第一章2　一定是直角三角形吗

2一定是直角三角形吗课时学习目标素养目标达成1.经历直角三角形的判定条件的探索过程,进一步发展学生的推理能力几何直观、运算能力、推理能力2.掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单应用模型观念、应用意识基础主干落实新知要点对点小练1.直角三角形的判定(勾股定理的逆定理)文字描述如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形图示几何语言因为AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形且∠C=90°1.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 (D)A.AB2+BC2=AC2B.AB2BC2=AC2C.∠A+∠B=∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶52.勾股数定义满足a2+b2=c2的三个正整数注意条件①勾股数的三个数均是正整数;②两个较小数的平方和等于最大数的平方2.下列给出的四组数中,是勾股数的一组是 (D)A.1,2,3 B.1,2,2C.0.3,0.4,0.5 D.5,12,13重点典例研析重点1直角三角形的判定(几何直观、运算能力)【典例1】(教材再开发·P9例题拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一点,BD=6,连接CD,CD=8.(1)求证:CD⊥AB;(2)求△ABC的周长.【自主解答】(1)在△BDC中,BC=10,BD=6,CD=8,因为BD2+CD2=62+82=102=BC2,所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,所以CD⊥AB;(2)因为CD⊥AB,所以△ADC是直角三角形,所以AD2+CD2=AC2,即AD2+82=(AD+6)2,解得AD=73,所以AC=6+73=所以△ABC的周长是253+253+10=【举一反三】“三农”问题是关系国计民生的根本性问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是BC边上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13米,AD=12米,AC=15米,BD=5米.(1)求DC的长;(2)求小路DE的长.【解析】(1)因为AB=13米,AD=12米,BD=5米,所以AB2=BD2+AD2,所以∠ADB=90°,所以∠ADB=∠ADC=90°,因为AC=15米,所以CD=9米;(2)因为DE⊥AC,所以S△ADC=12AD·CD=12所以DE=AD·DCAC=12×915=故小路DE的长为365米重点2由勾股定理逆定理求四边形面积(几何直观、推理能力、运算能力、应用意识)【典例2】(教材再开发·P9例题拓展)某小区在创城工作过程中,在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,已知AB=6m,BC=8m,CD=26m,AD=24m,∠ABC=90°.(1)求AC的长度;(2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元,试求出绿化这片空地共需花费多少钱?【解析】(1)因为∠ABC=90°,AB=6m,BC=8m,所以在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=62+82=100,所以AC=10,所以AC的长度为10m.(2)已知AC=10m,CD=26m,AD=24m,所以AC2=100,AD2=242=576,CD2=262=676,所以AC2+AD2=CD2,所以△ACD是直角三角形,所以S△ACD=12AC·AD=12×10×24=120(mS△ABC=12AB·BC=12×6×8=24(m所以空地的绿化的面积为120+24=144(m2),因为平均每平方米空地的绿化费用为100元,所以绿化这片空地共需花费144×100=14400(元),所以共需花费14400元.【举一反三】如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=6cm,AB=8cm,CD=24cm,BC=26cm,求四边形ABCD的面积.【解析】连接BD,因为AB⊥AD,所以∠A=90°,所以△ABD为直角三角形,因为BD2=AB2+AD2=82+62=102,所以BD=10cm,在△BCD中,CD=24cm,BC=26cm,因为CD2+BD2=242+102=676=262=BC2,所以△BCD为直角三角形,且∠BDC=90°,所以S四边形ABCD=S△BCDS△ABD=【技法点拨】利用直角三角形求图形面积的三步骤1.把不规则图形通过割补法构造三角形;2.利用勾股定理的逆定理判定直角三角形;3.利用面积的和差关系计算.特别提醒分割出来的三角形一定要先判定是直角三角形,再利用直角三角形的面积公式计算.素养当堂测评(10分钟·20分)1.(5分·运算能力、推理能力)下列各数是勾股数的是 (C)A.1,2,3 B.2,3,4C.3,4,5 D.4,5,62.(5分·推理能力、模型观念)如图,△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,AD为△ABC的角平分线,则CD=4.5.

3.(10分·推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,AD为BC边上的中线,且AD=12,过点D作DE⊥AC于点E.(1)求证:AD⊥BC;(2)求DE的长.【解析】(1)因为AD为BC边上的中线,所以BD=CD=5,因为AD2+BD2=144+25=169=132=A