猜题06 图形的相似（易考必刷36题10种题型专项训练）（含答案解析）

第6章图形的相似（易考必刷36题10种题型专项训练）由比例的性质求值或证明由平行判断成比例线段由平行截线求相关线段的长或比值黄金分割添加条件使两个三角形相似证明两个三角形相似根据已知条件确定相似三角形个数相似三角形的性质求解相似三角形的应用举例坐标系中画位似图形一．由比例的性质求值或证明（共5小题）1．若ca+b=ab+c=ba+c=k，则k的值为A．12 B．12或1 C．-1 D．1【答案】D【分析】根据条件ca+b=ab+c=ba+c=k，分为a+b+c=0和a+b+c≠0【详解】当a+b+c=0时，c=-(a+b)，所以k=c当a+b+c≠0时，k=c+a+b故选D．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键．2．已知非负实数a，b，c满足a-12=b-23=3-c4，设S=a+2b+3c的最大值为m，最小值为【答案】1116【分析】设a-12=b-23=3-c4=k，则a=2k+1，b=3k+2，c=3-4k，可得S=-4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【详解】解：设∴S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14．∵a，b，c为非负实数，∴2k+1⩾03k+2⩾0解得：-1∴当k=-12时，S取最大值，当k=3∴m=-4×(-1n=-4×3∴nm故答案为：11【点睛】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设a-123．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.（1）若ab=2，cd=2，则badc，acbd（用“＞（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca-c【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，（2）设ab=t，则cd=t，得到a=bt，（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.【详解】（1）∵ab=2，∴a=2b，c=2d，∴ba=dc=1（2）ba+b=dc+d设ab=t，则∴a=bt，c=dt，∴ba+bdc+d∴ba+b=d（3）∵ac∴a=ct，b=dt.∵2a+ca-c-∴2t+1t-1解得：t=12经检验：t=12是原方程的解【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.4．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【答案】（1）85；（2）证明过程见解析【分析】（1）根据a+b（2）先在等式两边同时减去1再结合a+bb【详解】（1）∵ab∴a+bb（2）∵ab∴ab∴a-bb又∵a+bb∴a-bb∴a-ba+b【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．5．已知代数式A=ab+c，B=b①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=2②若A=B=C，则A+B+C=3③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则④若a<b<c，则A<B<C；其中正确的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，代入A、B、C，进行计算即可判断；②根据A=B=C得A=ab+c=ba+c③当a=b=2时，代入A、B、C，可得1A+1B+1C=2+c+4④根据a，b，c为正整数，且a<b<c得b+c>a+c>a+b，即可判断；【详解】解：①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，∴A=t即A×C+B=1故①正确；②∵A=B=C，∴A=a若a+b+c=0，即b=c=-a，则A=a若a+b+c≠0，则A=a+b+c即A的值为-1或12故②不正确；③当a=c=2时，A=2b+2，B=b∴1A∵b是方程x2∴b2∴b+4∴1A故③不正确；④∵a，b，c为正整数，且a<b<c，∴b+c>a+c>a+b，∴A<B<C，故④正确；综上，①④正确，正确的个数是2个，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．二．由平行判断成比例线段（共2小题）1．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中A．ADDB=AEEC B．DEBC=【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．【详解】解：∵DE∥∴ADBD=AEEC，△DEF∽△CBF，△ADE∽△∴DECB=DFCF=EFBF∴EFBF=AE故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．2．如图，D是△ABC的边上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（

A．ADBD=AFEF B．AFAE=DFEB【分析】根据DF∥BE，【详解】解：∵DF∴AD故A选项比例式正确，不符合题意；∵DF∴△ADF∴DF故B选项比例式正确，不符合题意；∵DE∴AD故C选项比例式正确，不符合题意；∵DE∴AFAC=故选D．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．三．由平行截线求相关线段的长或比值（共5小题）1．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若ABBC=12，则DEA．13 B．12 C．23【答案】A【分析】先由ABBC=12得出ABAC∴ABAC∵a∥b∥c，∴DEDF故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．2．如图，在△ABC中，点D为AB边上的一点，DE∥BC，交AC边于点E,EF∥AB，交BC边于点F，若BF:CF=3:2,AB=15，则线段BD的长为【答案】6【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据平行线分线段成比例，进行求解即可．【详解】解：∵EF∥∴AECE∵DE∥∴AECE∴BDAB∵AB=15，∴BD=15×2故答案为：6．3．如图，△ABC中，D在AC上，且AD:DC=1:3，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么BFFC的值为．【答案】14【分析】本题考查了平行线分线段成比例．作DG平行于AF交BC于G，．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得ADAC=FGFC=14；然后根据E【详解】解：如图，作DG平行于AF交BC于G，则CDCA=∵AD:DC=1:3，∴AD:AC=1:4，根据比例的性质得：ADAC又E是BD的中点，∴BFFG∴BF=FG．∴BFFC故答案为：144．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，DE∥BC，若AD=2,AB=5，则AEAC=（A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】直接运用平行线分线段成比例定理得出比例式求解即可．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．【详解】解：∵DE∥BC，AD=2,AB=5，∴AEAC故选：A．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被直线l1、l2、l3所截，

A．7 B．125 C．152 D【答案】B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得出比例式代入即可．【详解】解：∵l1∴ABBC∴2∴DE=12故选B．四．黄金分割（共3小题）1．点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PQ长度是（

）A．1 B．3-5 C．25【答案】C【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．根据黄金分割的定义，得到AQAB【详解】如图，点P，点Q是线段AB的黄金分割点，若AB=2，∴AQAB∴AQ=BP=5∴PQ=AQ+BP-AB=5故选：C．2．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（BP<AP），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（

A．45-4cm B．4-25cm C【答案】A【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比短长=长【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得BPAP∵AB=8cm∴AP=AB×5故选：A．3．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AD的黄金分割点，且AE>ED，则CFAF=【答案】5+1【分析】本题考查了黄金分割的定义，平行四边形的性质，三角形相似的判定及性质；可得AEAD=5-12，可证△CBF∽△AEF，从而可得CFAF=BCEA即可求解；掌握黄金分割的定义“点P是线段AB上点，且PB<PA，若PB【详解】解：∵点E为边AD的黄金分割点，∴AE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥AD=BC，∴△CBF∽△AEF，∴AE∴CFAF=故答案：5+14．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是5-12的矩形，我们将这种宽与长的比是5-12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形(1)黄金矩形ABCD的长BC=；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．【答案】(1)5(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析(3)点D到线段AE的距离为10【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据ABBC=5（2）先求出FD=EC=AD-AF=5-12（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据AB=EF=1，AD=5+12，得出AE=【详解】（1）解：∵ABBC=5∴BC=AB故答案为：5+1（2）解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是：由（1）知AD=BC=5∴FD=EC=AD-AF=5∴DFEF故矩形DCEF为黄金矩形；（3）解：连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G∵AB=EF=1，AD=5∴AE=12+12=2即AD×EF=AE×DG，则5+1解得DG=10∴点D到线段AE的距离为10+五．添加条件使两个三角形相似（共3小题）1．如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（

）A．∠C=∠AED B．∠B=∠D C．ABAD=BC【答案】C【分析】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知条件及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠BAC，∴添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；添加D选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似．故选：C．2．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（

）

A．AEAC=DEBC B．∠B=∠ADE C．【答案】A【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【详解】解：由图得：∠A=∠A∴当∠B=∠ADE或∠C=∠AED或AEAD=AC当AEAD=ABA选项中∠A不是成比例的两边的夹角．故选：A．3．在Rt△ABC和Rt△A'B'CA．∠A=∠A' B．ACA'C'【答案】D【分析】本题考查了三角形相似的判定，掌握判定方法，理解相似中的对应边是解题的关键．【详解】解：A.用“两角对应相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽B.用“两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽C.用“两角对应相等的两三角形相似”可判断Rt△ABC∽D.AB与A'C'，AC与B故选：D．六．证明两个三角形相似（共4小题）1．如图，D、E、F分别是△ABC的AB、AC、BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB【答案】证明见解析．【分析】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质，根据平行线的性质可得∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD，再根据相似三角形的判定即可求证结论，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【详解】证明：∵DE∥BC，∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．∴△ADE∽2．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C．(1)求证：△ABD∽(2)若AB=6，BD=3，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；（1）根据两角对应相等证明△ABD∽（2）根据（1）的结论推ABBD【详解】（1）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△ABD∽（2）设DC=x，∵△ABD∽∴ABBD∴63解得，x=9；即CD=9．3．如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠DAE=∠E．

(1)求证：△ADF∽△ECF；(2)若CF=3，AF=2EF，求DC的长度．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：（1）根据∠DAE=∠E，对顶角相等，即可证明；（2）根据AF=2EF得出相似比，再根据相似比求出DF的长度，即可求解．【详解】（1）解：证明：∵∠DAE=∠E，∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF．（2）∵AF=2EF，∴AFEF∵△ADF∽△ECF，∴DFCF∵CF=3，∴DF=6，∴DC=CF+DF=9．4．在△ABC和△AED中，AB⋅AD=AC⋅AE，∠BAD=∠CAE，求证：△ABC∽△AED．

【答案】见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．由∠BAD=∠CAE，可得∠BAC=∠EAD，由AB⋅AD=AC⋅AE，可得ABAE【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠EAD，∵AB⋅AD=AC⋅AE，∴ABAE∵ABAE=AC∴△ABC∽△AED．七．根据已知条件确定相似三角形个数（共2小题）1．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE=∠B，下列结论中正确的个数是（）

①△ACM∽△ABD；②△ACE∽△ABC；③△AEM∽△CDM；④△AEM∽△ACDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．【详解】解：∵∠ACE=∠B，∠BAC=∠CAE，∴△ACE∽△ABC，故②符合题意；∴∠AEC=∠ACB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAM，∴△AEM∽△ACD，△ACM∽△ABD；故①④符合题意；△AEM与△CDM只有一组角相等，无法证明相似，∴故③不符合题意；故选C．2．根据下列条件，能判定△ABC和△DEF相似的个数是（）（1）∠ABC=35°，∠ACB=75°，∠EDF=80°，∠DEF=35°；（2）AB=3，BC=2，∠ABC=30°，DE=6，EF=4，∠EDF=30°；（3）AB=2，BC=3，AC=4，DE=12，EF=1（4）AB=6，CB=2，AC=2，DE=3，EF=1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据两三角形相似的判定定理，对各选项依次判断即可．【详解】解：（1）△ABC和△DEF中，∠ABC=35°，∠ACB=75°，∠EDF=80°，∠DEF=35°，∴∠A=70°≠∠EDF，∴△ABC和△DEF不相似；（2）△ABC和△DEF中，∵ABDE=36=12∴△ABC和△DEF不相似；（3）∵ABDE=212∴ABDE∴△ABC和△DEF不相似；（4）∵ABDE=63=∴ABDE∴△ABC和△DEF相似；综上，只有（4）相似，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．八．相似三角形的性质求解（共4小题）1．如图，△ABC∽△DEF，则∠E的度数是（

）

A．45° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．利用相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题【详解】解：∵△ABC∼∴∠F=∠C=70°∵∠E=180°-∠F-∠D=180°-70°-45°=65°，故选：C2．两个三角形相似比是3:4，其中小三角形的周长为9，则另一个大三角形的周长是（

）A．12 B．16 C．27 D．36【答案】A【分析】根据相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：∵两个三角形相似比是3:4，∴两个三角形的周长之比是3:4，∵其中小三角形的周长为9，∴另一个大三角形的周长是9×4故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．3．如图，在ΔABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则SA．30 B．25 C．22．5 D．20【答案】D【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=12BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SΔADE：SΔABC=1：4，则S四边形BCED：SΔABC=3：4，题中已知S故本题选择D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．4．已知两个相似三角形对应角平分线的比为4:3，那么这两个三角形对应高的比是．【答案】4:3【分析】本题考查了相似三角形的性质，两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，两个相似三角形对应高的比也等于相似比，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4:3，∴相似比为4:3故这两个三角形对应高的比是4:3，故答案为：4:3九．相似三角形的应用举例（共5小题）1．每年秋季，校园里的银杏路是学校最为靓丽的条风景线，吸引着大量的师生驻足观赏；数学兴趣小组成员决定运用数学知识测量出一棵银杏树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案；把镜子放在离银杏树8米的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得点D与点E之间的距离为2米，已知观测者CD身高为1.75米，则银杏树AB高约是多少米？【答案】7【分析】本题考查相似三角形的应用，根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【详解】根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则BEDE=AB解得：AB=7m答：银杏树高AB约是7m2．阅读材料、完成探究．数学活动：测量树的高度．在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下：①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离CD=2米，小华的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；②将平面镜从点C沿BC的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH=3米，小华的眼睛G到地面的距离GH=1.5米；③已知AB⊥BH，ED⊥BH，GH⊥BH，点B，C，D，(1)∵∠ABC=∠EDC=90°，∴△ABC∽∴ABED=BC可得ABBC=(2)利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度AB．【答案】(1)3(2)15【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题（1）根据相似三角形的性质得到ABBC=ED（2）设AB=x米，BC=y米，证明△ABF∽△GHF得到ABGH=BFHF，即x1.5=y+103，再由（【详解】（1）解：∵∠ABC=∠EDC=90°，∴△ABC∽∴ABED=BC∴ABBC故答案为：3（2）解：设AB=x米，BC=y米，由（1）得xy∵∠ABF=∠GHF=90°，∴△ABF∽△GHF．∴ABGH∴x1.5∴34解得y=20，∴x=答：树的高度AB为15m3．文殊院与大慈寺、宽窄巷子一起并称为成都三大历史文化名城保护街区，千佛和平塔就位于成都文殊院中．塔壁上铸999尊浮雕佛像，连同底层中央铜铸释迦牟尼佛像1尊，共1000尊，故得名千佛塔（如图1）．爱好文物的小航决定利用所学相似三角形的知识测量千佛和平塔的高度．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为26m，并且古塔AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED=2m），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG=4m），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC

【答案】千佛和平塔AB的高度为21【分析】本题考查了相似三角形的应用，设BE=xm，由题意可证得△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，得EFAB=DEBD，GCBC=GHAB【详解】解：设BE=xm∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴EFAB=DE∵EF=HG=1.5m∴DEBD∴22+x解得：x=26，经检验x=26符合题意，则1.5AB解得：AB=21m答：千佛和平塔AB的高度为21m4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，求CD的长．

【答案】3米【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证得△ABE∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出CD．【详解】解：由题意知：AB∥则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD∴1CD解得：CD=3，答：CD的