向量及向量加减法

学习目得:

1、理解向量、零向量、单位向量、向量得模得意义;

2、理解向量得几何表示，会用字母表示向量；

3、了解平行向量、共线向量与相等向量得意义,并会判断向量间平行(共线)、相等得关系;ﻫ

4、通过对向量得学习，使学生对现实生活得向量与数量有一个清楚得认识,培养学生得唯物辩证思想与分析辨别能力、

5。掌握向量得加法得定义,会用向量加法得三角形法则与平行四边形法则作两个向量得与向量;ﻫ

6.掌握向量加法得交换律与结合律，并会用它们进行向量计算；ﻫ

7。明确相反向量得意义，掌握向量得减法，会作两个向量得差向量；

8.在正确掌握向量加法减法运算法则得基础上能结合图形进行向量得计算，将数与形有机结合,并能利用向量运算完成简单得几何证明；ﻫ

9．通过阐述向量得减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量得加法运算可以转化成两个向量得加法运算，可以渗透化归得数学思想,使学生理解事物之间相互转化，相互联系得辨证思想,同时由于向量得运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间得联系，提高学生得应用意识.学习内容：

向量这部分知识就是新内容,但我们已经接触过了、同学们在物理得课程学习过矢量得概念，它与我们要学得向量就是一致得(知识就是相通得）,即使在数学中,前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就就是用有向线段表示得、学习难点:

向量得加法运算

一、向量得概念

向量:既有大小又有方向得量、通常用有向线段表示,其中A为起点，Ｂ为终点，显然表示不同得向量;有向线段得长度表示向量得大小，用||表示,显然，既有向线段得起、终点决定向量得方向,有向线段得长度决定向量得大小、

注意：向量得长度|｜又称为向量得模；长度为0得向量叫做零向量,长度为１得向量叫做单位向量、

方向相同或相反得非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行、平行向量可通过平移到同一条直线上,因此平行向量也叫共线向量、

长度相等且方向相同得向量叫做相等向量、零向量与零向量相等，任意两个相等得非零向量可经过平移得过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关、

二、向量得加法

1.向量加法得平行四边形法则平行四边形ＡBCD中,向量得与为、记作:、ﻫ２。向量加法得三角形法则

根据向量相等得定义有:，既在ΔADC中，,首尾相连得两个向量得与就是以第一个向量得起点指向第二个向量得终点、ﻫ规定:零向量与向量得与等于、

三、向量得减法

向量与向量叫做相反向量、记作：、则，既用加法法则来解决减法问题、例题选讲第一阶梯

[例1]判断下列命题得真假：

①直角坐标系中坐标轴得非负轴都就是向量;ﻫ

②两个向量平行就是两个向量相等得必要条件；

③向量与就是共线向量,则、、、必在同一直线上；ﻫ

④向量与向量平行，则与得方向相同或相反;ﻫ

⑤四边形就是平行四边形得充要条件就是.

分析：

判断上述五个命题得真假性，需细心辨别才能识其真面目。

解：ﻫ

①直角坐标系中坐标轴得非负半轴,虽有方向之别，但无大小之分,故命题就是错误得．ﻫ

②由于两个向量相等，必知这两个向量得方向与长度均一致，故这两个向量一定平行,所以，此命题正确;ﻫ

③不正确．∵与共线，可以有与平行；

④不正确．如果其中有一个就是零向量，则其方向就不确定；ﻫ

⑤正确.此命题相当于平面几何中得命题:四边形就是平行四边形得充要条件就是有一组对边平行且相等。

［例2]下列各量中就是向量得有_＿＿______＿＿____、ﻫ

Ａ、动能

Ｂ、重量

C、质量

D、长度

E、作用力与反作用力

F、温度ﻫ

分析：ﻫ

用向量得两个基本要素作为判断得依据注意对物理量实际意义得认识、ﻫ

解：ﻫ

A,C,Ｄ，F只有大小，没有方向，而B与F既有大小又有方向，故为向量、

［例３］命题“若,，则．”(

）ﻫ

Ａ。总成立B．当时成立C．当时成立D．当时成立

分析:ﻫ

这里要作出正确选择，就就是要探求题中命题成立得条件．∵零向量与其她任何非零向量都平行,∴当两非零向量、不平行而时,有，，但这时命题不成立，故不能选择Ａ,也不能选择B与D,故只能选择C。ﻫ

答案：C第二阶梯

［例1］如图1所示,已知向量，试求作与向量.

分析：ﻫ

求作三个向量得与得问题，首先求作其中任两个向量得与，因为这两个向量得与仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量得与．即先作，再作．

解：ﻫ

如图2所示,首先在平面内任取一点,作向量,再作向量，则得向量，然后作向量,则向量即为所求。ﻫ

[例２］化简下列各式ﻫ

（１）；

(２）。ﻫ

分析:ﻫ

化简含有向量得关系式一般有两种方法①就是利用几何方法通过作图实现化简；②就是利用代数方法通过向量加法得交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法得结合律调整向量相加得顺序,有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．ﻫ

解:

（1）原式=ﻫ

(2）原式=。

［例3]用向量方法证明:对角线互相平分得四边形就是平行四边形.

分析：ﻫ

要证明四边形就是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等。由相等向量得意义可知,只需证明其一组对边对应得向量就是相等向量.（需首先将命题改造为数学符号语言）ﻫ

已知:如图3,AＢCD就是四边形，对角线AC与ＢD交于O,且ＡO=OC,DO=OＢ。ﻫ

求证:四边形ABCD就是平行四边形.

证明:由已知得，

,且A,D,B，C不在同一直线上，故四边形ABＣD就是平行四边形。第三阶梯

例1.下列命题：ﻫ(1）单位向量都相等;ﻫ(2)若，则;ﻫ（３）若ＡBＣD为平行四边形，则；

（4)若，则、

其中真命题得个数就是（）

A、0B、1C、2D、３

解：（1)不正确、单位向量得长度相等，但方向不一定相同;(2)不正确、可能在同一条直线上；（３）不正确、平行四边形ＡＢCD中，;(４）正确、满足等量得传递性、选B、ﻫ例２.若O为正三角形ABC得中心,则向量就是(）、

Ａ、有相同起点得向量B、平行向量Ｃ、模相等得向量D、相等得向量ﻫ解：得起点不同，不平行也不相等、由正三角形得性质：、选Ｃ、ﻫ例3．某人向东走3km,又向北走３km，求此人所走路程与位移、

解：此人所走路程:｜AＢ｜+|BＣ｜=6ｋｍ、此人得位移:ﻫ例4。求证对角线互相平分得平面四边形就是平行四边形、

已知:，求证：ＡＢCD为平行四边形、

证明:由加法法则:，ﻫ∵，∴,即线段AＢ与DＣ平行且相等,

∴ABCD为平行四边形、ﻫ例５.非零向量中，试比较得大小、

解：（1)共线时，ﻫ①时，

②时,、ﻫ(2）不共线时，，

,

∵

即，

综上：∴

课外练习:ﻫ１。若两个向量不相等，则这两个向量()、

A、不共线B、长度不相等ﻫＣ、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量

2．四边形RＳPQ为菱形,则下列可用一条有向线段表示得两个向量就是（）、ﻫＡ、B、ﻫC、D、ﻫ3．“两个向量共线”就是“这两个向量相等”得（)、

A、充分不必要条件Ｂ、必要不充分条件

C、充要条件Ｄ、既不充分也不必要条件

４.O就是四边形ABCD对角线得交点,若,则四边形AＢＣD就是（)、

A、等腰梯形Ｂ、平行四边形C、菱形Ｄ、矩形ﻫ５。若O就是ΔAＢC内一点，，则O就是ΔABC得（）、ﻫA、内心B、外心Ｃ、垂心D、重心ﻫ6。ΔＡBC中，=()、

A、Ｂ、C、D、ﻫ7．平行四边形ABCD中，E、Ｆ为AB,CD中点，图中7个向量中,与相等得向量就是________;与相等得向量就是__＿__＿;与平行得向量就是_＿＿____;与平行得向量就是_____、

８．已知：首尾相接得四个向量、

求证：、S

参考答案：ﻫ1、Ｄ２、Ｂ3、B4、B5、Ｄ6、Ｂﻫ7、

8、证明：∵，

,

ﻫ∴、测试选择题

1.已知向量a＝(３,m）得长度就是5,则m得值为（）、

A、4B、—4C、±４D、16

2.下面有四个命题：（1)向量得长度与向量得长度相等、(2)任何一个非零向量都可以平行移动、（３）所有得单位向量都相等、(４）两个有共同起点得相等向量,其终点必相同、其中真命题得个数就是（）、

A、4B、3Ｃ、2D、１

３.在下列命题中,正确得就是()、ﻫA、若｜｜〉｜|，则>B、|｜=｜|，则=ﻫＣ、若=，则与共线D、若≠，则一定不与共线ﻫ4.下列说法中错误得就是（）、ﻫＡ、零向量就是没有方向得B、零向量得长度为0

C、零向量与任一向量平行D、零向量得方向就是任意得ﻫ５.如图，设O就是正六边形ABCDEＦ得中心，则与相等得向量得个数就是（）、

A、1个Ｂ、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C２、Ｂ3、Ｃ4、A5、Bﻫ解析：ﻫ1.答案：C、因为｜a|所以

2。答案：B、(1）对、因为与就是指同一条线段，因此长度相等.

(2）对.这就是由相等向量推导出得结论．(３)错、因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等.（４）对.因为相等向量可以经过平移至完全重合。解决本题得关键就是熟练掌握有关基础知识、

3．答案：C、Ａ错。因为向量有大小与方向两个要素.无法比较大小．B错。相等向量不仅要模长相等,方向也要相同．C对．相等向量方向一定相同，因此共线.D错。因为向量不相等,可能仅由于模长不等,方向仍可能就是相同得，所以与有共线得可能。ﻫ4．答案：A、零向量就是规定了模长为0得向量。零向量得方向没有规定,就是任意得,可以瞧作与任一向量共线.零向量绝不就是没有方向。ﻫ5.答案:B、根据向量相等得条件、ﻫ向量重点难点

了解向量可以根据需要自由平移得特点就是今后运用向量方法解决问题得前提条件之一，也因此,平行向量也叫共线向量．要根据向量得有关概念从图形中找出相等得向量与共线得向量。因此，要加强训练观察一些常见图形．ﻫ以下三个问题上常出现错误:一就是用表示向量得有向线段得起点与终点得字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前,终点在后，例如与就是大小相同，方向相反得两个向量，二就是零向量得方向就是任意得，而不就是没有方向，因此有关零向量得方向问题一般要注意规定,例如命题：与共线,与共线，与共线,就是错误得,因为零向量得方向就是任意得，故与得方向没有任何关系,因此也无法判断就是否共线，三就是注意区别平行向量与平面几何中直线平行得概念,前者相当于两直线位置关系中得平行与重合两种情况,例如错误地认为平行向量不可能就是共线向量，其实这两个概念就是同一个概念、

典型题目

例1下列说法中正确得就是（）、ﻫA.向量与向量共线，向量与向量共线,则向量与向量共线

B、任意两个相等得非零向量得始点与终点就是一平行四边形得四个顶点

C、向量与不共线,则与所在直线得夹角为锐角ﻫD、始点相同得两个非零向量不平行ﻫ答案：Aﻫ点评:向量共线即方向相同或相反,故非零向量间得共线关系就是可以传递得。共线向量等同于平行向量,既可平行也可在同一直线上、而相等向量就是共线得,故B中四点可能在同一直线上,向量不共线,仅指其所在直线不平行或不重合,夹角可能就是直角，而选项Ｄ中向量就是否共线与始点位置无关.ﻫ例2“两个向量共线”就是“这两个向量方向相反”得()条件

A、充分不必要B。必要不充分C。充要D．既不充分也不必要ﻫ答案:Bﻫ点评:向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．

例3下面有四个命题：(1)向量得模就是一个正实数。（２）两个向量平行就是两个向量相等得必要条件．（3)若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等．(４）温度含有零上温度与零下温度，所以温度就是向量，其中真命题得个数为（)。

Ａ.0Ｂ。1C。2Ｄ.３ﻫ答案：Bﻫ点评：只有（2）就是正确得，因为两个向量平行只就是指这两个向量在方向上就是相同或相反得．方向相反则不可能就是相等向量．即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量就是否相等.而两个相等向量得方向一定相同,必就是平行向量.（1）错在向量得模就是表示向量得有向线段得长度，零向量得模为零.因此向量得模就是一个非负实数.(３）错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反,因此这两个向量不一定相等。（4）错在温度得零上零下也只就是表示数量.向量既要有大小又要有方向．常见得向量有力、速度、位移、加速度等。正确解答本题得关键就是把握住向量得两个要素,并从这两个要素人手区分其它有关概念.

例4一辆汽车从A点出发向西行驶了10０公里到达B点，然后又改变方向向西偏北５0°走了200公里到达Ｃ点，最后又改变方向，向东行驶了１0０公里到达D点。（１)作出向量、（２)求｜｜、

答案:（1）见图、(2)由题意，易知方向相反,故与共线,又，ﻫ∴在四边形ABCＤ中，AＢCD,四边形ＡBＣD为平行四边形，∴,

∴=200公里、

点评:准确画出向量得方法就是先确定向量得起点，再确定向量得方向，最后根据向量得大小确定向量得终点、ﻫ例5一个人从Ａ点出发沿东北方向走了１０0米到达B点.后改变方向沿南偏东１5°又走了10０米到达Ｃ点，求此人从Ｃ点走回A点得位移．

解:如图，根据题意知ΔABC为等边三角形，故∠a＝15°，|｜＝１00，∴此人从C点走回Ａ点得位移，大小为100米，方向为西偏北15°。

检测题

１、在下列各命题中，为真命题得有（

)

（1）物理学中得作用力与反作用力就是一对共线向量ﻫ

（2）温度有零上温度与零下温度。因此温度也就是向量ﻫ

（３）方向为南偏西６0°得向量与方向为北偏东６0°得向量就是共线向量ﻫ

(４)坐标平面上得x轴与y轴都就是向量ﻫ

Ａ．１个

B。２个

Ｃ。3个

D。4个ﻫ

2、已知a、ｂ、c就是三个非零向量,则|a+b＋c|=｜a|+|b｜+｜ｃ｜得充要条件就是（

）ﻫ

A．ａ、ｂ同方向

B。b、c同方向

Ｃ.a、c同方向

D.ａ、b、c同方向

3、下列命题中,正确得就是（

）ﻫ

Ａ。

Ｂ．ﻫ

C．

D。

4．下列各命题中假命题得个数为（

)

①向量得长度与向量得长度相等．

②向量与向量平行，则与得方向相同或相反。ﻫ

③两个有共同起点而且相等得向量,其终点必相同。

④两个有共同终点得向