3.5圆锥曲线的应用课件高二上学期数学选择性

3.5圆锥曲线的应用第3章圆锥曲线与方程湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.通过丰富的实例,掌握圆锥曲线的应用;2.能够将生活中的问题抽象成圆锥曲线问题,并用圆锥曲线加以解决.重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标重难探究·能力素养速提升探究点一椭圆在实际问题中的应用角度1天体运动中的椭圆轨迹问题【例1】某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为(

)分析

结合题设条件画出图形,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴长和半焦距,进而求得卫星远地点离地面的距离.A解析

如图,设椭圆的焦点为F1,F2,焦距为2c,长轴长为2a,地心位于焦点F1处.由题意可得,a-c=R+r,规律方法

天体运动中的椭圆轨迹问题的解法在天体运行中,人造卫星运行的轨迹一般都是椭圆,而地心正是它的一个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到地心的距离一个是a-c,另一个是a+c.变式训练1北京时间2020年11月24日我国“嫦娥五号”探测器成功发射.“嫦娥五号”发射是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战,经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后,若“嫦娥五号”返回器在近月点(离月面最近的点)约为200千米,远月点(离月面最远的点)约为8600千米,以月球中心为一个焦点的椭圆轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作,月球半径约为1740千米,则此椭圆轨道的离心率约为(

)A.0.32 B.0.48

C.0.68 D.0.82C角度2利用椭圆的几何性质求解实际问题【例2】有一椭圆形溜冰场,长轴长是100m,短轴长是60m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置,并求这时矩形的周长.解

分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴,y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图的平面直角坐标系xOy.规律方法

实际问题中与椭圆有关的内接几何体问题的解法实际问题中与椭圆有关的内接几何体的周长或面积有关的问题,可结合椭圆的方程设出椭圆上的点的坐标,将问题转化为与椭圆上的点有关的问题,利用椭圆的几何性质求解.[提醒]涉及与椭圆有关的实际问题不要忘记建立直角坐标系:求解与椭圆有关的实际问题时,由于已知条件中不含坐标系,因此首先要建立平面直角坐标系.变式训练2如图,要在一个长半轴长为2米,短半轴长为1米,中心为O的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,如何截取?求出这个矩形的面积.解

以AB所在的直线为x轴,过O且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),依题意可得半个椭圆的方程为

+y2=1(y≥0).设点C的坐标为(m,n),即|OB|=m,|BC|=n,则矩形ABCD的面积为S=2|OB||BC|=2mn.探究点二双曲线在实际问题中的应用【例3】如图,飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A,B,C),B在A的正东方向,相距6km,C在B的北偏东30°的方向上,相距4km,P为航天员着陆点.某一时刻,在A地接到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,因此4s后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号,已知该信号的传播速度为1km/s.求∠PAB的大小.分析以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,易判断点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,从而可确定双曲线的方程,再与BC的垂直平分线的方程联立,可求得点P的坐标,从而问题得解.解

以AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-3,0),B(3,0),C(5,).因为|PC|=|PB|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4,|AB|=6,规律方法

双曲线在实际问题中的应用的求解方法实际问题中如涉及动点到两定点的距离之差为常数(小于两定点间的距离)的点的轨迹问题,常转化为双曲线问题求解,求解时首先要建立平面直角坐标系.变式训练3如图所示,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到点B的距离远2km.现要在曲线PQ上任一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是

万元.

解析

AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系(图略),可得|AB|=4,A(-2,0),B(2,0),C(3,).由题意可得|MA|-|MB|=2<|AB|,由双曲线的定义可得点M在分别以A,B为左、右焦点的双曲线的右支上,探究点三抛物线在实际问题中的应用【例4】[2024江西宜春高二阶段练习]如图,某大桥中央桥孔的跨度为20m,拱顶呈抛物线形,拱顶距水面10m,桥墩高出水面4m.现有一木船欲通过此孔,该木船水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高7m,宽16m.若不考虑水下深度,该木船在此状况下能否通过桥孔?试说明理由.解

建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),故点B离水面高度为10-3.84=6.16(m),而吃水线上部分中央船体高7

m,所以该船不能通过桥孔.规律方法

抛物线在实际问题中的应用的求解方法实际问题中的抛物线问题,首先建立平面直角坐标系,结合题意,求出抛物线的标准方程,利用抛物线的定义及性质求解.变式训练4[2024浙江嘉兴高二期中]某农场为节水推行喷灌技术,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状,如图所示.现要求水流最高点B离地面5m,点B到管柱OA所在直线的距离为4m,且水流落在地面上以O为圆心,以9m为半径的圆上,求管柱OA的高度.解

建立如图所示的直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),本节要点归纳1.方法归纳:利用椭圆的几何性质求解椭圆在天体运动中、实际问题中的应用,利用概念、几何性质求解双曲线、抛物线在实际问题中的应用.2.注意事项:求解圆锥曲线在实际问题中的应用,不要忘记建立平面直角坐标系,然后建立数学模型,要结合实际问题的特征求解.学以致用·随堂检测促达标12341.某县全域旅游地图的外轮廓线是椭圆,根据图中的数据可得该椭圆的离心率为(

)B12342.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m时,则水面宽为(

)B解析

以桥顶为原点,垂直于水面的直线为y轴(抛物线的开口方向与y轴的正方向相反)建立平面直角坐标系(图略),设抛物线的标准方程为x2=-2py

p>0),由题意知,抛物线过点(2,-2),则4=2p×2,解得p=1.则抛物线的标准方程为x2=-2y.12343.(多选题)如图所示,某卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,则下列式子正确的是(

)A.a1-c1=a2-c2

B.a1+c1=a2+c2AC1234解析

由a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,得a1-c1=a2-c2,故A正确;由图可知a1>a2,c1>c2,则a1+c1>a2+c2,