苏教版高中数学选择性必修第二册6.1.2空间向量的数量积【教学课件】

6.1.2空间向量的数量积第6章§6.1

空间向量及其运算1.了解空间向量的夹角及有关概念.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积.学习目标在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.导语随堂演练课时对点练一、空间向量的夹角二、空间向量的数量积三、空间向量的投影向量内容索引一、空间向量的夹角问题1平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？知识梳理定义a，b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作

＝a，

＝b，

＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉范围__________________特殊夹角(1)如果〈a，b〉＝0，a与b

；(2)如果〈a，b〉＝π，a与b

；(3)如果〈a，b〉＝___，a与b互相垂直，记作a

b.∠AOB0≤〈a，b〉≤π同向反向⊥例1

(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件√解析显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.解连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，反思感悟

(1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角.(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.√二、空间向量的数量积知识梳理1.定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量

叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为

.2.数量积的运算律|a||b|cos〈a，b〉0交换律a·b＝_____分配律(a＋b)·c＝________结合律(λa)·b＝

(λ∈R)b·aa·c＋b·cλ(a·b)3.数量积的性质a·b＝0|a||b|－|a||b||a|2两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔________②若a与b同向，则a·b＝

；若反向，则a·b＝

.特别地，a·a＝

或|a|＝_____③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝_____注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.例2

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练2

(1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为A.－6 B.6

C.3

D.－3√解析由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.A.60° B.150°C.90° D.120°√三、空间向量的投影向量问题2

平面向量中向量a同向量b的投影是如何定义的？知识梳理2.空间向量数量积的几何意义空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的________与向量n的数量积.投影向量例3

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点.解因为A1B1⊥平面BCC1，

PC1⊥平面BCC1，解因为A1B1⊥B1C1,PC1⊥B1C1，反思感悟利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在.解方法一∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∴AB⊥AC.又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴A1C＝2.方法二∵A1A⊥平面ABC，1.知识清单：(1)空间向量的夹角.(2)空间向量的数量积.(3)空间向量的投影向量.2.方法归纳：数形结合、转化化归.3.常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.课堂小结随堂演练1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是1234√√√123412343.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为____.∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为1234解析由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，课时对点练基础巩固123456789101112131415A.30°

B.60°

C.120°

D.150°16√2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于A.1B.2C.3

D.4√解析

∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.123456789101112131415164.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是√√5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是√√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为_____.解析

∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b123456789101112131415168.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝___.60°解析由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，所以〈a，b〉＝60°.123456789101112131415169.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.解因为CA⊥AB，BD⊥AB，123456789101112131415161234567891011121314151610.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：12345678910111213141516综合运用11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是√123456789101112131415161234567891011121314151612.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝___.7解析

∵OA，OB，OC两两垂直，1234567891011121314151612345678910111213141516[0,1]拓广探究12345678910111213141516A.8 B.4C.2 D.1√123456789101112131415161234567891011121