作业03概率（7大题型巩固提升练能力培优练拓展突破练仿真考场练）原卷版

完成时间：月日天气：作业03概率（7大题型巩固提升练+能力培优练+拓展突破练+仿真考场练）一、条件概率与全概率公式1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．条件概率的计算要注意以下三点(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．(3)理解全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．二、离散型随机变量的概率分布、均值和方差1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．角度1均值、方差的计算求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤角度2均值、方差在决策中的应用若X～B(n，p)，则可直接利用公式求E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．三、正态分布1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值在生产生活中有广泛的应用．2．熟记正态分布的特征及应用(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．3.利用正态密度曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值求解．并注意正态密度曲线与频率直方图的结合．一．条件概率与独立事件（共6小题）1．（2024春•梁溪区校级期中）已知（A），，，下列选项正确的是A．（B） B． C． D．（A）（B）2．（2024春•灌云县校级期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则A． B． C． D．3．（2024春•锡山区校级期中）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有35名的年龄位于区间，内．已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间，内人口占该地区总人口的．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间，内，则此人患该疾病的概率为A． B． C． D．4．（2024春•连云区校级期中）一个袋子中有除颜色外都相同的2个红球和3个白球，从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则A． B． C． D．5．（2024春•泉山区校级期中）质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则A． B． C． D．6．（2024•苏州校级模拟）袋中有5个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则．二．全概率公式（共7小题）7．（2023春•盐城期中）据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为，在人群中有是吸烟者，他们患肺癌的概率约为，则不吸烟患肺癌的概率为A． B． C． D．8．（2023春•南京月考）已知，为两个随机事件，（A），（A），，，则（B）A．0.1 B． C．0.33 D．9．（2023春•鼓楼区校级月考）已知某仓库中有10箱同样型号的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为，现从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一个零件，则取得的零件是次品的概率为A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.210．（2023春•滨海县期中）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用，表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是A． B． C． D．11．（2023春•丹阳市校级期中）在，，三个地区爆发了甲型流感，这三个地区分别有，，的人患了甲流．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患甲流的概率是（用分数作答）12．（2023春•连云港期末）某厂用甲、乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，，而各自的产品中废品率分别为，，则该厂这种零件的废品率为．13．（2023春•连云区校级期中）甲袋中装有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中装有4个红球，3个白球和3个黑球，且所有球的大小和质地均相同．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是．三．离散型随机变量及其分布列（共6小题）14．（2024春•武进区期中）在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分的所有可能取值的和是A．8 B．10 C．12 D．1415．（2024春•梁溪区校级期中）离散型随机变量的分布列中部分数据丢失，丢失数据以，代替，分布列如下：1234560.210.200．0.100.10则A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.6516．（2024春•锡山区校级期中）若随机变量的分布列为：01230.10.20.20.30.10.1则当时，实数的取值范围是．17．（2023春•涟水县校级月考）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是．设小球向左的次数为随机变量．（1）求随机变量的概率分布列；（2）分别求出小球落入袋和袋中的概率．18．（2024春•泗洪县期中）高考结束后，甲、乙两同学决定各购置一部，经了解，目前市场上销售的主流国产有：华为、小米、、等；甲从华为、、中挑选，乙从，中挑选，甲、乙二人选择各类型的概率如下表：华为甲乙0若甲、乙都选的概率为．（1）求，的值；（2）求甲、乙选择不同的概率；（3）某市场举办购买进行打折活动，活动标准如下表：华为补贴金额（百元部）354记甲、乙两人购所获得的补贴和为元，求的分布列．19．（2024春•盐城期中）从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，①直接写出，，的值；②求与的关系式，并求．四．离散型随机变量的期望与方差（共7小题）20．（2024春•常州期中）设随机变量的分布列为，，2，3，则的数学期望A． B． C． D．21．（2024春•苏州期中）若随机变量满足，其中为常数，则A．0 B． C． D．122．（2024春•东海县期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，设表示掷出的点数，则．23．（2024春•梁溪区校级期中）若为非负实数，随机变量的概率分布如表，则的最大值为，的最大值为．01224．（2024春•武进区期中）设离散型随机变量可能的取值为，，0，1，2，，若的均值为，则的值为．25．（2024春•盐城期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答．已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．（1）求甲老师答对2个问题的概率；（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求，．26．（2024春•沛县期中）某品牌汽车店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示．已知分9期付款的频率为0.2．该店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆汽车的利润．付款方式分3期分6期分9期分12期分15期频数302010（1）求如表中的，值；（2）若以频率作为概率，求事件“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率（A）；（3）求的分布列及均值．五．超几何分布（共3小题）27．（2023春•盐城期中）已知随机变量服从两点分布，且．设，那么等于A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.428．（2022春•江苏月考）若随机变量服从超几何分布，10，，则的均值．29．（2022春•海陵区校级期中）幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；（2）记，则当为何值时，取得最大值．六．二项分布与n次独立重复试验的模型（共6小题）30．（2024春•东海县期中）已知随机变量分布，且，设，那么A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.631．（2024春•盐城期中）已知随机变量服从两点分布，若，则A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.432．（2023春•淮安月考）已知随机变量，随机变量，若，，则A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.433．（2023春•淮安月考）设随机变量服从二项分布，若，则．34．（2023春•连云港期中）已知随机变量服从两点分布，若，则的标准差．35．（2023春•南京月考）篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．七．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共11小题）36．（2024春•邗江区校级期中）已知随机变量服从正态分布，若，则等于A．0.484 B．0.628 C．0.936 D．0.96837．（2024春•常州期中）对，两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为（单位：，，对应的曲线为，地员工的上班迟到时间为（单位：，，对应的曲线为，则下列图象正确的是A． B． C． D．38．（2024春•灌云县校级期中）对，两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为（单位：，，对应的曲线为，地员工的上班迟到时间为（单位：，，对应的曲线为，则下列图象正确的是A． B． C． D．39．（2024春•泉山区校级期中）已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：近似地服从正态分布，且，则A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.540．（2024•山东）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，，则（若随机变量服从正态分布，则A． B． C． D．41．（2024春•盐城期中）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中，的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为．参考数据：若，则，，．42．（2024春•广陵区校级月考）某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布，统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间，的学生人数约为．43．（2024春•南通月考）在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩低于80分的概率是．44．（2023春•广陵区校级月考）新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如表．质量差（单位：5667707886件数（单位：件）102048193（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件．求该零件为废品的概率；若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率．参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，．45．（2023春•贾汪区校级期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团．电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型．现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径满足正态分布．（1）若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．（2）若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过？②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？参考数据：若随机变量，则，，，，．46．（2023春•无锡期末）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量，则，，．一．选择题（共1小题）1．（2024春•启东市期中）已知随机变量服从两点分布，则方差的可能值是A． B． C． D．二．多选题（共1小题）2．（2024春•赣榆区期中）下列说法正确的是A．若随机变量分布，则 B．若随机变量，则 C．已知随机变量的分布列为，则 D．已知，为两个随机事件，且（B），则（A）三．填空题（共3小题）3．（2024春•江阴市期中）已知随机变量的分布列如下，则．12340.10.20.30.44．（2024春•江阴市校级月考）一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔支数为，则．5．（2024春•启东市期中）已知随机变量，且，则．四．解答题（共18小题）6．（2024•武进区校级三模）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收．①求该商家检验出不合格产品件数的均值；②求该商家拒收这些产品的概率．7．（2024•六合区校级二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标，，表示，其中，．而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，，，，，其中，，现有如下定义：在维空间中，，，，，，，，，，两点的曼哈顿距离为．（1）在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；（2）在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．求出的分布列与期望；证明：随机变量的方差小于．8．（2024春•武进区期中）某电器厂打算处理一批台灯，这些台灯每箱10盏，以箱为单位销售．已知这批台灯中每箱出现的废品只有两种可能：1盏或者2盏，两种可能对应的概率分别为、．假设该台灯正品每盏市场价格为100元，废品不值钱，现每箱处理价格为860元，遇到废品不予更换．现以一箱产品中正品的价格期望大于处理价格作为可以购买的依据．（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；（2）现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验．①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为，求的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有一盏是废品，判断此箱是否可以购买．9．（2024春•常州期中）有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为，是的极大值点．（1）求；（2）若且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；（3）若且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有次用了乙骰子的概率为，试问当取何值时最大？并求的最大值（精确到．（参考数据10．（2024春•东海县期中）某小组为调查高二学生在寒假名著阅读情况，随机抽取了20名男生和20名女生，得到如下阅读时长（单位：小时）的数据：男生：38，26，37，23，28，38，12，25，44，39，33，27，10，35，41，27，38，11，46，29；女生：42，31，28，37，33，29，51，38，39，36，22，39，33，46，31，17，34，45，30，49．（1）在抽取的40名高二学生中，阅读时长超过45小时的为“阅读能手”，时长低于15小时的为“阅读后进者”．为了培养“阅读后进者”的阅读兴趣，现从“阅读能手”中挑选几人，对“阅读后进者”进行一对一指导．求阅读时长最短的同学被阅读时长最长的同学指导的概率；（2）时长超过30小时的为“阅读爱好者”，用频率估计概率．现从高二学生中随机抽取两位男生、两位女生交流心得，其中“阅读爱好者”有人，求的分布列和数学期望．11．（2024春•梁溪区校级期中）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：介于，之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示．（1）求的值；（2）以频率估计概率，完成下列问题．若从所有花卉中随机抽4株，记高度在，内的株数为，求的分布列及数学期望；若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在，的条件下，至多1株高度低于的概率．12．（2024春•沛县期中）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为（单位：．（1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于的有4个．现从这8个零件中随机抽取3个．记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的分布列及数学期望；（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及的方差；（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于的概率．参考数据：若，则，，，，．13．（2024春•南通期中）“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望．附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（2024春•泉山区校级期中）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．郴州市某中学食堂每天都会提供，两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复．记同学甲第天选择套餐的概率为．（1）求同学甲第二天选择套餐的概率；（2）证明：数列为等比数列；（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值．15．（2024春•江阴市期中）“国家反诈中心”集合报案助手、举报线索、风险查询、诈骗预警、骗局曝光、身份核实等多种功能于一体，是名副其实的“反诈战舰”年该于各大官方应用平台正式上线，某地组织全体村民注册，并组织了一场线下反电信诈骗问卷测试，随机抽取其中100份问卷，统计测试得分，将数据按照，，，，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值及这100份问卷的平均分（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）；（2）若界定问卷得分低于70分的村民“防范意识差”，不低于90分的村民“防范意识强”．现从样本的“防范意识差”和“防范意识强”村民中采用分层抽样的方法抽取7人开座谈会，再从这7人中随机抽取3人，记抽取的3人中“防范意识强”的人数为，求的分布列和数学期望．16．（2024春•南通月考）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛．该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择．方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答．已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的．假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二．（1）求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；（2）若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分．你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由．17．（2024春•启东市期中）为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从，两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：社区居民意见合计满意不满意社区3045社区55合计25（1）完成列联表，并根据相关数据判断是否有的把握认为居民满意度与所在社区有关？（2）现从“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用表示抽取的“不满意”的居民来自社区的人数，求随机变量的分布列及数学期望．附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．（2024春•启东市期中）某技术部门需研发新型材料，研发过程中发现每次实验会得到型材料和型材料之一．为测试新型材料是否能够稳定投产，制定了以下测试规则：每一轮测试都会进行两次实验，若两次实验均得到型材料，则测试成功并停止测试；否则将加大催化剂的剂量并进行新一轮的测试．已知第轮测试中每次实验得到型材料的概率为．（1）如果最多进行3轮测试（第三轮测试不成功也停止测试），记测试轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）如果最多可进行轮测试（第轮测试不成功也停止测试），记为在第，2，，轮测试成功的概率，则测试成功的概率为．求（4）的值；求证：．19．（2024春•广陵区校级月考）已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10．（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；去峨眉山旅游去青城山旅游合计东小组西小组合计（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望．参考公式：，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82820．（2024春•如皋市月考）现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行．两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态．（1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率；（2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率；（3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态．设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为，2，3，4，，．求的数学期望（用表示）．21．（2024春•广陵区校级月考）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为了解研发资金的投入额（单位：千万元）对年收入的附加额（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：年份2017201820192020202120222023投入额103040608090110年收入的附加额3.204.004.806.007.307.459.25（1）求关于的线性回归方程；（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记表示这三个年份为“优”的个数，求的分布列及数学期望．参考数据：，，．附：回归方程的斜率和极距的最小二乘估计公式分别为：，．22．（2023春•丹阳市校级期末）2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施，其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目．市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”．调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，，内认定为满意，不低于80分认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于即可启用该“方案”；④用样本的频率代替概率．（Ⅰ）从该市800万人的市民中随机抽取5人，求恰有2人非常满意该“方案”的概率；并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由．（Ⅱ）已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中抽取3人担任群众督查员，记为群众督查员中的老人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望．23．（2023春•海安市校级期中）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？一．选择题（共1小题）1．（2023•甲卷）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1二．多选题（共1小题）2．（2024•山东）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，，则（若随机变量服从正态分布，则A． B． C． D．三．填空题（共1小题）3．（2024•天津），，，，五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为．四．解答题（共7小题）4．（2024•北京）已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元．赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单，以频率估计概率：（1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；（2）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为，估计的数学期望；若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．5．（2023•全国）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．（1）求取到2个标有数字1的球的概率；（2）设为取出的2个球上的数字之和，求随机变量的分布列及数学期望．6．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天00000第21天到第40天00000用频率估计概率．（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（Ⅲ