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文档简介
湖北省松滋市四中2024-2025学年全国高考统一考试模拟试题(一)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列2.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.612423.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.24.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是()A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.6.已知双曲线的一个焦点为,且与双曲线的渐近线相同,则双曲线的标准方程为()A. B. C. D.7.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.8.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()A. B.C. D.9.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.10.若,则的虚部是()A. B. C. D.11.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内所有直线与l异面B.α内只存在有限条直线与l共面C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内存在无数条直线与l相交12.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.己知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则__________.14.在各项均为正数的等比数列中,,且,成等差数列,则___________.15.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.16.安排名男生和名女生参与完成项工作,每人参与一项,每项工作至少由名男生和名女生完成,则不同的安排方式共有________种(用数字作答).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1},求实数a的值;(2)证明:f(x).18.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.19.(12分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:在上存在唯一的极大值;(Ⅲ)直接写出函数在上的零点个数.20.(12分)已知中,角所对边的长分别为,且(1)求角的大小;(2)求的值.21.(12分)如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证:为直角三角形;(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.22.(10分)已知矩阵的逆矩阵.若曲线:在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线,求曲线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.2.C【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.本题考查等差数列的应用,属基础题。3.C【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.4.A【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变,中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知,中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比,成绩和平均数都增加了50,所以没有改变,根据方差公式可知方差不变.故选:A本题主要考查样本的数字特征,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.C【解析】
求得双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,由点到直线的距离公式可得的范围,再由离心率公式计算即可得到所求范围.【详解】双曲线的一条渐近线为,即,由题意知,直线与圆相切或相离,则,解得,因此,双曲线的离心率.故选:C.本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径,考查化简整理的运算能力,属于中档题.6.B【解析】
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程,结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线与的渐近线相同,且焦点在轴上,∴可设双曲线的方程为,一个焦点为,∴,∴,故的标准方程为.故选:B此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程,易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.7.C【解析】
由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.【详解】连接,,如图:又,则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,∴,又,,∴,∴,解得.故选C考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.8.C【解析】
当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.【详解】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,,.故选.遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.9.B【解析】
先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.10.D【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.【详解】由题可知,所以的虚部是1.故选:D.本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题.11.D【解析】
通过条件判断直线l与平面α相交,于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α,且l⊄α可知直线l与平面α相交,于是ABC错误,故选D.本题主要考查直线与平面的位置关系,直线与直线的位置关系,难度不大.12.A【解析】
由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.则几何体的体积为.故选:.本题主要考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求导,再根据导数的几何意义,有求解.【详解】因为函数,所以,所以,解得.故答案为:本题考查导数的几何意义,还考查运算求解能力以及数形结合思想,属于基础题.14.【解析】
利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.【详解】因为,成等差数列,所以,由等比数列通项公式得,,所以,解得或,因为,所以,所以等比数列的通项公式为.故答案为:本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式;考查运算求解能力和知识综合运用能力;熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键;属于中档题.15.【解析】
设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.16.1296【解析】
先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,然后从4个女生选2个一组,将4人分成三组,然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成,则先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有种.故答案为:1296本题主要考查了排列组合的应用,考查了学生应用数学解决实际问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)a=1;(2)见解析【解析】
(1)由题意可得|x﹣a|≥4x,分类讨论去掉绝对值,分别求得x的范围即可求出a的值.(2)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得f(x)≥2..【详解】(1)由f(x)﹣|x|≥4x,可得|x﹣a|≥4x,(a>0),当x≥a时,x﹣a≥4x,解得x,这与x≥a>0矛盾,故不成立,当x<a时,a﹣x≥4x,解得x,又不等式的解集是{x|x≤1},故1,解得a=1.(2)证明:f(x)=|x﹣a|+|x||x﹣a﹣(x)|=|a|,∵a>0,∴|a|=a22,当且仅当a时取等号,故f(x).本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.18.(1)(2)是定值,且定值为2【解析】
(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的横坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得,由此化简求得为定值.【详解】(1)已知点在椭圆:()上,可设,即,又,且,可得椭圆的方程为.(2)设直线的方程为:,则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得:,由,可得,联立直线与椭圆的方程可得:,即,即.即为定值,且定值为2.本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆中的定值问题的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.19.(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)函数在有3个零点.【解析】
(Ⅰ)求出导数,写出切线方程;(Ⅱ)二次求导,判断单调递减,结合零点存在性定理,判断即可;(Ⅲ),数形结合得出结论.【详解】解:(Ⅰ),,,故在点,处的切线方程为,即;(Ⅱ)证明:,,,故在递减,又,,由零点存在性定理,存在唯一一个零点,,当时,递增;当时,递减,故在只有唯一的一个极大值;(Ⅲ)函数在有3个零点.本题主要考查利用导数求切线方程,考查零点存在性定理的应用,关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数,进而确定函数的单调性,属于难题.20.(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的边角转换,以及两角和的正弦公式展开,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)构造齐次式,利用正弦定理的边角转换,得到,结合余弦定理得到【详解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因为得∵
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