人教A版2019必修第一册专题3.3幂函数【八大题型】(原卷版+解析)

专题3.3幂函数【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对幂函数的概念的理解】 1【题型2求幂函数的函数值、解析式】 2【题型3求幂函数的定义域】 4【题型4求幂函数的值域】 4【题型5幂函数的图象】 5【题型6由幂函数的图象与性质求参数】 6【题型7比较幂值的大小】 7【题型8利用幂函数的性质解不等式】 7【知识点1幂函数的概念】1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【题型1对幂函数的概念的理解】【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2−1 B．y=x0.3 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数y=1x2A．0 B．1 C．2 D．3【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数fx=a2−a−1A．−1或2 B．−2或1 C．−1 D．1【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①y=1x，②y=x2，③y=2x，④y=2，A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【题型2求幂函数的函数值、解析式】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则f2=A．22 B．4 C．42【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则该函数的解析式是（A．y=2x B．y=x C．y=【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，则f(9)的值是（A．-3 B．-13 C．1【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fxA．fx=xC．fx=x【知识点2幂函数的图象与性质】1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上为增函数，增函数，减函数在R上为增函数在上为增函数，增函数，减函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p、q互质）p，q都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数的定义域为；

(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函数为奇函数.

(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型3求幂函数的定义域】【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为R的是（）A．y=x−12 B．y=x−1【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=xA．−∞,+∞C．0,+∞ D．【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x54；④A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设α∈−1,12,1,2,3，则使函数y=xα的定义域为A．1或3 B．−1或1 C．−1或3 D．−1、1或3【题型4求幂函数的值域】【例4】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,12A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．(−∞,0)∪(0,+∞) D．(−∞,+∞)【变式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x12【变式4-2】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为0,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【变式4-3】（2022秋·广东广州·高一校考期末）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数y=x−fxA．−∞,+∞ B．−∞,1【题型5幂函数的图象】【例5】（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【变式5-1】（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①y=x3，②y=x2B．①y=x2，②y=x1C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于A．p，q均为奇数，且pB．q为偶数，p为奇数，且pC．q为奇数，p为偶数，且pD．q为奇数，p为偶数，且p【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3A．−2，−12，12，2 B．2，12C．−12，−2，2，12 D．2，12【题型6由幂函数的图象与性质求参数】【例6】（2023春·广西玉林·高二校联考阶段练习）若幂函数fx=m2−2m−2xmA．−1 B．3 C．−1或3 D．1或−3【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=a2−3a+3A．3 B．2 C．1 D．1或2【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知幂函数fx=x−m2+2m+3m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数，且A．−1 B．0 C．1 D．2【题型7比较幂值的大小】【例7】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b【变式7-1】（2023·海南海口·校考模拟预测）设a=3412,b=A．c<a<b B．c<b<aC．a<c<b D．b<c<a【变式7-2】（2022秋·福建南平·高一统考期中）下列比较大小中正确的是（

）A．320.5<C．(−2.1)37<【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−m−6，(m∈R)，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1A．f(π)<f(−3)<f(−1) C．f(−3)<f(−1)<f(π) 【题型8利用幂函数的性质解不等式】【例8】（2023·高一课时练习）若(a+1)−13【变式8-1】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx(1)求f1(2)若f2a+1>fa【变式8-2】（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数fx=xm2−2m−3(m∈(1)求m的值；(2)解不等式f1−2x【变式8-3】（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知幂函数fx(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；(2)若fa+1+f2a−3<0专题3.3幂函数【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1对幂函数的概念的理解】 1【题型2求幂函数的函数值、解析式】 2【题型3求幂函数的定义域】 6【题型4求幂函数的值域】 7【题型5幂函数的图象】 9【题型6由幂函数的图象与性质求参数】 11【题型7比较幂值的大小】 12【题型8利用幂函数的性质解不等式】 14【知识点1幂函数的概念】1．幂函数的概念(1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的特征：①xα的系数为1；

②xα的底数是自变量；

③xα的指数为常数.

只有同时满足这三个条件，才是幂函数.【题型1对幂函数的概念的理解】【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A．y=x2−1 B．y=x0.3 【解题思路】根据幂函数的定义判断可得出结论.【解答过程】由幂函数的定义可知，B选项中的函数为幂函数，ACD选项中的函数都不是幂函数.故选：B.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）在函数y=1x2A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据幂函数的定义即可求解．【解答过程】∵幂函数y＝xa，∴y=1x2=xy=1不是幂函数，比幂函数y=x0x≠0∴幂函数的个数为1．故选：B.【变式1-2】（2023春·陕西西安·高一校考期末）已知函数fx=a2−a−1A．−1或2 B．−2或1 C．−1 D．1【解题思路】直接根据幂函数的定义求解即可．【解答过程】∵fx∴a2∴a=2，或a=−1，又a−2≠0，∴a=−1，故选：C．【变式1-3】（2023·高一课时练习）在函数①y=1x，②y=x2，③y=2x，④y=2，A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【解题思路】根据幂函数的定义可判断.【解答过程】幂函数是形如y=xα（α∈R，α为常数）的函数，①是α=−1的情形，②是α=2的情形，⑥是α=−1故选：C.【题型2求幂函数的函数值、解析式】【例2】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）已知幂函数y=fx的图象过4,32点，则f2=A．22 B．4 C．42【解题思路】根据幂函数的定义设函数y=fx的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求f【解答过程】因为函数y=fx为幂函数，所以可设f（x）＝xa因为y=fx图象过4,32所以32=4所以a=52，即所以f故选：C.【变式2-1】（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数y=fx的图象过点2,2，则该函数的解析式是（A．y=2x B．y=x C．y=【解题思路】根据幂函数定义可设fx【解答过程】设幂函数fx=xα，则f2故选：B.【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，则f(9)的值是（A．-3 B．-13 C．1【解题思路】将点(4,2)代入fx=x【解答过程】因为幂函数fx=x所以4α=2，解得α=所以f故选：D.【变式2-3】（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点a3,2在幂函数fxA．fx=xC．fx=x【解题思路】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解.【解答过程】∵函数fx∴a−1=1，即a=2,∴点8,2在幂函数fx∴8b=2，即b=故选：D.【知识点2幂函数的图象与性质】1．常见幂函数的图象与性质幂函数图象定义域RRR值域RR奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上为增函数，增函数，减函数在R上为增函数在上为增函数，增函数，减函数定点（1,1）温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．2．一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象：①当α=1时，y=x的图象是一条直线.

②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.

③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表：（p、q互质）p，q都是奇数p是偶数，q是奇数p是奇数，q是偶数(2)一般幂函数的性质：通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质：

①所有的幂函数在(0,+)上都有定义，并且图象都过点(1,1).

②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+)上是增函数.

③α<0时，幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限.

⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.3．对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质，探究函数的性质.(1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近.(2)函数的定义域为；

(3)函数的值域为(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函数为奇函数.

(5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-,-1)，(1,+)上单调递增，在(-1,0)，(0,1)上单调递减.【题型3求幂函数的定义域】【例3】（2023·全国·高三专题练习）下列函数定义域为R的是（）A．y=x−12 B．y=x−1【解题思路】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解答过程】y=x−1y=x−1=y=x13y=x12故选：C．【变式3-1】（2023·全国·高一假期作业）函数fx=xA．−∞,+∞C．0,+∞ D．【解题思路】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【解答过程】因为fx=x−1+故函数fx的定义域为0,+故选：D.【变式3-2】（2023·高一课时练习）5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x54；④A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【解题思路】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可.【解答过程】①y=x−2的定义域为②y=x45③y=x54④y=x23⑤y=x−4故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设α∈−1,12,1,2,3，则使函数y=xα的定义域为A．1或3 B．−1或1 C．−1或3 D．−1、1或3【解题思路】由幂函数的相关性质依次验证得解.【解答过程】因为定义域为R，所以α>0，α≠1又函数为奇函数，所以α≠2，则满足条件的α=1或3.故选:A.【题型4求幂函数的值域】【例4】（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,12A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．(−∞,0)∪(0,+∞) D．(−∞,+∞)【解题思路】求出幂函数的解析式，即可得解.【解答过程】f(x)=xα的图象过点(2,1则函数f(x)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故选：C.【变式4-1】（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（

）A．y=x13 B．y=x12【解题思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.【解答过程】由y=x13=3由y=x12=x由y=x53=3由y=x23=3故选：D.【变式4-2】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列函数中，值域为0,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【解题思路】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【解答过程】由已知f(x)=x值域为0,+∵x>0，∴fx=x+1f(x)=1x+1因为定义域为x∈−1,+∞，f(x)=1−1x(x>1)，1x∈故选：C.【变式4-3】（2022秋·广东广州·高一校考期末）幂函数y=fx的图象过点2,2，则函数y=x−fxA．−∞,+∞ B．−∞,1【解题思路】设fx=xa，带点计算可得fx【解答过程】设fx代入点2,2得∴a=1∴f则y=x−x12，令∴y=函数y=x−fx的值域是−故选：C.【题型5幂函数的图象】【例5】（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点P8,4，则该幂函数的大致图象是（

A．

B．

C．

D．

【解题思路】设幂函数为fx=x【解答过程】设幂函数为fx=xα，则8α=4，所以fx=x因为f−x故选：C.【变式5-1】（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（

）A．①y=x3，②y=x2B．①y=x2，②y=x1C．①y=x2，②y=x3D．①y=x13，②y=x【解题思路】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【解答过程】函数y=x3为奇函数且定义域为函数y=x2≥0y=x12y=x故选：A．【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=xpq（p,q∈Z且p,q互质）的图象关于A．p，q均为奇数，且pB．q为偶数，p为奇数，且pC．q为奇数，p为偶数，且pD．q为奇数，p为偶数，且p【解题思路】根据函数的单调性可判断出pq<0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，【解答过程】因为函数y=xpq的定义域为(−所以pq因为函数y=xpq所以函数y=xpq又p、q互质，所以q为奇数，所以选项D正确，故选：D.【变式5-3】（2023·全国·高一假期作业）如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3A．−2，−12，12，2 B．2，12C．−12，−2，2，12 D．2，12【解题思路】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.【解答过程】解：根据幂函数y=x当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n=2，C当n<0时，n越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=−12，曲线C故选:B.【题型6由幂函数的图象与性质求参数】【例6】（2023春·广西玉林·高二校联考阶段练习）若幂函数fx=m2−2m−2xmA．−1 B．3 C．−1或3 D．1或−3【解题思路】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.【解答过程】因为函数fx=m所以m2−2m−2=1且由m2−2m−3=0，得m=−1或当m=−1时，m2当m=3时，足m2综上m=−1.故选：A.【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=a2−3a+3A．3 B．2 C．1 D．1或2【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【解答过程】∵幂函数fx∴a2−3a+3=1则实数a=1，故选：C.【变式6-2】（2023秋·江苏无锡·高一校考期末）“n=1”是“幂函数fx=n2−3n+3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据幂函数的定义和性质即可求解.【解答过程】因为fx所以n2−3n+3=1即n2−3n+2=0解得当n=1时，fx=x当n=2时，fx=x在所以“n=1”是“幂函数fx=n故选:C.【变式6-3】（2023·高一课时练习）已知幂函数fx=x−m2+2m+3m∈Z在区间0,+∞上是单调增函数，且A．−1 B．0 C．1 D．2【解题思路】根据函数的单调性得到−m【解答过程】幂函数fx=x−m解得−1<m<3，m=0,1,2，当m=0时，fx当m=1时，fx当m=2时，fx故选：C.【题型7比较幂值的大小】【例7】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知a=3513,b=A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.【解答过程】b=35−所以由53>35>故选：C.【变式7-1】（2023·海南海口·校考模拟预测）设a=3412,b=A．c<a<b B．c<b<aC．a<c<b D．b<c<a【解题思路】易得b=431【解答过程】因为a=3且0<827<916所以82714综上：c<a<b，故选：A.【变式7-2】（2022秋·福建南平·高一统考期中）下列比较大小中正确的是（

）A．320.5<C．(−2.1)37<【解题思路】利用函数的单调性进行判断即可.【解答过程】解：对于A选项，因为y=x0.5在[0,+∞对于B选项，因为y=x−1在(−∞对于C选项，y=x37为奇函数，且在[0,+∞)因为(−2.2)−37所以(−2.1)3对于D选项，y=x43又(−12)43故选：C.【变式7-3】（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−4m+4)xm2−m−6，(m∈R)，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1A．f(π)<f(−3)<f(−1) C．f(−3)<f(−1)<f(π) 【解题思路】由幂函数的定义即可求f(x)解析式，进而可知其奇偶性，并结合单调性即可比较f(−3)，f(−1)，f(π)的大小.【解答过程】对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有({m2−4m+4=1m2∴f(x)=x−6，∴f(−1)=f(1)，f(−3)=f(3)，而f(1)>f(3)>f(π)，即f(−1)>f(−3)>f(π)，故选：A.【题型8利用幂函数的性质解不等式】【例8】（2023·高一课时练习）若(a+1)−13【解题思路