全国名校高考数学试题分类汇编 F单元 平面向量（含解析）

F单元平面向量目录F单元平面向量 1F1平面向量的概念及其线性运算 1F2平面向量基本定理及向量坐标运算 1F3平面向量的数量积及应用 1F4单元综合 1F1平面向量的概念及其线性运算【文·浙江效实中学高二期末·】18．已知，，与的夹角为，求（1）在方向上的投影；（2）与的夹角为锐角，求的取值范围。【知识点】向量的投影，向量的夹角【答案解析】解析：解：（1）在方向上的投影为=；（2）若与的夹角为锐角，则且两向量不共线，得且，得.【思路点拨】在求一个向量在另一个向量上的投影时，可直接利用定义进行计算，判断两个向量的夹角为锐角或钝角时，可直接利用数量积的符号进行解答，注意要排除两向量共线的情况.【文·浙江效实中学高二期末·】5．在中，为的重心，在边上，且，则（A）（B）（C）（D）【知识点】向量的加减几何运算【答案解析】B解析：解：因为，则，所以选B【思路点拨】求向量通常观察该向量所在的三角形，在三角形中利用向量加法或减法的运算求向量即可；本题还需要注意应用三角形重心的性质转化求解.【文·广东惠州一中高三一调·】5．若向量则A.B.C.D.【知识点】相反向量；向量的四则运算.【答案解析】B解析：解：因为,所以，故选B.【思路点拨】由相反向量的定义得，再结合向量的加法运算即可.【理·浙江绍兴一中高二期末·】16．如图，在扇形OAB中，，C为弧AB上的一个动点．若，则的取值范围是▲．【知识点】向量在几何中的应用．(第16题)OABC(第16题)OABC过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得

∵四边形OECF是平行四边形

∴,∵，与是共线向量且与是共线向量，

∴=x，=y根据与同向、与同向，可得x=且y=∵x、y均为正数且x+3y中y的系数较大，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，变短而变长,∴当C与A重合时，x=1达到最大而y=0达到最小，此时有最小值为1；

当C与A重合时，x=0达到最小而y=1达到最大，此时有最大值为4

即的取值范围是

故答案为：【思路点拨】过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四边形OECF中，可得，结合平面向量基本定理得到=x，=y．考虑到x、y均为正数且中y的系数较大，所以当y越大时的值越大，因此将点C沿AB弧由A向B运动，加以观察即可得到的取值范围．【理·浙江绍兴一中高二期末·】16．如图，在扇形OAB中，，C为弧AB上的一个动点．若，则的取值范围是▲．【知识点】向量在几何中的应用．(第16题)OABC(第16题)OABC过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得

∵四边形OECF是平行四边形

∴,∵，与是共线向量且与是共线向量，

∴=x，=y根据与同向、与同向，可得x=且y=∵x、y均为正数且x+3y中y的系数较大，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，变短而变长,∴当C与A重合时，x=1达到最大而y=0达到最小，此时有最小值为1；

当C与A重合时，x=0达到最小而y=1达到最大，此时有最大值为4

即的取值范围是

故答案为：【思路点拨】过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四边形OECF中，可得，结合平面向量基本定理得到=x，=y．考虑到x、y均为正数且中y的系数较大，所以当y越大时的值越大，因此将点C沿AB弧由A向B运动，加以观察即可得到的取值范围．【理·吉林长春十一中高二期末·】6．设点是线段的中点，点在直线外，，，则（）A．8 B．4 C．2 D．1【知识点】向量的线性运算性质及几何意义．【答案解析】C解析：解：由，∵=，而∴2,故选C．【思路点拨】先由，又==4，可得答案．【理·广东惠州一中高三一调·】8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（） 【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算.【答案解析】D解析：解：由题意，则，，得，由定义知，故选..【思路点拨】先求，再求，数形结合求，最后套“向量积”的长度公式即可.【黑龙江哈六中高一期末·】3．设向量满足，，则（）（A）1（B）2（C）3（D）5【知识点】向量的模的运算.【答案解析】A解析：解：两边平方得，同理，两边平方得，两式相减.故选A.【思路点拨】把，平方相减即可得到结果.【吉林一中高一期末·】16.已知点 【知识点】单位向量，向量共线.【答案解析】解析：解：由已知得，故与向量同方向的单位向量为，故答案为【思路点拨】先得到，然后再求同方向的单位向量即可.F2平面向量基本定理及向量坐标运算【文·浙江效实中学高二期末·】11．已知向量=(,),=(,)，若∥，则=▲.【知识点】向量共线的坐标表示【答案解析】解析：解：因为∥，则.【思路点拨】由向量共线的坐标关系，直接得到关于x的方程，解方程即可.【文·四川成都高三摸底·】1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b=（A）（1，1）（B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1）【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算.【理·四川成都高三摸底·】1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b=（A）（1，1）（B）（-1，-1） （C）（1，-1） （D）（-1，1）【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算.【甘肃兰州一中高一期末考试·】19．(本小题8分)如图所示，在△ABO中，,AD与BC相交于点M，设=，=.试用和表示向量.【知识点】共线向量的基本定理。【答案解析】=+.解析：解：设=m+n，则=-=m+n-=(m-1)+n.=-=-=-+.又∵A、M、D三点共线，∴与共线.∴存在实数t,使得=t，...............................2分(m-1)+n=t(-+).∴(m-1)+n=-t+t.∴，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1.①......................4分∴又∵=-=m+n-=(m-)+n.=-=-=-+.又∵C、M、B三点共线，∴与共线.∴存在实数t1,使得=t1,∴(m-)+n=t1（-+）∴，消去t1得,4m+n=1②...............................6分由①②得m=,n=,=+........................8分注：本题解法较多，只要正确合理均可酌情给分.【思路点拨】由D，M，A三点共线，可得存在实数m使得(m-1)+n=t(-+)，同理可得(m-)+n=t1（-+），根据向量相等的条件可求m，n，的值，从而可用向量和表示向量.【吉林一中高一期末·】15.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若,其中,则m+n=__________【知识点】向量的运算法;平面向量的基本定理及其意义．【答案解析】解析：解：如图所示：∵平行四边形ABCD，点E、F分别为边BC、CD上的中点，∴而两式相加可得,即，所以.【思路点拨】利用向量的运算法则即可得出结果．【吉林一中高一期末·】14.设，，若，则实数________．【知识点】向量的运算；向量垂直的充要条件.【答案解析】解析：解：，又，即解得.【思路点拨】先由向量的基本运算得到的坐标表示，再利用向量垂直的充要条件即可.F3平面向量的数量积及应用【文·浙江效实中学高二期末·】17．如图，扇形的弧的中点为，动点分别在线段上，且若，，则的取值范围是__▲_．【知识点】向量的减法运算，向量的数量积【答案解析】解析：解：设OC=x，则BD=2x，显然0≤x≤1，=.【思路点拨】在向量的运算中通常把所求的向量利用向量的加法与减法转化为用已知向量表示，再进行解答.【文·浙江效实中学高二期末·】10．如图,在平面四边形中,,.若,,则（A）（B）（C）（D）【知识点】向量的加法与减法的几何运算，向量垂直的应用、向量的数量积【答案解析】B解析：解：因为,，所以.，则选B.【思路点拨】在计算向量的数量积时，可把所求的向量利用向量的加法和减法向已知条件中的向量转化，再进行计算.【文·浙江效实中学高二期末·】3．设，，且，夹角，则（A）（B）（C）（D）【知识点】向量的模、向量的数量积【答案解析】A解析：解：，所以选A.【思路点拨】一般求向量的模经常利用性质：向量的平方等于其模的平方，进行转化求值.【文·浙江绍兴一中高二期末`】3．已知向量满足，则（） A．0B．1C．2 D..Com]【知识点】向量的数量积的运算；模的运算.【答案解析】D解析：解：因为向量满足，所以，故选:D.【思路点拨】把已知条件代入转化之后的表达式即可.【文·浙江宁波高二期末·】18．（本小题满分14分）已知向量，设函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【知识点】解三角形；平面向量数量积的坐标表示;模、夹角；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）函数的单调递增区间为（2）.解析：解：（1）由题意得f(x)＝………3分

令………5分解得：所以函数的单调递增区间为………7分（2）由得：,化简得：,………9分又因为，解得：………10分由题意知：，解得，………12分又,所以,故所求边的长为．……14分【思路点拨】（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；

（2）由，可得，利用△ABC的面积为2，结合余弦定理，即可求边a的长．【典型总结】本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．【文·浙江宁波高二期末·】16.已知正方形的边长为2，是正方形的外接圆上的动点，则的最大值为______________【知识点】向量的坐标运算；数量积运算；一次函数的单调性.【答案解析】解析：解：如图所示，建立直角坐标系．

O（0，0），A（-1，-1），B（1，-1）．∴=（1，-1）-（-1，-1）=（2，0）．

设P（x，y），则∴=（x，y）-（-1，-1）=（x+1，y+1）．

∴=（2，0）•（x+1，y+1）=2（x+1），∵，

∴当x=时，的最大值为．

故答案为：．【思路点拨】建立坐标系，利用向量的坐标运算、数量积运算和一次函数的单调性即可得出．【文·浙江宁波高二期末·】3．平面向量与的夹角为，且，，则()A. B. C. 2 D.【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算.【答案解析】C解析：解：因为，故，所以，而.故选：C.【思路点拨】下通过已知条件得到以及，然后代入即可.【文·四川成都高三摸底·】17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知向量m=（a－b，c－a），n=（a+b，c）且m·n=0。（I）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin的值域。【知识点】向量的数量积的坐标运算，余弦定理、三角函数的值域【答案解析】（I）；（Ⅱ）解析：解：由m·n=0得，由余弦定理得，又因为B为三角形内角，所以；（Ⅱ）由（I）得，所以，则所求函数的值域为.【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用，在三角函数给定区间求值域问题，通常先由所给角的范围得辅角范围，再利用三角函数的单调性确定值域.【理·浙江绍兴一中高二期末·】3．已知向量满足，则A．0B．1C．2 D．．Com]【知识点】向量的数量积的运算；模的运算.【答案解析】D解析：解：因为向量满足，所以，故选:D.【思路点拨】把已知条件代入转化之后的表达式即可.【理·浙江宁波高二期末`】8.如图所示,为的外接圆圆心,,为钝角,M是边BC的中点,则=（）A．21 B．29【知识点】向量数量积的运算;数形结合;数量积的定义.【答案解析】B解析：解：（如图）取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC

∵M是边BC的中点，∴

由数量积的定义可得而，故；

同理可得,故.故选:B.【思路点拨】取AB、AC的中点D、E，可知OD⊥AB，OE⊥AC，所求，由数量积的定义结合图象可得,，代值即可．【理·四川成都高三摸底·】17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知向量m=（a－b，c－a），n=（a+b，c）且m·n=0。（I）求角B的大小；（Ⅱ）求函数f（A）=sin的值域。【知识点】向量的数量积的坐标运算，余弦定理、三角函数的值域【答案解析】（I）；（Ⅱ）解析：解：由m·n=0得，由余弦定理得，又因为B为三角形内角，所以；（Ⅱ）由（I）得，所以，则所求函数的值域为.【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用，在三角函数给定区间求值域问题，通常先由所给角的范围得辅角范围，再利用三角函数的单调性确定值域.【江苏盐城中学高二期末·】16（文科学生做）在中，，，设.（1）当时，求的值；（2）若，求的值.【知识点】向量的数量积；向量的数量积运算.【答案解析】（1）-36（2）解析：解：（1）当时，，所以，…………3分.…………7分（2）因为，…………12分，解得.…………14分【思路点拨】（1）当时，，利用向量的数量积公式计算即可；（2）先计算出，然后解方程即可.【江苏盐城中学高二期末·】（文科学生做）已知平面向量满足，，，则向量夹角的余弦值为▲．【知识点】数量积表示两个向量的夹角．【答案解析】解析：解：设向量的夹角为；因为，平方变形得：，解得：，所以.故答案为：.【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可.【黑龙江哈六中高一期末·】11．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【知识点】数量积表示两个向量的夹角【答案解析】D解析：解：，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，

当OA与圆相切时对应的位置是OA与OB所成的角最大和最小的位置

OC与x轴所成的角为；与切线所成的为

所以两个向量所成的最小值为；最大值为.

故选D【思路点拨】利用CA是常数，判断出A的轨迹为圆，作出A的轨迹；数形结合求出两个向量的夹角范围．【甘肃兰州一中高一期末考试·】18.(本小题8分)已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）⑴若||，且，求的坐标；⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角．【答案解析】⑴⑵解析：解：⑴设由∴或∴...............................4分⑵……（※）代入（※）中,...............................8分【思路点拨】（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于，待定系数法求出的坐标．（2）由与垂直，数量积等于0，求出夹角的余弦值，再利用夹角的范围，求出此角的大小．【甘肃兰州一中高一期末考试·】15.在边长为1的正中，设,则=___________；【知识点】向量的加法；向量数量积的运算.【答案解析】解析：解：∵∴D为BC的中点，

∴，∵，

∴，,

故答案为．【思路点拨】根据，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得结果．【甘肃兰州一中高一期末考试·】13．已知向量的夹角为，；【知识点】向量加减法的应用；数量积表示两个向量的夹角．【答案解析】解析：解：因为向量的夹角为，所以，则，同理，故.故答案为.【思路点拨】由条件求得利用两个向量的数量积的定义求得的值，再求得以及的值，即可得到

的值【甘肃兰州一中高一期末考试·】11.设向量、满足：，，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的范围是（）【知识点】数量积表示两个向量的夹角【答案解析】B解析：解：，

∴．

∴．∴．设得：，则∴，．

∴当时，与的夹角为．

∴的取值范围是．故选B.【思路点拨】欲求实数的取值范围，先根据条件，利用向量积的运算求出的值，由于夹角为钝角，所以计算得到的值是负值，最后解出此不等式即可得到实数的取值范围．【甘肃兰州一中高一期末考试·】5．在△ABC中，已知的值为（） A．－2 B．2 C．±4 D．±2【知识点】向量的数量积公式；向量的模的运算；三角形面积公式.【答案解析】D解析：解：因为设与的夹角为，所以即，故，则.【思路点拨】先利用三角形面积公式计算出，再用平方关系得到，最后利用向量的数量积公式可得结果.【甘肃兰州一中高一期末考试·】3.已知则向量在方向上的投影为（）A.B.C.D.【知识点】向量的投影;平面向量数量积的含义．【答案解析】A解析：解：根据投影的定义，

可得向量在方向上的投影是：,故选A．【思路点拨】根据投影的定义应用变形公式求解．【福建南安一中高一期末·】15.△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，其中分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若，则的最小值为__________________【知识点】向量的数量积计算公式，三角形面积公式，基本不等式求最值【答案解析】18解析：解：由向量的数量积公式得，得，所以，则x+y=1－=，所以，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为18.【思路点拨】利用向量的数量积和三角形面积计算公式得出x+y为定值，即出现了利用“1”的代换凑出基本不等式的题型特征，再求最值.【文·吉林一中高二期末·】13.已知两个非零向量a与b，定义a⊗b＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则a⊗b＝________．【知识点】新定义；数量积表示两个向量的夹角．【答案解析】6解析：解：a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，a⊗b＝5×2×＝6.【思路点拨】由条件求得

a＝(－3，4)，b＝(0，2)，可得|a|和|b|的值，从而求得cosθ的值，可得sinθ

的值，再由a⊗b＝|a||b|sinθ，运算求得结果．【理·浙江温州十校期末联考·】8．若的外接圆的圆心为，半径为，若，且，则等于（▲）A．B．C．D．【知识点】向量在几何中的应用；向量的数量积；向量垂直的充要条件.【答案解析】C解析：解：∵，

∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图

∴AB⊥AC．

故∠ACB=．

则故选C．【思路点拨】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．【吉林一中高一期末·】19.设向量满足及，（Ⅰ）求夹角的大小；（Ⅱ）求的值．【知识点】向量的数量积公式；向量的模的运算.【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：解：(Ⅰ)设与夹角为，，而，∴，即又，∴所成与夹角为.(Ⅱ)∵所以.【思路点拨】（1）借助于已知条件，把平方可得，再利用向量的数量积公式即可；（2）利用已知条件求的算术平均数即可.【吉林一中高一期末·】17.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【知识点】平面向量数量积的运算．两角和的正切公式.【答案解析】（1）（2）7解析：解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【思路点拨】（1）直接利用向量数量积的公式即可；（2）由已知条件把转化，再利用两角和的正切公式得到结果.【吉林一中高一期末·】13.在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．【知识点】向量在几何中的应用．【答案解析】北偏西30°解析：解：如图，设渡船速度为，水流速度为，则船实际垂直过江的速度为，由题意知，||=12.5，||=25，∵四边形OADB为平行四边形，∴||=||，又∵OD⊥BD，∴在Rt△OBD中，∠BOD=30°，则航向为北偏西30°．故答案为：北偏西30°【思路点拨】根据题意分别用向量表示船速、水流速度，由向量加法的四边形法则画出图形，根据条件在直角三角形中求出船航行的角度．【典型总结】本题考查了向量的加法几何意义的实际应用，即用向量来表示题中的矢量，根据向量的知识进行求解．【吉林一中高一期末·】7.在正三角形中,,是上一点,且,则 （）A． B． C． D．【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】A解析：解：如图所示，∵，，==．∴===×=．故选A．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算即可得出．【吉林一中高一期末·】4.设向量,m是向量a在向量b向上的投影,则m的最大值是 （）A． B．4(c)2 D．3【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【答案解析】C解析：解：∵向量=（sinθ+cosθ+1，1）=（2sin（θ+）+1，1），=（1，1），∴=2sin（θ+）+2．由题意可得m=||•cos＜，＞=||•=．再由θ∈[，]，可得θ+∈[，]，sin（θ+）∈[，1]，故m的最大值为=2，故选C.【思路点拨】由条件求得=2sin（θ+）+2．由题意可得m=||•cos＜，＞=．再由θ∈[，]，利用正弦