重庆地区2023年高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x+y>2,

1,若实数乂y满足不等式组则3x+），的最小值等于（）

x-”0,

A.4B.5C.6D.7

2.在边长为2的菱形ABC。中，BD=2后,将菱形ABC。沿对角线AC对折，使二面角B—AC—。的余弦值为g,

则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A.——B.27rC.44D.67r

3

3.若集合A=k|y=Vr^},8={x|_3Vx<3},则AB=（）

A.[-3,2]B.{x|2<x<3}

C.（2,3）D.{x|-3Wx<2}

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

»32，,16

A.32B.—C.16D.—

33

5.已知函数/（幻=卜一0若f（a）>于出）,则下列不等关系正确的是（

)

Inx,x>1

3-<-：—B.\[a>y/b

3/+1

C.a2<ahD.ln(a~+1)>ln(/r+1)

6.已知函数g(x)=/(2x)+x2为奇函数，且/⑵=3,贝！|/(—2)=()

A.2B.5C.1D.3

7.如图所示，正方体ABCO-Ai'GOi的棱长为1,线段BiOi上有两个动点E、F且EF=注，则下列结论中错误的

是()

A.AC1.BEB.E尸〃平面A8C。

C.三棱锥A-3EF的体积为定值D.异面直线AE,B尸所成的角为定值

8.已知函数./■(幻=(以2_。-1)，3€/?)若对区间[0,1]内的任意实数朴%、%,都有/(3)+/(々)2/。3)，

则实数”的取值范围是()

A.[1,2]B.[e,4]C.[14]D.[l,2)u[e,4]

9.已知等比数列｛4｝满足q=3,4+4+/=21,则%+%+%=()

A.21B.42C.63D.84

io.已知x与y之间的一组数据：

X1234

ym3.24.87.5

若)'关于X的线性回归方程为y=2.卜―0.25,则加的值为()

C.3.5D.4.5

11.函数y=/(x)满足对任意xeR都有/(x+2)=/(一力成立，且函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称,

"1)=4,贝！|〃2016)+〃2017)+〃2018)的值为()

A.0B.2C.4D.1

Xv*

12.已知函数,g(x)=ln/+l,若/(〃?)=g(〃)成立，则”机的最小值为()

A.0B.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x＞1

13.已知羽）满足x+y44且目标函数z=2x+），的最大值为7,最小值为1,则小土£=.

7八61

QX++cW0

a„°T

14.设数列｛可｝的前〃项和为S“，且对任意正整数〃，都有。11=0,则q=一

1-2〃S“

15.曲线y=+1）/在点（0,1）处的切线方程为一.

16.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物

理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节

和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆。的焦点为耳（一0,0），K（G,0）,M为椭圆C上任意一点，且

明用+|叫=4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：y=丘+加（左＞0,加＞0）交椭圆C于P,。两点，且满足（即2,%”，后0分别为直线

PQ,OP,OQ的斜率），求\OPQ的面积为与时直线PQ的方程.

2

x—t

18.（12分）在平面直角坐标系x。），中，直线/的参数方程为1Cc。为参数），以坐标原点。为极点，X轴的

y=3-2t

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=4sin6.

（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线。交于A、B两点,求AQ钻的面积.

22

19.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆。：3+/=1（。＞0/＞0）的短轴长为2,直线/与椭圆。相交

171

于A5两点，线段AB的中点为".当M与。连线的斜率为-大时，直线/的倾斜角为:

24

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若|AB|=2,P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：百

20.(12分)如图，在四棱锥P—A3CD中，BC±CD,AD^CD,PA=30，八钻C和AP3C均为边长为2G

的等边三角形.

(1)求证：平面P3C_L平面A8CD；

(2)求二面角C—的余弦值.

21.(12分)2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活

动，超市设计了两种抽奖方案.

方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客

从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽

取3次.

方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客

从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.

(1)现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；

(2)若某顾客获得抽奖机会.

①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；

②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？

22.(10分)已知函数=g(x)=alnx,aeR.函数/z(x)=/(立-g(x)的导函数&'(x)

在I，4上存在零点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若存在实数当xe[(),同时，函数/(x)在x=0时取得最大值，求正实数b的最大值；

⑶若直线/与曲线y=/(x)和y=g(x)都相切，且/在轴上的截距为-⑵求实数”的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求2的最小值.

【详解】

x+y>2

解：作出实数x,）‘满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）

x-y>0

x+y-2=0

由*得

x—y=O

由z=3x+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知过点A时直线在>上截距最小,

所以z而“=3xl+l=4.

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.

2.D

【解析】

取AC中点N,由题意得NBND即为二面角B-AC—。的平面角，过点B作8OLDV于。，易得点。为一AOC的

[7Y（iQY

中心，则三棱锥A-BCD的外接球球心在直线80上，设球心为。I,半径为广，列出方程3-r+王=r

I3JI3J

即可得解.

【详解】

如图，由题意易知一A8C与一AOC均为正三角形，取AC中点N,连接3N,DN,

则BN_LAC,£W_LAC,NffiVO即为二面角B—AC—。的平面角，

过点8作8O_L£）N于0,则BO_L平面4C。，

由BN=N£>=G，cosNBND==可得ON=BN•cosNBND=叵,0。=友，OB=

333

ON=；Nr>即点0为△AOC的中心，

.・・三棱锥A—3C。的外接球球心在直线B0上，设球心为。],半径为广，

2娓

BO、=DO】=r,OO]

.{25/6j/zGYj加农V6

••r+_Y解得i=9

332

I°7\7乙

93

•••三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S=4万/=4万x—=6万.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.

3.A

【解析】

先确定集合A中的元素，然后由交集定义求解.

【详解】

A=卜|y=j2-x}=2},B={x]-3<3},AcB="x|-34xW2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键.

4.D

【解析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何

体的体积.

【详解】

由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为-x2x2x2+-xlx2x2x2=^.

2323

故选D.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.

5.B

【解析】

利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.

【详解】

•••/(X)在R上单调递增，Af(a)>f(b),：.a>b.

•••。切的符号无法判断，故/与/，/与。。的大小不确定，

对A,当。=1力=-1时，=故A错误；

Q4~1h+1

对C,当。=1,〃=-1时，ci~-1,ah——19故C错误；

对D,当a=l,b=-1时，ln(«2+l)=ln(ft2+l),故D错误；

对B,对则指〉强,故8正确.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算

求解能力，属于基础题.

6.B

【解析】

由函数g(x)=/(2x)+X2为奇函数，则有g(—l)+g⑴=0=>/(-2)+1+/(2)+1=0，代入已知即可求得.

【详解】

g(—l)+g(l)=0=/(—2)+l+/(2)+l=0=/(-2)=-5.

故选：3.

【点睛】

本题考查奇偶性在抽象函数中的应用，考查学生分析问题的能力，难度较易.

7.D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为BD=D,所以AC_L平面8。。蜴，

又因为BEu平面6。，片，所以故正确；

B.因为RBJ/DB,所以EF//DB,且EF仁平面ABC。，D3u平面ABC。，

所以EE//平面ABC。，故正确；

C.因为SBEF=LXEFXBB]=也为定值,A到平面BOD4的距离为〃=」AC=也，

BEF2,422

所以匕,F=:'诋/='为定值，故正确;

D.当4GBR=E,ACoBD^G,取尸为四，如下图所示:

因为BF//EG,所以异面直线所成角为NAEG,

V2

日AG_彳尤,

tanZA£G~GE~~V~~

当ACJBp=F,ACr>BD=G,取E为R,如下图所示:

因为DF//GB,DF=GB,所以四边形是平行四边形，所以BF//DQ,

也

.JG工一邪>

所以异面直线AE,BF所成角为ZAEG,且tdn4人七。一无-I,^-,7一号，

由此可知：异面直线所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

8.C

【解析】

分析：先求导，再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间［0,1］内的任意实数占、々、£，都有

/(x,)+/(x2)>/(x}),得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.

详解：由题得fr(x)=ax-［ex+(x-l)ev］=ax-xex-x(a-ex).

当aVl时,f'(x)<0,所以函数f(x)在［0,1］单调递减，

因为对区间［0,1］内的任意实数无］、工2、七，都有/(%)+/(%2"/(七)，

所以/(1)+/(1)2/(0)，

所以一ad—a>l,

22

故哈1,与aVl矛盾，故aVl矛盾.

当，a<e时，函数f(x)在［O,lna］单调递增，在(Ina,1］单调递减.

所以/(x)max=/(ln«)=-«ln2a-alna+a,

因为对区间［0/内的任意实数芯、%、%,都有/(M)+/(々)2/(毛),

所以〃0)+/(1)之/(如。),

B112

所以1+一。之一olrra-alna+a,

22

121

即一ciInci—olnaH—ci—140

22

令g(Q)=3。1口2。一。111。+3々-1,(1＜。＜6),

所以g'(a)=g(ln2a—l)＜0,

所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,

所以g(a)m,x=g6=—g<°，

所以当lWa<e时，满足题意.

当aNe时,函数f(x)在(0,1)单调递增,

因为对区间［0,1］内的任意实数芭、々、七，都有/(石)+/(工2)»/(刍)，

所以/(0)+/(0)2/⑴，

故,

2

所以。<4.

故e工QW4.

综上所述，ae［1,4］.

故选C.

点睛：本题的难点在于“对区间［。，1］内的任意实数小马、毛，都有/(3)+/(%2)2/(七)”的转化.由于是函

数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解

答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破

口.

9.B

【解析】

由ai+a3+as=21得qQ+q?+q4)=211+g?+q4=7=2a3+a$+a7=/(4+4+%)=2x21=42,选B.

10.D

【解析】

利用表格中的数据，可求解得到1=2.5,代入回归方程，可得亍=5,再结合表格数据，即得解.

【详解】

利用表格中数据，可得7=2.5,

又y=2.lx-0.25,r.y=5,

ZK+3.2+4.8+7.5—20•

解得m=4.5

故选：D

【点睛】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

11.C

【解析】

根据函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称可得"可为奇函数，结合/(x+2)=/(-x)可得“X)是周期为4

的周期函数，利用/(0)=。及/(1)=4可得所求的值.

【详解】

因为函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，所以〉=/(%)的图象关于原点对称，

所以/(%)为R上的奇函数.

由/(%+2)=/(-x)可得/(x+2)=-〃x),故_f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

故/(x)是周期为4的周期函数.

因为2016=4x504,2017=4*504+1,2018=4*504+2,

所以/(2016)+/(2017)+〃2018)=/(0)+〃1)+/(2)=4+〃2).

因为/(x+2)=/(_x),故/(0+2)=/(4)=-/(0)=0,

所以/(2016)+/(2017)+/(2018)=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R上的函数“X)满足/(x+a)=-/(x)(a。。)，那么是周期

为2。的周期函数，本题属于中档题.

12.A

【解析】

令"，〃)=g(〃)=r，进而求得〃-m=2e'T-21n，-2,再转化为函数的最值问题即可求解.

【详解】

in]

,.,/(/〃)==f,e2=]n]+l=f(Z>0)>•-n—m=2e''—2\nt—2>

令：h(t)^2e'-'-2lnt-2,h'(t)=2e'-l,〃⑺在(0,+。)上增，

且〃(I)=0,所以力(。在(0,1)上减，在(1,+oo)上增，

所以〃(0即=〃(1)=2-2=0,所以九一〃?的最小值为0.故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示〃和机是本题的

关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-2

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y

轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.

【详解】

由题意得：目标函数Z=2x+y在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,

/.A(l,-1),3(3,1),

，直线AB的方程是：x-y-2=0,

则竺竺£=一2,故答案为—2.

a

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.

14.-1

【解析】

利用行列式定义，得到。〃与S“的关系，赋值〃=1,即可求出结果。

【详解】

a0—1।।

"1101

由o11=4。J-Lo=%(5.+2〃)+1=0,令〃=1,

-2/1S“|1-2n

1-2nS„1

得4(4+2)+l=0,解得4=-1。

【点睛】

本题主要考查行列式定义的应用。

15.x—y+1=0

【解析】

对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.

【详解】

因为＞所以？=任+2%+1产，从而切线的斜率左=1,

所以切线方程为丁-1=1。-0),即x—y+l=0.

故答案为：x-y+l=0

【点睛】

本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.

16.1344

【解析】

分四种情况讨论即可

【详解】

解：数学排在第一节时有：C：xA：xC：=384

数学排在第二节时有：C；xA：xC：=288

数学排在第三节时有：C；xA：xC：=288

数学排在第四节时有：C：xA：xC：=384

所以共有1344种

故答案为：1344

【点睛】

考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)-+y2=1(2)y-—x+^-y-—x+^-

4•22-22

【解析】

（1）根据椭圆定义求得。力，得椭圆方程;

y=kx+m

⑵设尸（七,4）,0（七,%），由，X22,得（1+4左2+85式+4〉-4=0,应用韦达定理得司+%,占与，

一+y=]

[4'

代入已知条件或=够・自2可得k=再由椭圆中弦长公式求得弦长|PQ|,原点。到直线P。的距离d,得三角

形面积，从而可求得”?，得直线方程.

【详解】

22

解：（1）据题意设椭圆C的方程为之■+3=l（a>A>0）

a~b~

2a=4

贝?|<c=G

-2^a2+b2

.a=2,h2=1

v-2

椭圆C的标准方程为—+/=1.

4-

y=kx+m

2

(2)据x2得(1+4攵2)尤2+8/jnx+4根2-4=0

彳+)，=1

・•.64224一40+4户)(4加2一4)>0

Am2<48+1

设P(ay),。(J见)，贝！I玉+%=一法%马=缶、

1十^TK1十^TK

,/=工.匹

%x2

/.(AXj+/77)(AX2+%2)=%2玉%2

2

：.nik^xx+x2)+m=0

暂心加=0

1+4公

又k>0,m>0

：.k=^-

2

,-----------I----------：-------4\/(1+公)(4、+1一九2

2

:.\PQ\=>Jl+k-A/(X1+X2)--4XIX2=△------浮---------

1十^"vK

原点。到直线PQ的距离d

,SAORO=；X|PQ|xd=2嗯:丁=H，2-Wm>0)

N1-rqK

解得m=―乙或根="

22

，所求直线P。的方程为yf+等或yf+半

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题.解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为

P(4,,),。(々,为)，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得X+%2，%丙，把这个结论代入题中条件求得

参数，用它求弦长等等，从而解决问题.

18.(1)/:2x+y-3=0,C:x2+y2-4^=0；(2)

【解析】

(1)在直线/的参数方程中消去参数/可得出直线/的普通方程，在曲线C的极坐标方程两边同时乘以「，结合

n2=x2+y2

.八•可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

psm6=y

(2)计算出直线/截圆C所得弦长|A8|,并计算出原点。到直线〔的距离d'，利用三角形的面积公式可求得AOAB的

面积.

【详解】

x=t

(1)由cc得y=3-2x,故直线/的普通方程是2x+y-3=0.

y=3-2/

’222

由夕=4sin。，得夕2=4/Jsin。，代入公式,'*'得/+9=4丫，Mx2+j2-4y=0,

psin0=y

故曲线C的直角坐标方程是f+y2-4y=0；

(2)因为曲线。：/+)，2-4y=0的圆心为(0,2),半径为r=2,

圆心(0,2)到直线2x+y-3=0的距离为4=匕3='5，

则弦长|A5|=2/2—/=2卜_[q]

又。到直线/：2x+y-3=0的距离为寸=甲=坐,

V55

所以SA匈=；|AB|xd'=；xWx乎=乎.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力,

属于中等题.

19.(1)y+y=1;(2)详见解析.

【解析】

(1)由短轴长可知人=1,设ACr”x),B(x2,y2),由设而不求法作差即可求得n二立.=一［.±±玉，将相应值

%一%aX+%

代入即求得a=血，椭圆方程可求；

(2)考虑特殊位置，即直线/与x轴垂直时候，=成立，当直线/斜率存在时，设出直线/方程＞=区+加，

与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到加与人的关系，将|OM『表示出来，结合基本不等式求最值，证

明最后的结果

【详解】

解：(1)由己知，得人=1

2

竺

+-

户

由＜2两式相减，得

%

+

一-

,a2户

从百+当

-2b

ayi+y2

根据已知条件有，

当±12=—2时，21二&=1

乂+必西一工2

.〃—>即4=^2

a2

...椭圆C的标准方程为5+＞2T

(2)当直线/斜率不存在时，|。"=1(百，不等式成立.

当直线/斜率存在时，设/:y=Ax+机

y=kx+m得（2公+]）£+4热+2加一2=0

由，

x2+2y2=2y7

.-4km2/〃~—2,,

—s---，A=16左2—8机2+8>0

••须+%2二斤石，七九22/+1

-2kmm《+2

•M41

2k2+l'2k2+l）11（23+1）2

由|AB|=ViTF.旭旺页亘=2

2k2+]

2二+1

化简，得加2

2公+2

4左2+1

（2&2+1）（2&2+2）

令4公+1=年1，则

4f4

\OMf

（，+D（，+3）-

1+—+4

t

当且仅当时取等号

26=G-1

':\OF\<\OM\+X

.-.|0P|<V3

当且仅当公=4i二1时取等号

4

综上，|O”(石

【点睛】

本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转

化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题

20.(1)见证明；(2)

13

【解析】

(1)取8c的中点。，连接ORQ4,要证平面BBC，平面ABC。，转证OP，平面ABC。，即证OP_LQ4,

OPLBC即可；(2)以。为坐标原点，以OA,OB,OP为x，»z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求

出平面PBD与平面PBC的法向量，代入公式，即可得到结果.

【详解】

(1)取BC的中点。，连接。P,OA,

因为^ABC,\PBC均为边长为26的等边三角形，

所以AOLBC,OP1BC,且Q4=OP=3

因为AP=3及，所以O/^+OA?二人产？，所以。PLQ4，

又因为。4cBe=O,OAu平面ABC。，BCu平面ABC。，

所以OP,平面4BC£).

又因为OPu平面PBC,所以平面PBC_L平面ABCO.

(2)因为BCLCZ),ZV3C为等边三角形，

所以NACO=—,又因为AP=CQ,所以NC4O=上，ZADC=—,

663

在AADC中，由正弦定理，得：———=———,所以CD=2.

smZADCsinZCAP

以。为坐标原点，以。4,03,0尸为乂乂2轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,3）,网0,百,0）,D（2,-V3,o）,BP=8一6,3）,BD=（2,-2后,0-

设平面PBD的法向量为n=(x,y,z),

n-BP=Q-\[?>y+3z=0

则,即《

nBD=02%-2百y=0

令z=l,则平面PBD的一个法向量为〃=卜,百

依题意，平面PBC的一个法向量帆=(1,0,0)

~'/\mn3\/13

所以3（九"）=丽=下

故二面角C—PB—D的余弦值为主叵.

13

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求

出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空

间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

21.⑴/（2）①100元,80元②第一种抽奖方案.

【解析】

101门1

（1）方案一中每一次摸到红球的概率为〃=者=3，每名顾客有放回的抽3次获180元返金券的概率为J=输

根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金券的概率

（2）①分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即

可②根据①得出结论.

【详解】

（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为。=g

设“每位顾客获得180元返金券”为事件A,则=:

所以两位顾客均获得180元返金券的概率P=尸（A）•网㈤=击

12

（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为彳，每一次摸到白球的概率为；.

33

设获得返金券金额为X元，则X可能的取值为60,100,140,180.

贝!JP（X=60）=C：C吟；

P（X=W0）=C；联|）W，

P（X=U0）=嗯福$

"（X$8O）=C；©$.

所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金券金额的数学期望为

X421

E（X）=60x—+100x-+140x-+180x—=100（元）

''279927

若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为y,最终获得返金券的金额为Z元，则丫~5。,；），

故E（y）=3x§=l

所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金券金额的

数学期望为£（Z）=E（80Y）=80（元）.

②即£（X）>E（Z）,所以该超市应选择第一种抽奖方案

【点睛】

本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.

22.（1）[10,28]；（2）4；（3）12.

【解析】

（1）由题意可知，〃（x）=x2_x_alnx-a+16,求导函数"（x）,方程2/一工一。=0在区间|，4上有实数解，求

出实数。的取值范围；

⑵由/（x）：%3—V—g_]6）x,贝！j/'（x）=3x2-2x-a+16,分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，

得出正实数〃的最大值；

⑶设直线/与曲线y=〃x）的切点为16）%），因为/'（力=3%2-2x-（a—16）,所以切线斜率

左=3叫2一2%-（。-16）,切线方程为y=（24-a）x-12,设直线/与曲线y=g（x）的切点为（£,aln尤2），因为

g'（x）=@,所以切