经济学资金时间价值

资金时间价值从量的规定性来看：（理论上）相当于没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。资金时间价值与利率的区别（实际工作中）如果通货膨胀很低，可以用政府债券利率来表示资金时间价值。应用领域：资金筹集、运用、收回和分配

【例题1.判断】在通货膨胀率很低的情况下，公司债券的利率可视同为资金时间价值。（）【例题2.判断】国库券是一种几乎没有风险的有价证券，其利率可以代表资金时间价值。（）资金时间价值二、终值与现值一个或多个发生在未来的现金流折合为现在的价值称为现值(PresentValue,PV)。求现值的过程称为贴现。一个或多个发生在现在或未来的现金流在未来某个时点的价值称为终值(FutureValue,FV)。现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额包含资金的时间价值。终值与现值的关系现值＋利息＝终值终值－利息＝现值资金时间价值利息有两种：单利(SingleInterest)：只有本金能带来利息，利息不能作为本金计算利息。复利（CompoundInterest）：本期利息从下期开始列入本金计算利息。资金时间价值（一）单利的终值与现值利息I=P·i·n终值F=P·(1+i·n）现值P=F/(1+i·n)系数间的关系：单利终值系数与单利现值系数是互为倒数关系【例题.单选】甲某拟存人一笔资金以备三年后使用。假定银行三年期存款年利率为5％，甲某三年后需用的资金总额为34500元，则在单利计息情况下，目前需存入的资金为()元。A．30000B．29803.04C．32857.14D．31500资金时间价值（二）复利的终值与现值终值F=P·（1+i）n（1+i）n

复利终值系数，记(F/P，i，n)现值P=F·（1+i）-n（1+i）-n

复利现值系数，记(P/F，i，n)系数间的关系:复利终值系数与复利现值系数是互为倒数关系【例题.计算】某人存入银行10万，若银行存款利率为5%，5年后的本利和？

F?012345

10万解析：单利：F=10×(1+5×5%)=12.5(万元)复利：F=10×(1+5%)^5或：=10×(F/P，5%，5)=10×1.2763=12.763(万元)

【例题.计算】某人存入一笔钱，想5年后得到20万，若银行存款利率为5%，问，现在应存入多少？

20万012345P?单利：P=F/(1+n×i)=20/(1+5×5%)=16(万元)复利：P=F×(1+i)^-n=20×(1+5%)^-5或：=20×(P/F，5%，5)=20×0.7835=15.67(万元)单利与复利的比较1000元储蓄存款的终值：系列款项如何来求举个例子：例如第1年支出600万，第2年支出400万，第3年支出300万，第4年支出400万，第5年支出100万。年利率为10％，为准备这些系列支出，现在需要储蓄多少存款。P=600(P/F,10%,1)+400(P/F,10%,2)+300(P/F,10%,3)+400(P/F,10%,4)+100(P/F,10%,5)资金时间价值三、普通年金的终值与现值年金(Annuity)：一定期间内以固定间隔期等额收付的系列款项，如折旧、租金、利息、保险金。年金的种类ＡＡＡＡ普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。01234AAAA即付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。01234AAAA递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。0123456ＡＡＡＡ…

Ａ永续年金：无限期的普通年金。01234…∝

普通年金和即付年金的共同点与区别

（1）共同点：都是从第一期开始发生等额收付。

（2）区别：普通年金的收付款项发生在每期期末，即付年金的收付款项发生在每期期初。

资金时间价值（一）普通年金终值的计算普通年金终值：各期期末等额收付款的终值之和01234终值

AAAAAA×（1+i）

A×（1+i）2A×（1+i）3

年金终值系数（F/A，i，n）【例题.单选】某公司从本年度起每年年末存入银行一笔固定金额的款项，若按复利制用最简便算法计算第n年末可以从银行取出的本利和，则应选用的时间价值系数是（）A.复利终值系数B.复利现值系数C.普通年金终值系数D.普通年金现值系数某人拟购一处不动产，开发商提出两种方案，一是5年后付120万元，另一方案是从现在起每年末付20万，连续付5年，若目前的银行存款利率是7%，应如何付款？

方案2的年金终值：F=20×(F/A,i,n)＝20×查系数表＝115.014方案1的年金终值是120万元，方案2的年金终值是115.014万元，应该选择方案2

【教例3-5】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?［解答］F=1000×(F/A,2%,9)=1000×9.7546=9754.6（元）

【教例3－6】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第l年开始，每年末向A公司交纳l0亿美元的开采费，直到l0年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标?甲公司付款方式：

012345678910

10101010101010101010乙公司付款方式:

012345678910

4060【答案】要回答上述问题，主要是要比较甲乙两个公司给A的开采权收入的大小。但由于两个公司支付开采权费用的时间不同，因此不能直接比较，而应比较这些支出在第10年终值的大小。甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款l0亿美元的l0年年金，其终值计算如下：

F=A×（F/A，i，n）=10×20.304=203.04（亿美元）

乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：

第1笔收款（40亿美元）的终值=40×（1+15%）10

=40×4.0456=161.824（亿美元）

第2笔收款（60亿美元）的终值=60×（1+15%）2

=60×1.3225=79.35（亿美元）

终值合计l61.824+79.35=241.174（亿美元）

因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。资金时间价值（二）已知终值，年偿债基金的计算偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。

偿债基金系数（A/F，i，n）【教例3-7】某人拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10％，则每年需存入多少元？[解析]

资金时间价值（三）普通年金现值的计算普通年金现值：各期期末等额收付款的现值之和。01234

A×(1+i)^-1AAAAA×(1+i)^-2A×(1+i)^-3A×(1+i)^-4

年金现值系数（P/A，i，n）

某人拟购一处现房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付80万，另一方案是从现在起每年末付20万，连续5年，若目前的存款利率是7%，应如何付款？

方案2的现值：P=20×(P/A,7%,5)=20×查系数表＝82万方案1的年金现值是80万元，方案2的年金现值是82万元，应该选择方案1资金时间价值（四）已知现值，年资本回收额的计算年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额

资本回收系数（A/P，i，n）注意：年金终值系数与年金现值系数彼此并不是互为倒数偿债基金系数(A/F,i,n)与年金终值系数(F/A,i,n)互为倒数关系资本回收系数(A/P,i,n)与年金现值系数(P/A,i,n)互为倒数关系【教例3-10】某企业借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12％等额偿还，则每年应付的金额为多少？

1000万元

012345678910AAAAAAAAAA[解析]

【例题6】在下列各项资金时间价值系数中，与资本回收系数互为倒数关系的是（）A.（P/F，I，n）B.（P/A，I，n）C.（F/P，I，n）D.（F/A，I，n）资金时间价值四、即付年金的终值与现值（一）即付年金终值的计算F?0123

AAA即付年金终值＝同期普通年金终值×（1+i）F即

=F普×(1+i)n期即付年金终值系数＝(n＋1)期普通年金终值系数－1

即付年金终值系数[（F/A，i，n+1）-1]【例题.单选】已知（F/A，10%，9）＝13.579，（F/A，10%，11）＝18.531。则10年，10%的即付年金终值系数为（）A.17.531B.15.937C.14.579D.12.579

【教例3-11】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?F?解答：方法1：F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5％）=3000×6.8019×（1+5％）=21426（元）方法2：F=A[（F/A，i，n+1）-1]

=3000×[（F/A，5%，7）-1]

=3000×（8.1420-1）

=21426（元）资金时间价值（二）即付年金现值的计算即付年金现值：同期普通年金现值×（1+i）

P即=P普×(1+i)n期即付年金现值系数＝(n－1)期普通年金现值系数＋1即付年金现值系数[（P/A，i，n-1）+1]【例题】某人每期期初存入1万元，连续存3年，年利率为10％，存款现值为多少？

P?

方法1：P即=P普×(1+i)=1×（P/A,10%,3）×(1+10%)=1×2.4869×(1+10%)=2.7356(万元)方法2：P即=A×[(P/A,I,N-1)+1]=1×[（P/A,10%,2）+1]=2.7356(万元)【教例3-14】李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：

（1）每个月来公司指导工作一天；

（2）每年聘金l0万元；

（3）提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；

（4）在公司至少工作5年。

李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。

收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择?

要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个即付年金。其现值计算如下：

P=20×（P/A，2%，5）×（1+2％）或：P=20×[（P/A，2%，4）+1]

=20×（3.8077+1）＝96.154（万元）

从这一点来说，李博士应该接受房贴。如果李博士本身是一个企业的业主，其资金的投资回报率为32%，则他应如何选择呢？

在投资回报率为32%的条件下，每年20万的住房补贴现值为：

P=20×[（P/A，32%，4）+1]

=20×（2.0957+1）

＝61.914（万元）

在这种情况下，应接受住房。

折现率或投资回报率越高，越应该选择提前获得资产递延年金递延年金指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的普通年金。

012345

AAA递延期：m=2，连续收支期n=33-5期普通年金终值F=A+A×(1+i)+A×(1＋i)1-5期递延年金终值F=A+A×(1+i)+A×(1＋i)普通年金终值与递延年金终值相同，递延年金终值与递延期无关，只与连续收支期A的个数有关。

递延年金【教例3-15】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：方案一是现在起15年内每年末支出10万元；方案二是现在起15年内每年初支付9.5万元；方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有利？

解答：方案一：F=10×(F/A,10%,15)=10×31.722=317.72方案二：F=9.5×[(F/A,10%,16)-1]=9.5×(35.950-1)=332.03方案三：F=18×(F/A,10%,10)=18×15.937=286.87

递延年金五、递延年金现值计算递延期：m，连续收支期n

AAAA0

1234…………

m+n(m)(m+1)(m+n)方法一：（两次折现）先求出递延期末（m点）的现值，然后再将此现值调整到第一期期初

P=A·（P/A，i，n）·

（P/F，i，m）012345P=A×(P/A,I,3)×（P/F,I,2）递延年金方法二：（先加后减）先求出（m＋n）期的年金现值，再扣除递延期（m）的年金现值

P=A[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]012345

AAAAAP=A×(P/A,I,5)-A×(P/A,I,2)方法三：先求出递延年金的终值，再将其折算为现值

P=A·（F/A，i，n）·（P/F，i，n+m）012345

AAA【教例3-16】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年~第20年每年年末偿还本息5000元。要求：用两种方法计算这笔款项的现值。解答：方法一：P=A×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，10）

=5000×6.145×0.386=11860（元）方法二：P=A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，10）]=5000×[8.514-6.145]=11845（元）两种计算方法相差15元，是因小数点的尾数造成的。【例题.计算】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？方案(1)从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次

012345678910解析：P0=20×(P/A，10%，10)×（1+10%）或=20+20×(P/A，10%，9)=20+20×5.759=135.18(万元)方案(2)从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次

01234567891011121314

解析：P=25×[(P/A，10%，14)-(P/A，10%，4)]或：P4=25×(P/A，10%，10)=25×6.145=153.63(万元)P=153..63×(P/F，10%，4)=153.63×0.683=104.93(万元)方案（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次

012345678910111213

P=24×(P/A，10%，13)-24×(P/A，10%，3)=24×（7.103-2.487）=110.78（万元）

现值最小的为方案二，该公司应该选择第二方案。永续年金(期数n→∞的普通年金)因为没有终止期，所以永续年金没有终值，只有现值。

永续年金现值的计算【例题.单选】在下列各项中，无法计算出确切结果的是()A.后付年金终值B.即付年金终值C.递延年金终值D.永续年金终值【例题.计算】一项永久性奖学金，每年初计划颁发50000元奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应为多少？

012345…∝

…

【例题14】拟购买一支股票，预期公司最近两年不发股利，预计从第三年开始每年支付0.2元股利,若资金成本率为10%,则预期股利现值合计为多少?012345…∝

…

AAAA

P=0.2÷10％＝2P=2×(P/F,10%,2)混合现金流：各年收付不相等的现金流。（分段计算）【例题】某人准备第一年存1万，第二年存3万，第三年至第5年存4万，存款利率5%，问5年存款的现值合计（每期存款于每年年末存入）。

01234513444P=1×(P/F,10%,1)+3×(P/F,10%,2)+4×[(P/A,10%,5)-(P/A,10%,2)]=1×0.909+3×0.826+4×（3.791-1.736）=11.607总结解决货币时间价值问题所要遵循的步骤：1、完全地了解问题，判断是现值问题还是终值问题2、画一条时间轴，厘清时点与现金流量3、构思计算公式——单利、复利、终值、现值、年金、混合现金流量4、求解资金时间价值六、折现率、利率和年限的推算复利现值或终值（一次性收付的款项）直接运用公式计算永续年金直接运用公式计算i=A/P普通年金First，推算年金终值系数和年金现值系数Second，倒查表求利率或年限,必要时采用内插法估计

PVIFA表利率年限系数n1nn2i1ii2β1ββ3【教例3－19】郑先生下岗获得50000元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。郑先生预计，如果20年后这笔款项连本带利达到250000元，那就可以解决自己的养老问题。问银行存款的年利率为多少，郑先生的预计才能变为现实？[解]250000=50000×（F/P，i，20）

5

=（F/P，i，20）即5

=(1+i)^20i=0.084【教例3－23】吴先生存入1000000元，奖励每年高考的文理科状元各10000元，奖学金每年发放一次。问银行存款年利率为多少时才可以设定成永久性奖励基金？[答案]由于每年都要拿出20000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为1000000元，因此：i=A/P=20000/1000000=2%也就是说，利率不低于2%才能保证奖学金制度的正常运行。【例题18】有甲、乙两台设备可供选用，甲设备的年使用费比乙设备低500元，但价格高于乙设备2000元。若资本成本为10%，甲设备的使用期应长于()年，选用甲设备才是有利的。A、5.2

B、5.4

C、5.6

D、5.8[答案]2000=500×（P/A，10%，n）（P/A，10%，n）=4

年金现值系数4.35534