专题2 数列求和2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计 (人教B版2019)

专题2数列求和2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）专题2数列求和2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)教学内容分析本节课的主要教学内容为人教B版2019高中数学选择性必修第三册的“专题2数列求和”。内容涉及数列求和的基本原理，包括等差数列与等比数列的求和公式，以及数列求和的应用。具体包括以下方面：

1.教学内容：数列求和的概念，等差数列求和公式的推导与应用，等比数列求和公式的推导与应用，以及数列求和在实际问题中的运用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中已经掌握了数列的基本概念，了解了等差数列和等比数列的性质。本节课将在此基础上，引导学生发现数列求和的规律，理解并运用求和公式，进一步解决实际问题。通过本节课的学习，学生将对数列求和有更深入的认识，为后续数学学习打下坚实基础。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和问题解决能力。通过学习数列求和，引导学生运用已知的数列性质和数学公式，进行逻辑推理，培养学生严谨的逻辑思维能力。同时，通过对等差数列和等比数列求和公式的推导与应用，提高学生数学建模的能力，使学生能够将数学知识应用于实际问题。此外，通过解决数列求和在实际问题中的应用，培养学生的问题解决能力，使学生在面对复杂数学问题时，能够运用所学知识进行分析、解决问题。学情分析本节课授课对象为高中年级学生，他们在数学知识、能力和素质方面具备以下特点：在知识层面，学生已掌握数列的基本概念和性质，了解等差数列和等比数列的相关知识，具有一定的数学基础；在能力层面，学生具备一定的逻辑推理和数学建模能力，但数列求和的推导和应用方面可能仍需加强；在素质层面，学生的自主学习能力和合作交流能力有待提高。

在行为习惯方面，大部分学生具有较好的学习态度，能够积极参与课堂讨论和练习，但部分学生对数学学习存在恐惧感，可能在面对复杂问题时产生退缩心理。这对课程学习有一定影响，需要教师在教学中关注学生的心理变化，适时给予鼓励和指导。教学方法与策略针对本节课的教学目标和学生特点，采用以下教学方法与策略：

1.讲授与讨论相结合：教师通过讲解数列求和的基本原理和方法，引导学生参与课堂讨论，共同推导等差数列和等比数列的求和公式，促进学生理解与掌握。

2.案例研究：设计具有实际背景的数列求和问题，让学生分组进行研究，通过分析、讨论和解决问题，提高数学建模和问题解决能力。

3.项目导向学习：布置数列求和相关的项目任务，鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队协作精神。

4.使用多媒体教学：运用PPT、数学软件等教学媒体，展示数列求和的推导过程和实际应用，提高课堂教学的直观性和趣味性。教学过程设计（1）导入环节（5分钟）

（2）讲授新课（15分钟）

1.讲解数列求和的概念，引导学生回顾等差数列和等比数列的性质。

2.围绕等差数列求和公式，通过数学推导，引导学生理解和掌握求和公式的来源。

3.同理，讲解等比数列求和公式的推导过程，强调公比不为1时的情况。

4.通过例题讲解，展示数列求和公式的应用，让学生了解如何运用公式解决实际问题。

（3）巩固练习（15分钟）

1.设计具有代表性的数列求和练习题，让学生独立完成，巩固对新知识的理解和掌握。

2.学生互相讨论，分享解题思路，提高问题解决能力。

3.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，确保学生掌握数列求和的方法。

（4）课堂提问（5分钟）

1.提问学生关于数列求和公式的推导过程，检验学生对知识点的掌握程度。

2.邀请学生上台演示解题过程，锻炼学生的表达能力和逻辑思维能力。

3.针对学生的回答，进行点评和指导，强调数列求和过程中的注意事项。

（5）师生互动环节（5分钟）

1.开展小组讨论，让学生分组探讨数列求和在生活中的应用，提高学生的数学建模能力。

2.邀请学生分享小组讨论成果，促进学生之间的交流与合作。

3.教师点评，对学生的表现给予肯定和鼓励，提高学生的自信心。

（6）总结与拓展（5分钟）

1.对本节课的知识点进行总结，强调数列求和的重要性。

2.提出拓展性问题，引导学生思考数列求和在其他领域（如金融、物理等）的应用，激发学生的学习兴趣。

3.布置课后作业，巩固学生对数列求和的理解和掌握。拓展与延伸为了让学生更深入地理解数列求和的知识，以下提供一些与本节课内容相关的拓展阅读材料和探究方向：

1.拓展阅读材料：

-《数学分析》中关于数列求和的章节，了解更深入的数列求和理论。

-《数列与级数》书籍，探讨数列求和在级数中的应用。

-《数学建模与实际问题》相关文章，了解数列求和在解决实际问题中的应用。

2.课后自主学习和探究：

-研究数列求和公式的证明过程，特别是等差数列和等比数列求和公式的严谨推导。

-探索数列求和在其他数学分支中的应用，如概率论、统计学等。

-尝试解决一些与数列求和相关的高难度数学竞赛题目，提升解题能力。

-研究数列求和在金融领域的应用，例如计算投资收益、贷款利息等。

-探讨数列求和在物理学中的运用，如计算物体运动的距离、速度等。典型例题讲解例题1：

已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，求前n项和S_n。

解答：

由等差数列求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n)

其中，a_n=a_1+(n-1)d

代入题目数据，得：

S_n=n/2*(1+[1+(n-1)*2])

=n/2*(1+2n-2)

=n/2*(2n-1)

=n(2n-1)

例题2：

已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求前n项和S_n。

解答：

由等比数列求和公式：S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)

其中，a_1=2，q=3

代入题目数据，得：

S_n=2*(1-3^n)/(1-3)

=2*(-2^n)

=-2^(n+1)

例题3：

已知等差数列{cn}的前5项和为35，公差为3，求第3项的值。

解答：

由等差数列求和公式：S_5=5/2*(c_1+c_5)

又已知S_5=35，代入得：

35=5/2*(c_1+c_1+4d)

7=c_1+c_1+4*3

14=2c_1+12

2=2c_1

c_1=1

第3项c_3=c_1+2d=1+2*3=7

例题4：

已知等比数列{dn}的前3项和为26，公比为2，求第2项的值。

解答：

由等比数列求和公式：S_3=d_1*(1-2^3)/(1-2)

又已知S_3=26，代入得：

26=d_1*(1-8)/(-1)

26=7d_1

d_1=26/7

第2项d_2=d_1*2=26/7*2=52/7

例题5：

已知数列{en}的通项公式为e_n=n^2+2n，求前n项和S_n。

解答：

S_n=1^2+2*1+2^2+2*2+...+n^2+2n

=(1^2+2^2+...+n^2)+2(1+2+...+n)

利用求和公式：

S_n=n(n+1)(2n+1)/6+2n(n+1)/2

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)

=n(n+1)(2n+7)/6课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

本节课我们学习了数列求和的基本原理，重点掌握了等差数列和等比数列的求和公式及其应用。通过实例讲解了数列求和在解决实际问题中的应用，并进行了典型例题的讲解与练习。

2.当堂检测：

（1）求等差数列{an}的前n项和S_n，已知首项a_1=3，公差d=4。

解答：

S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)

=n/2*(2*3+(n-1)*4)

=n/2*(6+4n-4)

=n/2*(4n+2)

=2n^2+n

（2）求等比数列{bn}的前n项和S_n，已知首项b_1=2，公比q=5。

解答：

S_n=b_1*(1-q^n)/(1-q)

=2*(1-5^n)/(1-5)

=-2*(5^n-1)

（3）已知数列{cn}的通项公式为c_n=n^3-n，求前n项和S_n。

解答：

S_n=1^3-1+2^3-2+...+n^3-n

=(1^3+2^3+...+n^3)-(1+2+...+n)

利用求和公式：

S_n=[n(n+1)/2]^2-n(n+1)/2

=(n^2(n+1)^2)/4-(n(n+1))/2

=(n(n+1)(n^2+n-2))/4

（4）已知等差数列{dn}的前n项和为n^2+2n，求公差d。

解答：

由等差数列求和公式：S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)

代入题目数据，得：

n^2+2n=n/2*(2a_1+(n-1)d)

2(n^2+2n)=n(2a_1+(n-1)d)

2n^2+4n=2na_1+n^2d-nd

d=(2n^2+4n-2na_1)/(n^2-n)

由题意，当n=1时，S_1=a_1=1^2+2*1=3

代入d的表达式，得：

d=(2*1^2+4*1-2*3)/(1^2-1)

=0

由于等差数列的公差不为0，此题无解。

（5）已知等比数列{fn}的前n项和为2^n，求首项f_1。

解答：

由等比数列求和公式：S_n=f_1*(1-q^n)/(1-q)

代入题目数据，得：

2^n=f_1*(1-q^n)/(1-q)