备考2025年高考数学一轮复习第二章考点测试11

考点测试11对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考点研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数一、基础小题1．化简(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的值为()A．－log62 B．－log63C．log63 D．－1答案A解析(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62＝log62＋2log63－2＝log63－1＝－log62.2．已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案D解析设lg2＝a，则lgeq\f(1,2)＝－lg2＝－a，f(a)＋f(－a)＝ln(eq\r(1＋9a2)－3a)＋1＋ln(eq\r(1＋9（－a）2)＋3a)＋1＝ln(1＋9a2－9a2)＋2＝ln1＋2＝2，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝2.故选D.3．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．4.1小时 B．4.2小时C．4.3小时 D．4.4小时答案B解析设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则y＝0.3×(1－25%)x＝0.3×0.75x.由0.3×0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，则xlg0.75≤lg0.3.因为lg0.75<0，则x≥eq\f(lg0.3,lg0.75)＝eq\f(lg3－1,lg3－lg4)≈eq\f(0.477－1,0.477－0.602)＝eq\f(523,125)＝4.184<4.2，所以此人在开车前至少要休息4.2小时．故选B.4．已知a＝log6eq\r(3,7)，b＝log7eq\r(3,6)，c＝60.1，则()A．b＜c＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．a＜b＜c答案B解析因为a＝log6eq\r(3,7)＝eq\f(1,3)log67＞eq\f(1,3)log66＝eq\f(1,3)，log6eq\r(3,7)＜log66＝1，所以eq\f(1,3)＜a＜1.又b＝log7eq\r(3,6)＝eq\f(1,3)log76＜eq\f(1,3)log77＝eq\f(1,3)，c＝60.1＞60＝1，所以b＜a＜c.5．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()答案A解析函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝logax＋1，即函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数且过点(1，1)．故选A.6．函数y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－x2)的单调递减区间为()A．(0，1] B．(0，2)C．(1，2) D．[0，2]答案A解析由不等式2x－x2>0，即x2－2x＝x(x－2)<0，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0，2)，令g(x)＝2x－x2，可得其图象开口向下，对称轴方程为x＝1，当x∈(0，1]时，函数g(x)单调递增，又由函数y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))x在定义域上单调递减，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－x2)的单调递减区间为(0，1]．故选A.7．若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，则()A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q答案B解析∵函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，a>b>1，∴lga>lgb>0，由基本不等式可得P＝eq\r(lga·lgb)<eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝Q，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lg(ab)＝lgeq\r(ab)<lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴P<Q<R.故选B.8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1，2] B．[0，2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)答案D解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,21－x≤2，))可得0≤x≤1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞1，,1－log2x≤2，))可得x＞1.综上，满足f(x)≤2的x的取值范围是[0，＋∞)．9．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么()A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝acC.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b) D.eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)答案AD解析由于a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则eq\f(1,a)＝logM4，eq\f(1,b)＝logM6，eq\f(1,c)＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，即eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.故选AD.10．(多选)已知函数f(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是()A．f(x)的定义域是[－4，2]B．y＝f(x－1)是偶函数 C．f(x)在区间[－1，2)上是增函数D．f(x)的图象关于直线x＝－1对称答案BCD解析对于A，由题意可得函数f(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x＞0，x＋4＞0可得－4＜x＜2，故函数f(x)的定义域为(－4，2)，故A错误；对于B，y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定义域为(－3，3)，设g(x)＝－log2[(3－x)·(x＋3)]，所以g(－x)＝－log2[(3＋x)·(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f(x－1)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝logeq\s\up-7(\f(1,2))[－(x＋1)2＋9]，令t＝－(x＋1)2＋9，可得y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))t，因为当x∈[－1，2)时，t＝－(x＋1)2＋9是减函数，外层函数y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))t也是减函数，所以函数f(x)在区间[－1，2)上是增函数，故C正确；对于D，f(－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故D正确．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋log2（2－x），x<2，,3x－2，x≥2，))则f(0)＋f(log336)＝________．答案7解析由题意，得f(0)＋f(log336)＝2＋log22＋3log336－2＝2＋log22＋3log3eq\s\up7(\f(36,9))＝2＋1＋eq\f(36,9)＝7.12．已知函数f(x)＝|lnx－a|＋a(a＞0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________．答案1解析由题意得lnx∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－lnx在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq\f(3,2)＜2，与a≥2矛盾；当0＜a＜2时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－lnx，x∈[1，ea），,lnx，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．故a＝1.二、高考小题13．(2022·天津高考)化简(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值为()A．1 B．2C．4 D．6答案B解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(4,3)log23×eq\f(3,2)log32＝2.14．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则()A．a＞0＞b B．a＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a答案A解析由9m＝10可得m＝log910＝eq\f(lg10,lg9)＞1，而lg9·lg11＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg9＋lg11,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg99,2)))eq\s\up12(2)＜1＝(lg10)2，所以eq\f(lg10,lg9)＞eq\f(lg11,lg10)，即m＞lg11，所以a＝10m－11＞10lg11－11＝0.又lg8·lg10＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg8＋lg10,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg80,2)))eq\s\up12(2)<(lg9)2，所以eq\f(lg9,lg8)＞eq\f(lg10,lg9)，即log89＞m，所以b＝8m－9＜8log89－9＝0.综上，a＞0＞b.故选A.15．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列判断正确的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故选C.16．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝()A．－1 B．lg7C．1 D．log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.故选C.17．(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D.18．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A．a＞2b B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2答案B解析设f(x)＝2x＋log2x，则f(x)为增函数．因为2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2eq\f(1,2)＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A错误，B正确；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，当b＝1时，f(a)－f(b2)＝2＞0，此时f(a)＞f(b2)，有a＞b2，当b＝2时，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此时f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D错误．故选B.19．(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则()A．a<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析∵a，b，c∈(0，1)，eq\f(a,b)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg8,lg5)＜eq\f(1,（lg5）2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg8,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg8,2lg5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg24,lg25)))eq\s\up12(2)＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜eq\f(4,5).由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞eq\f(4,5).综上所述，a＜b＜c.故选A.20．(2022·全国乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因为函数f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．三、模拟小题21.(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．a＋b<0 B．ab<－1C．0<ab<1 D．loga|b|>0答案C解析由图象可知，f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，结合函数图象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，因此a＋b>0，故A错误；由题意可得，－a<ab<0，又因为a>1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B错误；因为a－1<ab<a0，即eq\f(1,a)<ab<1，且0<eq\f(1,a)<1，所以0<ab<1，故C正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D错误．故选C.22．(2024·江苏南通海安高三上学期期初学业质量监测)设函数f(x)＝ln(2ax－x2)在(3，4)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(2，3] D．[2，3]答案D解析因为y＝lnt在(0，＋∞)上单调递增，故t＝2ax－x2在(3，4)上单调递减，则a≤3，又由题意可得，t＝2ax－x2>0在(3，4)上恒成立，故8a－16≥0，解得a≥2，所以2≤a≤3.故选D.23．(2023·湖南岳阳高三模拟)已知a＝log0.20.02，b＝log330，c＝ln6，则()A．c＜b＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．a＜c＜b答案C解析∵0.02＜0.04，∴a＞log0.20.04＝2，∵6＜e2，∴c＜lne2＝2，∴c＜a，又a＝eq\f(lg0.02,lg0.2)＝eq\f(lg2－2,lg2－1)＝1＋eq\f(1,1－lg2)，b＝eq\f(lg30,lg3)＝eq\f(1＋lg3,lg3)＝1＋eq\f(1,lg3)，∵lg2＋lg3＝lg6＜1，∴1－lg2＞lg3，∴a＜b.综上所述，c<a<b.故选C.24．(多选)(2023·河北唐山高三模拟)已知2x＝3y＝6，则下列不等关系错误的是()A.eq\f(x,y)＞2 B．xy＜4C．x＋y＜4 D.eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＞eq\f(1,2)答案ABC解析由2x＝3y＝6，可得x＝log26，y＝log36，对于A，eq\f(x,y)＝eq\f(log26,log36)＝eq\f(log63,log62)＝log23＜2，所以A错误；对于B，xy＝log26log36＝eq\f(1,log63log62)＞eq\f(4,（log63＋log62）2)＝4，所以B错误；对于C，x＋y＝log26＋log36＝eq\f(1,log62)＋eq\f(1,log63)＝eq\f(log63＋log62,log63log62)＝eq\f(1,log63log62)＞eq\f(4,（log63＋log62）2)＝4，所以C错误；对于D，因为eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＝(log62)2＋(log63)2＝(log62＋log63)2－2log62×log63＞1－eq\f(（log62＋log63）2,2)＝eq\f(1,2)，故D正确．25．(多选)(2023·山西太原高三模拟)下列说法中正确的是()A．若2035x＝2049y，则x＝y＝0B．若2x＜2x，则1＜x＜2C．若10a＝2，lg3＝b，则lg12＝2a＋bD．若m＝logeq\s\up-7(\f(2,5))3，n＝log2eq\r(3)，则mn＜m＋n＜0答案BCD解析对于A，令2035x＝2049y＝t(t＞0)，则x＝log2035t，y＝log2049t，当且仅当t＝1时，x＝y＝0，当t≠1时，x≠y，故A错误；对于B，作出函数y＝2x，y＝2x的图象，又当x＝1时，21＝2×1，当x＝2时，22＝2×2，所以若2x＜2x，则1＜x＜2，故B正确；对于C，因为10a＝2，则a＝lg2，故lg12＝lg3＋lg4＝lg3＋2lg2＝2a＋b，故C正确；对于D，m＝logeq\s\up-7(\f(2,5))3<0，n＝log2eq\r(3)>0，所以mn＜0，由eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log3