第九章时间序列预测方法

市场调查与预测陈静沈阳航空航天大学市场营销系2024/9/111第九章时间序列预测方法9.1时间序列预测方法概述时间序列是某一统计指标长期变动的数量表现。时间序列分析就是估算和研究某一时间序列在长期变动过程中所存在的统计规律性。如长期变动趋势、季节性变动规律、周期变动规律、随机变动规律等，以此预测今后的发展和变化。2024/9/1129.1.1时间序列（数据）及分析目的时间序列亦称为动态数列或时间数列(TimeSeries)，就是把反映某一现象的同一指标在不同时间上的取值，按时间的先后顺序排列所形成的数列。一般研究的是均匀间隔时间上的时间序列。时间序列的构成要素主要有两个。一是现象所属的时间。二是现象在一定时间条件下的统计数据，即发展水平。进行时间序列分析的目的有三个：一是描述事物在过去时间的状态；二是分析事物发展变化的规律；三是对事物的发展变化趋势进行预测。2024/9/1139.1.2时间序列的分类1、总量指标时间序列总量指标时间序列，又称为绝对数时间序列，是指由一系列同类的总量指标数值所构成的时间序列。它反映事物在不同时间上的规模、水平等总量特征。2、相对指标时间序列相对指标时间序列，又称为相对数时间序列，是指由一系列同类的相对指标数值所构成的时间序列。它可以反映社会经济现象数量对比关系的发展过程。3、平均指标时间序列平均指标时间序列，又称为平均数时间序列，是指由一系列同类的平均数指标数值所构成的时间序列。它可以反映客观现象一般水平的发展变化过程。2024/9/1149.1.3编制时间序列应遵循的原则1、时间方面的可比性2、空间方面的可比性3、各指标数值的内容、计算计量应具有可比性2024/9/1159.1.4时间序列的基本变动趋势1、长期趋势（T）2、季节变动（S）3、循环变动（C）4、不规则变动（I）2024/9/1169.2简单平均值预测方法在运用时间序列分析法进行市场预测时，最简单的方法是采用求一定观察期的时间数列的平均数，以平均数为基础确定预测值的方法，统称平均法。优点：不需要复杂的运算过程，简便易行。适用于对不呈现明显倾向变化，而又具有随机波动影响的经济现象进行预测。简单平均法中最常用的有算术平均法、几何平均法、加权平均法等。

2024/9/1179.2.1算术平均法

算术平均法，就是以观察期数据之和除以求和时使用的数据个数（或资料期数)，求得平均数。设

为n期拟求算术平均数的资料，则算术平均数可依下列公式求得：

2024/9/1182024/9/119

运用算术平均法求平均数，有两种形式。（1）以最后一年的每月平均值，或数年的每月平均值，作为次年的每月预测值。如果通过数年的时间序列显示，观察期资料并无显著的长期升降趋势变动和季节变动时，就可以采用此方法。

2024/9/1110例9-1假设2012～2015年食盐的每月销售量如表9-1所示，预测2016年的每月销售量。2024/9/1111①如果以2015年的月平均值作为2016年的每月预测值，则有：②如果以2012～2015年的月平均值作为2016年的每月预测值，则有:或

这样，就可以将339.17万元或335.67万元作为2016年每月的预测值。（2）以观察期的同月份平均值作为预测期对应月份的预测值当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化时，如果用前面方法求得预测值，其精确度难以保证，为提高精确度，可用下面的方法求预测值。2024/9/11122024/9/1113由表9-2可以看出，观察期资料在年度内呈现出季节性的波动。如果再用全期（36个月）平均的方法，就不能显示出不同季节的市场需求变动情况。2024/9/11149.2.2几何平均法

几何平均法，就是运用几何平均数求出平均发展速度，然后进行预测的一种方法。其数值就是将观察期n个资料数相乘，开n次方，所得的n次方根。2024/9/1115例9-3某企业2002～2015年的销售额（单位为万元）资料如表9-4所示，试预测该企业2016年的销售额为多少万元。2024/9/1116预测步骤如下：1、以上年度为基期分别求各年的环比指数。如此类推，求出各年环比指数，见表9-4第（3）列所示。2、求环比指数的几何平均数，即发展速度。可用三种方法：

（1）直接用所求得的环比指数，求平均发展速度。2024/9/1117（2）采用对数运算，求得环比指数的几何平均数，如表9-4第（4）列。（3）求环比指数几何平均数的简便算法。若2002年销售额为(基期），……，2015年销售额为(当前期)，那么，其环比指数的几何平均数为2024/9/1118

2024/9/11192024/9/1120由于例给出的最后观察期为2015年，本例要预测2016年的销售额，所以预测期与最后观察期的间隔数T=1，利用上述第三种方法计算出的平均发展速度值，根据公式（9-6）有：如果本例要求预测2017年的销售额，则预测期与最后观察期的间隔数T=2，利用上述第三种方法计算出的平均发展速度值，根据公式（9-6）有：9.2.3加权平均法

加权平均法，就是在求平均数时，根据观察期各资料重要程度的不同，分别给以不同的权数后加总平均的方法。其特点是：所求得的平均数，包含了长期趋势变动。设

为观察期的资料；

为观察期各期资料相对应的权数。求加权平均数

的计算公式为：2024/9/1121加权平均法根据对各个历史数据进行具体分析，区别对待，给予不同程度的重视，在这点上优于算术平均法。这种方法能较真实地反映时间序列的规律，考虑了事件的长期发展趋势。例9-4某商店2011～2015年的销售额（单位为万元），权数资料如表9-5所示。试用算术平均数、加权平均数方法预测2016年的销售额。2024/9/11222024/9/1123解：根据表9-5的数据和公式（9-3）、（9-7）可计算出：很显然，用算术平均法求得的平均数作为2016年预测值过低，不能反映商店销售的发展趋势。加权平均法的关键是合理确定权数。目前，对于权数的确定尚无统一的标准，完全凭预测者在对时间序列资料分析的基础上，做出主观的经验判断。9.3移动平均预测方法

移动平均法是将观察期的数据，按时间先后顺序排列，然后由远及近，以一定的跨越期进行移动平均，求得平均值。每次移动平均总是在上次移动平均的基础上，去掉一个最远期的数据，增加一个紧挨跨越期后面的新数据，保持跨越期不变，每次只向前移动一步，逐项移动，滚动前移。移动平均法可分为简单移动平均和加权移动平均两类，而简单移动平均又可细分为一次移动平均、二次移动平均和三次移动平均等等。2024/9/11249.3.1一次移动平均法

2024/9/11259.3.1.1一次移动平均法原理2024/9/11269.3.1.2一次移动平均值的位置用式（9-8）或式（9-9）计算的移动平均值

，实际上是跨越期内各观察期数据的算术平均数（均值)，按理应置于跨越期的中间位置上，但式（9-8)或式(9-9)却将其置于跨越期末的位置上，这就出现了滞后偏差，它使预测值落后于实际值（n-1）/2

期。由于一次移动平均法是以预测期的最后一个移动平均值为依据，考虑趋势变动值（或平均趋势变动值）来建立模型进行预测的，所以，一次移动平均值应置于跨越期的中间位置上，即

（n+1）/2

的位置上。若跨越期为奇数，如n=9，则应置于5（=（9+1）/2）的位置上，也就是说，第一个移动平均值

应置于

水平线上，其他顺推；若跨越期为偶数，如n=12，则应置于6.5（=（12+1）/2）的位置上，即第一个移动平均值

应置于

与

中间的位置上。2024/9/11279.3.1.3跨越期间隔数n的确定

一般来说，n取值较大，则可以避免随机干扰，但追踪新趋势的能力较差；反之，取值较小时，追踪新趋势的能力强，但易受随机干扰。根据经验，n一般取3～20之间的值，而且如果没有周期变动因素的影响时，最好取奇数值。当然，如果要选择一个较理想的跨越期n，可以通过预选几个不同的n值，分别计算不同n值下的平均绝对误差（或均方差)，并进行比较，则平均绝对误差小的所对应的n是比较理想的跨越期。2024/9/11289.3.1.4一次移动平均法预测步骤（1）绘制散点图（表9-6数据）（2）确定跨越期n的值为了比较不同的跨越期取值所导致的不同预测结果，我们分别取n=3、5、7、9四个值，分别计算几个取值下的平均绝对误差，其中平均绝对误差小的所对应的n就是比较理想的跨越期取值。2024/9/11292024/9/11302024/9/1131（4）计算趋势变动值

计算趋势变动值是用一次移动平均法求取预测值的依据之一。当年的趋势变动值等于当年的移动平均值与上年的移动平均值之差，即

趋势变动值=当年的移动平均值-上年的移动平均值

当n=3时，对应第一个一次移动平均值的1997年的趋势变动值为：771.67-758.33=13.33第二个一次移动平均值对应的1998年的趋势变动值为：810-771.67=38.33……n=5、7、9的趋势变动值依此类推。2024/9/1132在确定预测用的趋势变动值时，可根据该值的情况分别进行处理：（1）当构成时间序列的各年趋势值变动比较平稳时，可直接用最后一年的趋势变动值进行预测；（2）当各年趋势变动值变化较大时，可采用算术平均法求平均趋势变动值m

，用平均趋势变动值m

进行预测。平均趋势变动值的计算方法为：2024/9/11332024/9/1134（5）计算绝对误差、平均绝对误差

绝对误差=∣移动平均值-观察值∣

当n=3时，

1996年绝对误差=∣758.33-825∣=66.67

1997年绝对误差=∣771.67-774∣=2.33

……

其余依此类推。而平均绝对误差计算方法为：

2024/9/1135（6）建立模型求预测值2024/9/1136

可以看出，不管是2016年还是2017年，n=5时的预测值都比n=3时的预测值要小，而从表9-6所给出的2015年的实际观察值为4107万元，与n=3时的预测值更为接近，这再次证明前述结论：平均绝对误差值小时对应的跨越期间隔数求得的预测值误差小的结论。2024/9/11379.3.2二次移动平均法9.3.2.1二次移动平均法原理

二次移动平均法是对一组时间序列数据先后进行两次移动平均，即在一次移动平均值的基础上，再进行第二次移动平均，并根据最后两个移动平均值的结果建立预测模型，求得预测值。2024/9/11389.3.2.2二次移动平均值计算方法2024/9/11392024/9/11409.3.2.3二次移动平均法预测步骤（1）选择跨越期间隔数n（2）计算一次移动平均值（3）计算二次移动平均值（4）建立二次移动平均法预测模型（5）计算预测值2024/9/1141例9-6，仍然以例9-5中的商品销售额数据为例（见表9-7），请用二次移动平均法预测该企业2016年和2017年的销售额。第九章例题等数据表格.xlsx2024/9/1142预测步骤如下：

解：（1）选择跨越期间隔数n跨越期间隔数n的确定方法与一次移动平均法中相同，根据前述一次移动平均法与二次移动平均法的关系，一次移动平均法和二次移动平均法的跨越期间隔数应该保持一致，此例与上例取相同的间隔数，即n=3。2024/9/1143

依此类推，只是每次计算所得的一次移动平均值都置于跨越期期末的位置上（见表9-7第四列），这是与前面的一次移动平均法的不同之处。2024/9/1144（2）计算一次移动平均值

依此类推，每次计算所得的二次移动平均值也置于跨越期期末的位置上（见表9-7第五列）

2024/9/1145

（3）计算二次移动平均值

（4）建立二次移动平均法预测模型

根据公式（9-20）和（9-21）以及上述已经计算出的最后一项一次移动平均值和二次移动平均值，可计算出模型公式（9-19）中的待定系数

。

2024/9/1146

（5）计算预测值

由于二次移动平均法中，一次、二次移动平均值均置于跨越期的最后一期位置上，即最后一期的一次和二次移动平均值在2015年，所以2016年、2017年与2015年的间隔期数T分别为1和2，则2016年和2017年的销售额预测值分别为：2024/9/11479.4指数平滑预测方法

指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。指数平滑预测方法一般常用于时间序列数据资料既有长期趋势变动又有季节波动的情况。2024/9/11489.4.1一次指数平滑法

一次指数平滑法是以一次指数平滑值为基础，确定市场预测值的一种特殊的加权平均法。

2024/9/11492024/9/11502024/9/11512024/9/11529.4.1.2一次指数平滑法的预测步骤2024/9/1153例9-7某公司2006～2015年销售额资料如表9-8所示，请用一次平滑指数法预测该公司2016年的销售额为多少。2024/9/11542024/9/11552024/9/11562024/9/11572024/9/11589.4.2二次指数平滑法

9.4.2.1二次指数平滑法原理与一次移动平均数一样，用一次指数平滑法进行预测时，也存在滞后偏差问题，因此需要进行修正。二次指数平滑法的滞后偏差的修正方法与一次移动平均法类似，也就是在一次指数平滑法的基础上，再进行二次指数平滑，并根据一次、二次的最后一项指数平滑值建立直线趋势预测模型的方法，称为二次指数平滑预测法。二次指数平滑预测方法主要适用于具有线性趋势的时间序列数据。2024/9/11599.4.2.2二次指数平滑值的计算方法

2024/9/1160与一次指数平滑公式（9-22）类似，二次指数平滑法的基本公式为：2024/9/11619.4.2.3二次指数平滑法预测步骤2024/9/1162例9-8某公司2001～2015年销售收入数据yt如表9-9所示，取α=0.3，请用二次指数平滑法预测该公司2016、2018年的销售收入2024/9/11632024/9/1164

2024/9/11652024/9/11662024/9/11672024/9/11682024/9/11692024/9/11702024/9/11712024/9/11729.5季节指数预测方法利用季节指数预测法进行预测时，时间序列的时间单位或是季，或是月，变动循环周期为4季或是12个月。运用季节指数进行预测，首先，要利用统计方法计算出预测目标的季节指数，以测定季节变动的规律性；然后，在已知月（季）度平均值的条件下，预测未来某个月（季）的预测值。2024/9/1173测定季节变动主要有两种方法：一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原数列进行计算，常用的方法是按季（或按月）平均法；二是将原序列中的长期趋势及循环变动剔除后，再进行测定，常用方法是移动平均趋势剔除法。但不管是采用哪一种方法，都需要具备至少连续3到5年分季（或月）的资料，才能比较客观地描述和认识现象的季节变动。2024/9/11749.5.1不考虑长期变动趋势的季节指数法9.5.1.1按月（季）平均法按