2023-2024学年上海理工大附中高一（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年上海理工大附中高一（上）月考数学试卷（9月份）一、填空题1．（3分）已知全集为，集合，，，则．2．（3分）若集合，，，且，则的取值范围是．3．（3分）“且”的否定形式为．4．（3分）如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为．5．（3分）集合，，且，则实数可取值组成的集合为．6．（3分）已知，，且，，则的取值范围为．7．（3分）下面六个关系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正确的是．8．（3分）下列命题中真命题的编号是．①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足，，2，3，4，的集合有7个．9．（3分）已知集合，中只有一个整数元素，则实数的取值范围为．10．（3分）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是．11．（3分）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（填序号）．（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；（4）如图④所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件．12．（3分）设集合，，且，，则实数的取值范围是．13．（3分）设是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且仅含有3个互不相邻的整数元素，则满足条件的集合的个数为．14．（3分）设集合，，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为．15．（3分）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是．二、解答题16．比较与的大小．17．若集合，，，，且，0，，求实数，的值．18．求证：是无理数．19．数字1，2，3，，的任意一个有序排列记作，，，，设为所有这样的排列构成的集合．如：，．记集合，，，任意整数，都有；记集合，，，任意整数，都有．（1）用列举法表示集合；（2）用列举法表示集合，；（3）求集合中元素的个数．20．已知集合，2，3，，，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．（1）分别判断数集，4，6，与，4，是否是集合的“好子集”，并说明理由；（2）证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；（3）求集合的“好子集”所含元素个数的最大值．

参考答案一、填空题1．（3分）已知全集为，集合，，，则．解：，，，则，．故答案为：．2．（3分）若集合，，，且，则的取值范围是，．解：集合，，，且，则．故答案为：，．3．（3分）“且”的否定形式为或．解：“且”的否定形式为：或．故答案为：或．4．（3分）如图，已知是全集，、、是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为．解：由韦恩图可知阴影部分表示集合中集合的补集与集合的公共部分，所以可以表示为．故答案为：．5．（3分）集合，，且，则实数可取值组成的集合为，0，．解：因为，，所以由可得：，1．当时，，满足条件；2．当时，，，所以或，即或．综上所述：，0，．故答案为：，0，．6．（3分）已知，，且，，则的取值范围为．解：因为，，所以，，则，即的取值范围为．故答案为：．7．（3分）下面六个关系式：①；②；③；④，；⑤，，；⑥，，其中正确的是①③⑤．解：因为空集是任何集合的子集，所以；故①正确；由元素与集合的关系，可知，而不是，故②错误；根据任意集合是它本身的子集，可知，故③正确，由集合与集合的关系，可知，而不是，，故④错误；由元素与集合的关系，可知，，，故⑤正确；由集合与集合的关系，可知，而不是，，故⑥错误．故答案为：①③⑤．8．（3分）下列命题中真命题的编号是③④⑤．①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足，，2，3，4，的集合有7个．解：对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误；对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误；对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确；对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确；对于⑤：若则，所以，故⑤正确；对于⑥：满足，，2，3，4，的集合有，2，，，2，，，2，，，2，3，，，2，3，，，2，4，共6个，故⑥错误．故答案为：③④⑤．9．（3分）已知集合，中只有一个整数元素，则实数的取值范围为，．解：集合，中只有一个整数元素，则，，即，此时，故，解得．故，．故答案为：，．10．（3分）已知实数、满足，，则以、为两根的一个一元二次方程可以是（答案不唯一）．解：因为，所以，又，解得，即，所以、是方程的两根．故答案为：（答案不唯一）．11．（3分）在下列所示电路图中，下列说法正确的是（1）（2）（3）（填序号）．（1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件；（4）如图④所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件．解：对于（1）开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，故（1）正确；对于（2）开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，故（2）正确；对于（3）开关闭合是灯泡亮的充要条件，故（3）正确；对于（4）开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误；故答案为：（1）（2）（3）．12．（3分）设集合，，且，，则实数的取值范围是．解：因为集合，，且，，所以，或或，当时，，解得；当时，，解得；当时，△，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．13．（3分）设是集合，2，3，4，5，6，的子集，有且仅含有3个互不相邻的整数元素，则满足条件的集合的个数为10．解：满足条件的子集为：，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，，4，，，4，，，5，，，5，．故答案为：10．14．（3分）设集合，，，，，2，3，，，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为45．解：将集合，2，3，，按照除以5的余数分为：，10，，，，6，，，，7，，，，8，，，，9，，，有21个元素，有22个元素，有22个元素，有21个元素，有21个元素，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，和中只能选择一个集合中的元素，最多22个，综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个．故答案为：45．15．（3分）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是6．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，且集合，，中元素个数分别为（A），（B），（C），则（A），（B），（C），，因为（A）（B）（C），且，，，所以，即．故答案为：6．二、解答题16．比较与的大小．解：，即，当且仅当时等号成立．17．若集合，，，，且，0，，求实数，的值．解：，0，，把代入，可得，矛盾，，则，，则，，，，代入得：，解得．实数，的值分别为2，0．18．求证：是无理数．【解答】证明：假设是有理数，则不妨设，为互质正整数），从而：，，可见是3的倍数．设是正整数），则，可见也是3的倍数．这样，，就不是互质的正整数（矛盾）．不可能，是无理数．19．数字1，2，3，，的任意一个有序排列记作，，，，设为所有这样的排列构成的集合．如：，．记集合，，，任意整数，都有；记集合，，，任意整数，都有．（1）用列举法表示集合；（2）用列举法表示集合，；（3）求集合中元素的个数．解：（1）依题意，2，，，3，，，1，，，3，，，1，，，2，．（2）因为集合，，，任意整数，都有，所以，2，，，，，任意整数，都有，所以，2，，，3，，，1，，，2，；（3）考虑集合中的元素，，，．由已知，对任意整数，，都有，所以，所以．由，的任意性可知，，，，是1，2，3，，的单调递增排列，所以，2，3，，，又因为当时，对任意整数，，，都有，所以，2，3，，，所以，所以集合的元素个数为1．20．已知集合，2，3，，，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．（1）分别判断数集，4，6，与，4，是否是集合的“好子集”，并说明理由；（2）证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；（3）求集合的“好子集”所含元素个数的最大值．【解答】解（1）由于整除，所以集合不是集合的“好子集”；由于不能整除，不能整除，不能整除，所以集合是集合的“好子集”；（2）（反证）首先，由于是“好子集”，所以，假设存在中的任意两个不同的元素，，使得