高中三年级上学期数学《离散型随机变量的概念》教学设计

7.2.1离散型随机变量的概念（教学设计）【学习目标】1.理解随机变量及离散型随机变量的含义2.了解随机变量与函数的区别与联系3.会用离散型随机变量描述随机现象 【自主学习】知识点一随机变量(1)定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：常用字母X，Y，ξ，η等表示．知识点二离散型随机变量离散型随机变量的定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．【合作探究】探究一随机变量的概念【例1】指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某编辑部一天接到咨询电话的个数；(2)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(3)某林场树木最高达30m，此林场中树木的高度；(4)体积为27cm3的正方体的棱长．【分析】根据随机变量的概念判断．【解】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)被抽取的卡片号数是随机的，是随机变量．(3)林场树木的高度可以取(0,30]内的一切值，它是一个随机变量．(4)体积为27cm3的正方体的棱长为3cm，为定值，不是随机变量．归纳总结：在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源【练习1】将一枚均匀骰子掷两次，随机变量为()A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现的点数之和D．两次出现相同点的种数【答案】C解析：A，B，D中出现的点数虽然是随机的，但是其取值所反映的结果，都不能整体反映本试验，C整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现的点数的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这十一种结果，但每掷一次之前都无法确定是哪一个，因此是随机变量．探究二离散型随机变量的判定【例2】下列随机变量是否是离散型随机变量，并简述其理由．(1)在2006张已编号的卡片(从1号到2006号)中任取1张，被取出的号数为X；(2)某人连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数X；(3)从2006张已编号的卡片(从1号到2006号)中任取3张，被取出的卡片的号数和为X;(4)某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺寸之差X.【分析】看一个随机变量是否是离散型随机变量，主要看此变量的取值是否是有限个，或虽是无限个，但可以按一定的顺序列举出来．【解】(1)随机变量X的值有2006个，是有限个，因此X是离散型随机变量．(2)首次命中目标需要的射击次数X虽然有无限个，但是可以列举出来，1,2,3，…，可见，随机变量X是离散型随机变量．(3)与(1)比较，虽然取的张数有1张和3张区别，但实质是一样的，故X是离散型随机变量．(4)由于随机变量X的值是(－∞，＋∞)内的一切实数(从理论上看)，不可能列举出来，故随机变量X不是离散型随机变量．归纳总结：看一个变量是否是离散型随机变量，首先看它是否是随机的，其次是看它是否是离散的，然后才能下结论.【练习2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)白炽灯的寿命ξ；(2)某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分；(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.解：(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．(2)是离散型随机变量，因为射手的得分的取值只有1或0，可一一列举．(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出探究三用随机变量表示随机试验的结果【例3】写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X.【分析】明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．【解】(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．归纳总结：因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此，要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果.还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果【练习3】写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；(2)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含次品的件数X.解：(1)X可取1,2,3.X＝i表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1,2,3.Y可取0,1,2.Y＝i表示“取出i支红粉笔，3－i支白粉笔”，其中i＝0,1,2.(2)随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4.X＝i表示“取出的4件产品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4.探究四随机变量与函数的关系【例4】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，试求ξ的值域，并说明“ξ>4”表示的试验结果．【解】设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，依题意得ξ＝x－y.则－5≤ξ≤5，即ξ的值域为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．则ξ>4⇔ξ＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．归纳总结：随机变量ξ与函数f(x)的区别函数是研究确定性现象的，它定义在实轴上，有确定的因果关系；随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，但这些数是预先知道的所有可能的值，这便是“随机”的本源．【练习4】一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η