2023-2024学年上海市静安区新中高级中学高一（上）段考数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市静安区新中高级中学高一（上）段考数学试卷一.填空题（共12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）幂函数的定义域为．2．（4分）已知，，试用、表示．3．（4分）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是．4．（4分）光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板块．（参考数据：，5．（4分）设函数的值域为，函数，的值域为，全集，则集合的补集为．6．（4分）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是．7．（5分）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为．8．（5分）设，且满足，则．9．（5分）已知是一条过的抛物线，已知，则的顶点坐标为．10．（5分）研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中，为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的米的位置，信息素浓度为．11．（5分）已知函数，其中，若（a），则．12．（5分）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么．二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）13．（4分）设，，，1，2，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（4分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则约为A．48 B．72 C．63 D．5915．（5分）下列四个函数中，图象如图1所示的只能是A． B． C． D．16．（5分）指数函数图象经过点，，那么这个指数函数可能经过A． B． C． D．三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）17．（14分）已知幂函数的图象经过点．（1）试确定的值；（2）求满足条件的实数的取值范围．18．（14分）已知函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求解不等式；（Ⅲ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．19．（14分）已知幂的基本不等式：当，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：（1）当，时，求的取值范围；（2）当，时，求证：；（3）利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．20．（18分）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的”可以表述为：“恒成立”．请你用数学语言表述另外两条奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？21．（18分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；（3）设，若存在使得函数在区间，上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围．

参考答案一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）幂函数的定义域为．解：因为，所以．故答案为：．2．（4分）已知，，试用、表示．解：，故答案为：．3．（4分）如果幂函数的图像，当时，在直线的上方，那么的取值范围是．解：当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图：由图知不满足题意；当时，幂函数的图像与直线的图象重合，不满足题意；当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，由图知满足题意；当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，由图知满足题意；当时，幂函数的图像与直线第一象限的图象如图，由图知满足题意．综上，的取值范围是．故答案为：．4．（4分）光线透过一块玻璃板，其强度要减弱，要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需要这样的玻璃板11块．（参考数据：，解：由题得经过第块玻璃板后，其光线的强度变为原来的，由．所以取11．故答案为11．5．（4分）设函数的值域为，函数，的值域为，全集，则集合的补集为．解：由，得，即．由，，得，则，，即，．则，，，则集合的补集为，．故答案为：．6．（4分）已知函数在区间，上是严格减函数，则实数的取值范围是，．解：根据题意，所以，若，解可得，则在区间上递减，在，上递增，若在，严格减函数，所以时符合题意，即，则的取值范围为，．故答案为：，．7．（5分）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为4．解：由已知定点坐标为，由点在直线上，，又，，，，当且仅当两数相等时取等号．故答案为：4．8．（5分）设，且满足，则．解：设，则，，，即，，将方程两边同时除以，得，即，则，即．故答案为：．9．（5分）已知是一条过的抛物线，已知，则的顶点坐标为．解：根据题意，是一条过的抛物线，设，又由，则，则，；则有；必有，解可得，，故，则的顶点为．故答案为：．10．（5分）研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中，为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为，则释放信息素4秒后，距释放处的4米的位置，信息素浓度为．解：由题意可知，，，，则①，当，时，，即，则②，联立①②解得，．故答案为：4．11．（5分）已知函数，其中，若（a），则．解：根据题意，因为，所以，所以（a），因为（a），所以，得．故答案为：．12．（5分）幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有．那么1．解：，点，，所以，分别代入，故答案为：1二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）13．（4分）设，，，1，2，，则“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：函数的图像经过点，则，1，3，当，1，3时，函数为奇函数，充分性成立，当函数为奇函数时，则，1，3，函数的图像经过点，必要性成立，故“函数的图像经过点”是“函数为奇函数”的充要条件．故选：．14．（4分）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，则约为A．48 B．72 C．63 D．59解：由题意得：，即，两边取对数得，即，解得．故选：．15．（5分）下列四个函数中，图象如图1所示的只能是A． B． C． D．解：中，，，当时，恒成立，故函数在定义域上为增函数，故不符合题目要求；中，，，当时，，时，，故函数在上为减函数，在为增函数，故符合题目要求；中，，，当时，，时，，故函数在上为增函数，在为减函数，故不符合题目要求；中，，，当时，恒成立，故函数在定义域上为减函数，故不符合题目要求；故选：．16．（5分）指数函数图象经过点，，那么这个指数函数可能经过A． B． C． D．解：，，，，若设指数函数，且，则易知：，所以当时，；当时，；故只有才可能是该指数函数经过的点．故选：．三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）17．（14分）已知幂函数的图象经过点．（1）试确定的值；（2）求满足条件的实数的取值范围．解：（1）将代入函数的解析式得：，即，解得：（舍或，故；（2）由，在递增，若，则，解得：．18．（14分）已知函数是奇函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求解不等式；（Ⅲ）当，时，恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）根据题意，函数，．（Ⅱ），即，即，得．（Ⅲ），故在，上为减函数，，即，即，，又，，，故，当时，，，满足题意，综上19．（14分）已知幂的基本不等式：当，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：（1）当，时，求的取值范围；（2）当，时，求证：；（3）利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．解：（1），时，，，时，，，，，的取值范围为；（2）证明：，，设，，，即；（3）证明：设，则，且，由（2）得，，，当时，对数函数在上是严格增函数．20．（18分）某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：①奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加；②奖金不低于10万元且不超过200万元；③奖金不超过投资收益的．（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的”可以表述为：“恒成立”．请你用数学语言表述另外两条奖励方案；（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？解：（1）①“奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当，时，是的增函数；②“奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值，．（2）函数在，上是增函数，，函数的值域，由得：，解得，因此对，，不成立，即对，，不等式不恒成立，所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求．（3）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在，上是增函数，有，，，解得，由，，不等式恒成立，得，显然，，当且仅当，即时取等号，于是，解得，从而，因此当时，，当且仅当且时取等号，且，所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金．21．（18分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程在区间上恰有一个