以椭圆的方程为：（2）当直线的斜率为0时，与重合，与重合，，。成立.当直线的斜率不为0时，设的方程为联立方程组，消整理得，所以，解得或设，，则，由，得，所以设，由，得所，所以，所以点在直线上，且所以是等腰三角形，且，所以，综上，随堂练习：答案：（1）（2）证明见解析解：（1）设，，由，，，可得，化简得，因为轴于点，所以，，，由，则，则，代入，可得，所以曲线的方程为.（2）由题意，设，则，，即，因为轴，所以，，则直线的方程为，联立，化简得，，即，因为在曲线上，所以，化简得，因为在曲线上，所以，即，代入，可得，即，即，即，即，即，即，由于，且，所以.典例6、答案：（1）；（2）是定值，.解：（1）设，则，点到直线的距离.由已知可得，整理可得.所以，动点的轨迹是椭圆，方程为.（2）是定值，.当点在轴上时，不妨设点为椭圆右端点，由已知可得，，所以，，，，所以，，即，，所以.同理可得，当点为椭圆左端点时，，，所以；当点不在轴上时，设，直线方程为，直线方程为.联立直线方程与椭圆方程，整理可得，根据韦达定理有.联立直线方程与椭圆方程，整理可得，根据韦达定理有.又，，，，因为，，所以，所以.又，，所以，所以，又，所以，所以.综上所述，.所以，是定值，.随堂练习：答案：