高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第11讲第二章函数与基本初等函数(综合测试)(原卷版+解析)

第11讲第二章函数与基本初等函数（综合测试）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）函数的定义域为（）A． B．C． D．2．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·北京大兴·高三校考阶段练习）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．24．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（

）．A． B．C． D．6．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．7．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（

）A．是周期为的函数B．C．的值域是D．方程在区间内恰有个实数解二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·陕西西安·高一校联考期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．B．C．D．10．（2023秋·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A． B．C． D．11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（

）A．函数对称轴为方程为B．函数的周期为C．对于函数，有D．对于函数，有12．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）设函数，则（

）A．B．当时，C．方程只有一个实数根D．方程有个不等的实数根三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为___________．14．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.15．（2023秋·上海金山·高一统考期末）设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．16．（2023秋·广东清远·高三统考期末）设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则_________，的最小值为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）（1）已知，求的值.（2）化简：.18．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知函数.(1)在所给坐标系中作出的简图；(2)解不等式.19．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知函数．(1)证明函数为奇函数；(2)若，求函数的最大值和最小值．20．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗，特成立减少损耗技术攻关小组，企业预期每年能减少损耗10万元～1000万元．为了激励攻关小组，现准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随减少损耗费用x（单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％．(1)若建立函数模型奖励方案，试用数学语言表述企业对奖励函数模型的基本要求；(2)现有三个奖励函数模型；①；②；③．试分析这三个函数模型是否符合企业要求．21．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.如，，令.(1)记，求的解析式，并在坐标系中作出函数的图象；(2)结合（1）中的图象，解不等式直接写出结果；(3)设，判断的奇偶性，并求函数的值域.22．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知函数.(1)若函数在为增函数，求实数的取值范围；(2)当时，且对于，都有成立，求实数的取值范围.第11讲第二章函数与基本初等函数（综合测试）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（2023春·四川绵阳·高一校考开学考试）函数的定义域为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由已知得，解得且，所以函数的定义域为.故选：B2．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若函数在上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为的对称轴为，且其图象开口向上，所以或，解得或，所以的取值范围是.故选：B.3．（2023秋·北京大兴·高三校考阶段练习）按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．2【答案】B【详解】解：根据题意可得，，两式相比得，即，所以.故选：B.4．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，显然函数图象是连续的，则有，，，，，所以，，，，故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误.故选：B.5．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数的部分图象大致为（

）．A． B．C． D．【答案】A【详解】变形为，定义域为，，故为偶函数，关于y轴对称．当时，，时，，排除BC，又时，，故排除D，A正确.故选：A．6．（2023秋·四川成都·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，而，即，所以.故选：D7．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得．综上得.故选：D8．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（

）A．是周期为的函数B．C．的值域是D．方程在区间内恰有个实数解【答案】D【详解】对于A，由得：，，是周期为的周期函数，A错误；对于B，，，又，，为定义在上的奇函数，，又，，，B错误；对于C，当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上的单调递增，，又，，当时，；为奇函数，当时，，则当时，；由得：关于直线对称，当时，；又的周期为，当时，，C错误；对于D，方程解的个数等价于与的交点个数，作出与的部分图象如下图所示，的周期为，且当时，与有两个交点，当时，与有个交点，，当时，与有且仅有一个交点，当时，与有且仅有一个交点；综上所述：当时，与有个交点，即方程恰有个实数解，D正确.故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023秋·陕西西安·高一校联考期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【详解】对于A选项，其定义域是，不是，故A错误；对于B选项，其定义域是，值域，故B正确；对于C选项，其与函数定义相矛盾，故C错误；对于D选项，其定义域是，显然值域包含于集合，故D正确；故选：BD.10．（2023秋·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考期末）已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.故选：BCD.11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知函数、的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（

）A．函数对称轴为方程为B．函数的周期为C．对于函数，有D．对于函数，有【答案】BC【详解】对于A选项，因为，则，又因为，所以，，所以，函数的图象关于点中心对称，A错；对于B选项，因为函数的图象关于直线对称，所以，，因为，则，又因为，则，即，所以，，所以，，即，所以，函数的周期为，B对；对于C选项，因为，可得，所以，，所以，函数为周期函数，且周期为，所以，，由且，则，所以，，由可得，所以，，由可得，则，所以，，C对；对于D选项，因为，所以，，D错.故选：BC.12．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）设函数，则（

）A．B．当时，C．方程只有一个实数根D．方程有个不等的实数根【答案】BCD【详解】对于A，，A错误；对于B，当时，，，B正确；对于C，当时，令，解得：；由B知：当时，，由解析式知：当时，的周期为，当时，；综上所述：方程只有一个实数根，C正确；对于D，当时，，则当时，恒成立；作出与图象如下图所示，结合图象可知：与共有个交点，方程有个不等的实数根，D正确.故选：BCD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间为___________．【答案】【详解】由，解得或，则的定义域为.令，其中或，当时，单调递减；当时，单调递增，又在单调递增，所以的单调递增区间为，故答案为：.14．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】由题意为增函数，故，解得.又根据题意可得对恒成立，故在恒成立.由对勾函数性质可知：函数在区间上为增函数，故，由可得在区间上恒成立，所以，综上有，即m的取值范围为.故答案为：.15．（2023秋·上海金山·高一统考期末）设，，若函数在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a的取值范围是__________．【答案】【详解】对①：∵，即，故不是奇函数；若是偶函数，则，可得，即；故若是非奇非偶函数，则；对③：若在上有最大值，则有：当时，则在上单调递减，无最值，不合题意；当时，则为二次函数且对称轴为，由题意可得，解得，故若在上有最大值，则；对②：若，则开口向下，且对称轴为，故在上既不是增函数也不是减函数；综上所述：实数a的取值范围为.故答案为：.16．（2023秋·广东清远·高三统考期末）设函数若关于的方程有四个实根，，，且，则_________，的最小值为_________.【答案】

【详解】画出的图象如下图所示.由图可知，其中.因为，即，整理得.且，所以，当且仅当时等号成立，此时，又因为，当且仅当时等号成立，此时.所以的最小值为.故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023春·广西南宁·高一统考开学考试）（1）已知，求的值.（2）化简：.【答案】（1）7；（2）5【详解】（1）因为，所以；（2）原式.18．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）已知函数.(1)在所给坐标系中作出的简图；(2)解不等式.【答案】(1)图像见解析(2)【详解】（1）的简图如下：；（2）由已知得或，解得或，即不等式的解集为．19．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知函数．(1)证明函数为奇函数；(2)若，求函数的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析(2)最小值；最大值【详解】（1）证明：的定义域为，关于原点对称，，所以在定义域上为奇函数；（2）（2）在上任取，且，则∵，∴，，，∴，∴，∴在上单调递增，∴最小值为，最大值为20．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）某企业为了降低生产部门在产品生产过程中造成的损耗，特成立减少损耗技术攻关小组，企业预期每年能减少损耗10万元～1000万元．为了激励攻关小组，现准备制定一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随减少损耗费用x（单位：万元）的增加而增加，同时奖金不超过减少损耗费用的50％．(1)若建立函数模型奖励方案，试用数学语言表述企业对奖励函数模型的基本要求；(2)现有三个奖励函数模型；①；②；③．试分析这三个函数模型是否符合企业要求．【答案】(1)当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立；(2)函数模型③.【详解】（1）设奖励函数模型为，则企业对函数模型的基本要求是：当时，Ⅰ、函数为增函数，Ⅱ、恒成立．（2）Ⅰ．对于①函数模型，由，该模型不符合企业奖励方案；Ⅱ．对于②函数模型，由，故当时，不恒成立，该模型不符合企业奖励方案；Ⅲ．对于③