2025高考数学一轮复习：空间向量及空间位置关系

2025高考数学一轮复习-7.5-空间向量及空间位置关系

课程标准

1.空间直角坐标系

(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标

系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.

(2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点

间的距离公式.

2.空间向量及其运算

(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.

(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.

3.向量基本定理及坐标表示

(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示.

(4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

知识梳理•思维激活

【必备知识】精归纳

1.空间向量有关概念

⑴单位向量：模为L的向量.

(2)共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线旦相乎行或重合,

那么这些向量叫做共线向量或平行向量.

(3)共面向量：平行于同一个平面的向量.

团点睛(1)0与任意向量平行.

(2)空间中任意两个向量是共面向量，任意三个向量不一定是共面向量.

2.空间向量有关定理

(1)共线向量定理：对空间中任意两个向量«,以厚0),a//b的充要条件是存在实

数2，使"二>.

(2)共面向量定理：如果两个向量«,b不共线，那么向量夕与向量a,b共面的

充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向

量夕，存在唯一的有序实数组(1,y,z),使"=X”+助+zc.，4叫做空间

的一个基底.

3.空间向量有关运算

设a=,42,的］,/>=(Z)i,bi,bi),

⑴坐标运算：贝Ua+b=3+A,>+陵，ab+b)；

a-b=(ai-bi,血-历，硝-M；

(2)数量积运算：ab-a\b\+a2b2+a3b3-1all句cos(a,b).

团点睛向量”在向量〃上的投影向量设为向量c,向量c与向量万共线£=㈤cos

储K.

4.空间向量有关公式

⑴空间两点间距离公式

已知P1Q1，6,Zl]fp2(x2,”「2]，则

-\/晨一―+伍-口+卜-zl.

IP1P2I

⑵空间两点的中点公式

X1+X2

x=

2

_yi+y2

y__F

设点P(x,y,z)为P1(X1,yi,Zi),P2(x2,/,Z2)的中点，则

zi+Z2

z=-

12

(3)空间向量共线与垂直公式

a=(xi,yi,zi),b=(x2,yi,zi),其中b丰0,

贝Ua_Lb=irb=OQXIM+y\y2+Z1Z2=0.

a//b=a=7A=xi=2x2,y\-如2,zi=上2(丸@R).

(4)空间向量模与夹角公式

若a=Qi,yi,zi),=(X2,y2,zi),

贝30=苗«+yl+4；

aljX1X2+yiy2+z\Z2

常用结论

1.对空间任意一点0,若三点P,A,B满足期;人理oOP=xOk+y®（x

+y=1）=P,力，5三点共线.

2.证明空间四点共面的方法

对空间任意一点。，若四点。，M,4,5满足=mMk+a稔=办-xOM

+yOk+z®(x+y+z=1)<^>P,M,A,B四点共面.

基础小题固根基

教材改编结论应用易错易混

1,24,53,6

1.（教材变式）如图所示，在平行六面体43czM出。Qi中，M为小G与BQi的

交点•若加=a,At）=b.AA^c,则下列向量中与5次相等的向量是（）

a+-b+cB-2a+-b+c

422

C--a--b+cD-2a--b+c

222

【解析】选A.Mf=B2+AAI+A\M

-a+c+；(AiBi+A1D1)

-a+c+-(“+〃)=--a+-b+c.

2'722

2.（教材提升）如图所示，已知空间四边形43CQ的每条边和对角线长都为a,

点E/,G分别是45.ADQC的中点，则下列向量的数量积等于〃的是（）

A.2B1•就B.2AbBt)

C.2F&-ClD.2砂建

【解析】选B.2曲

二2阂||Zt|cos120°=-a2,

2Zt)Bt)=2|J2)\\Bt)|cos60°=a2,

2F&-Cl=2lF&l-\C1\COS180°

=2x|Xqx[1]=-a2,

2EP=Bt)=axaxcos120°=--.

2

3.(向量运算错误)对于任意空间向量a,b,c,下列说法正确的是()

A.若allb旦bHci贝|a〃c

B.[=ab+ac

C.若ab=ac,且a丰0,则〃=c

D.(ab)c=a(bc)

【解析】选B.若b=0,则由a//b且8〃c,不能得出“〃c,A错；

由数量积对向量加法的分配律知B正确；

若ab-ac,则a(b-c)=0,当c)时就成立，不一定有6=c,C错；

9⑹c是与c平行的向量，a(be)是与°平行的向量，它们不一定相等，D错.

4.(结论1)已知空间三点4(-1,1,2),3(0,3,5),。(1,5,4-用在一条直

线上，则实数上的值是()

A.4B.2C.-2D.-4

【解析】选D.因为空间三点4(-1,1,2),5(0,3,5),。(1,5,4-用在一条

直线上，所以油=口，2,3〕，次=(2,4,2-0,

故就？=2处.所以k=-4.

5.(结论2)在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是()

A.-29-防-OtJ

B.gJg+J仍+-Ot

532

C.就++Mt=0

D.OM+通+仍=0

【解析】选C.根据向量共面定理，

-xDk+yO^+zOt^，若4,B,C不共线，

且4,5,C,M共面，则其充要条件是x+_y+z=l,

由此可得A,B,D不正确；

选项c：m二-讯-就,所以M,A,B,C四点共面.

6.(漏掉同向共线)已知向量a=(-2,1,4),Z>=(-4,2,。的夹角为锐角,则

实数/的取值范围为（）

A.（8,+oo）B.I2J

f5］f5J

C.I2jD.I2JU（8,+oo）

【解析】选D.夹角为锐角，则“力=8+2+4/>0，得A-；，

-214

当“〃、时，---=-=，彳导，=8,

_42t

所以t的取值范围为［-1qU（8,+8）.

核心题型•分类突破

【题型一】空间向量的线性运算

［典例1K1X多选题）（2022•保定模拟）如图所示，M是四面体。43。的棱的中

点，点N在线段0M上，点夕在线段4N上，且4P=3ZW,讯=1Ok，设色

=a,◎=b,Ot=c,则下列等式成立的是（）

A.6M--b--c

22

B.HV=1b+-c-a

33

C.XP=-b-^c-^a

444

=-a+

【解析】选BD.根据向量的加减法及数乘运算法则：

皿二;［循+㈤=1〃+;c,故A选项错误；

??111

秋=At)+=At)+—OM-At)+—x—(循+OtJ)=b+c-a,

33233

故B选项正确；

JP-3=3(1b+-c-a)=-3a+-b+-c,故C选项错误；

7

4433444「人用k,

OP=Ok+JP="+(-3a)+c=lab+-c,故D选项正确.

4744444

(2)(2023・昆明模拟)已知空间向量a=(1,2,3),6=(3,-1,2),c=(-1,0,

1)，贝Ua-〃+2c=.

【解析】因为«=(1,2,3),Z>=(3,-1,2),c=(-1,0,1),所以a-b+2c

=(1,2,3)-(3,-1,2)+2(-1,0,1)=(-4,3,3).

答案：(-4,3,3)

方法提炼

空间向量线性运算的解题策略

1.用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键.

2.将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.利用三角形法则、平

行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来.

3.空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算.

对点训练

1.（2023•日照模拟）如图，在平行六面体中，石为41G的中点，

）,则（）

若璇-xAAx+y"+zAi

।11

AA.X=1.y=，Z=

22

11

B.A:=1,y=-/z二一

22

C.x=1,y=l,z=1

2

n1i1

D.x=--,y=l,z=-

【解析】选B.由题意得,BE=BB,+B7A|+A'E=AAi-AB-b|(A^J+ATB)

所以

=AAj-AB+-乙AB+-乙AD=AA,--乙AB+-乙AD,乙乙

2.(2022•保定模拟)如图，在四面体OABC中，m=a,=b,Ot=c,且

H二;弦，波二;反？,则砂=（）

3B

A5+1c-1+-

-3444

13

C.IQ*D.--a+~b+-

344344

【解析】选D.连接。/，因为呼=1比，

4

所以B=仍+BP=◎+1fft=3+1(Ot-)=-b+-c,

4444

又班=；El=1a,所以砂=OP-=_；a+：'+；c

【加练备选】

(2022•宁波模拟)在平行六面体/BCZMiBiGA中刀为的中点,F为BBi

的中点，助=a,IP=b,lb=c,则说=()

,43,4入4

A.~a--b-cB.-a-b--c

3233

「42,4「34

C.a-b-cD.a-bt-c

33323

【解析】选C.设刊二nt,越=n,

D\Ec,

/^D^F7C

贝U曲=a=m+^n+c,XP=b=n+m

2

所以n=b-2a=m+

2

所以wi二;a

【题型二】共线、共面向量定理及应用

[典例2]⑴金榜原创易错对对碰

①对于空间中的四点4,B,C,P,若力+：衣，则乙5,C三点

OO

()

A.不共面B.共面

C.共线D.不共线

②对于空间中的四点4,B,C,P,若办=:衣+：充，则乙4,5，。四

OO

点()

A.不共面B.共面

C.共线D.不共线

【解析】①选C.因为向量起点相同，系数和为1,所以。，5,C三点共线.

②选B.由共面向量定理可得.

(2)与向量〃=(1,-1,2)反向的单位向量的坐标为()

A.-？］，-，B.(个，一个个)

663663

ri_iI

C.(-1,1,-2)D.12727J

【解析】选A.因为㈤=；1+1+4=\/6,

［XX22

所以与向量〃反向的单位向量为-二二「石‘忑’一而

一题多变

［变式1］本例⑵中“反向”改为“同向”.

【解析】选B.与向量〃同向的单位向量为

A_/XJ_2一盗盗盗、

㈤一(比，-«,m)一忆—不，§),

[变式2](多选题)本例⑵中“反向”改为洪线”.

【解析】选AB.与向量〃共线的单位向量为

n_./XX2、_(巾^^6^6\)6\16

士㈤一±(&，一&，加)一(4，一不公威(-不T'一了).

(3)已知向量“=G,-1,2]〃=3,-2)°=[6,2,力，若a,b,

三向量共面，则实娄姒=()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【解析】选B.因为a,b,c三向量共面,

所以存在实数加，“，使得c=ma+nb,

即[6,2,力=(3m,-m-2“]

5

r,m=~

3m-n=62

所以3“-加=2，解得”=|,

2m-2n=1丸一2

方法提炼

1.共线、共面向量定理的应用

(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线；

(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行，四点共面；

(3)根据向量共线和向量共面求参数取值；

(4)与a同向的单位向量为:，反向的单位向量为共线的单位向量为

|a|\a\\a\

2.证明四点P,M,Z,3共面的方法

(1)MP=xMk+yM^；

⑵对空间任意一点。，办二皿+xMk+yM^；

(3)对空间任意一点。，

OP=xOM+yOk+z®(x+y+z=1)；

(4户身〃处或陶//M^或闻〃春f.

对点训练

1.(2023杭州模拟)已知向量a=1-1,1,,-=U,。,2〕，且左a+方与°

-2〃互相平行，则左二()

A.B.-C.-D.

4552

【解析】选Dka+b=(-k+l,k,T),

«-26=(-3,1,-4),

-k+1k2..i

则-----=~=——,解得k=--.

-31-42

2.(2022•保定模拟)若｛a,b,c｝构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()

A.a-b,2,a-c,b-c

B.b+2c,a-b,a-2,b-2c

C.a+2b,2a-c,2b+c

D.a+2b+3c,a+b,a+c

【解析】选B.对于A,设火九使得

a-b--4+4"-力，则

a-b=2xa+yb-1+X)c,

2,x=1

即V=T,该方程组无解，故A错误；

一卜+同=0

对于B,设x,y,使得

b+2,c=+)("-2b-2a,

贝U5+2C=Q+@“-Q+2ab-2yc,

x+y=O

x=1

即「,解得

Q+2JO=1,故B正确；

b=-1

-2y=2

对于c,设x,y,使得

a+2b=J?"-c]+y(2Z>+力,

lx-1

贝Ua+2〃=2xa+2yb+1-Wc,艮/2y=2

y-x=0

该方程组无解，故C错误;

对于D,设x,y,使得

a+2b+3c=+，〕+yC0+1,

x+y=l

贝Ua+26+3c=Q+@a+x5+yc,即，x=2,

y=3

该方程组无解，故D错误.

3.如图，已知四棱柱43ax4BC1Q1的底面ZiHiGQi为平行四边形，E为棱

45的中点，油=1期，酢=2G4,4©与平面EFG交于点则%=

5ACi

【解析】由题可设团^=AAC.(O<A<1),

因为4G=+At)+AAX

a

=2Z&+3亦+2就,

2

a

所=2AZ&+3UP+1市,

因为G四点共面，

所以22+3%+|7=1,解得.

生率,—

,13

【题型三】空间向量的数量积及应用

角度1求空间向量数量积

［典例3］（1）（2022・潍坊模拟）已知i,j,k为标准正交基底，“=i+4+3A,则“在

i上的投影向量为（）

A.iB.-iC.V14/D.-/14i

【解析】选A.因为a=i+2j+3k,i,j,k为标准正交基底，所以a在i上的投

影向量为同COSa,i7；=i.

\i\

（2）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E,F分别是BC,

AD的中点，则助-JP的值为（）

A.1B.-C.-D.必

244

【解析】选C.此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1,

因为点E,少分别是3。,AD的中点，

所以助加+；衣，

所以衣.赤二［益+2可.办

=1Ap+1

22

JLl§l•mdcos60。+1出?I,团cos60°

22

」X1X1+1X1X1」

2222224'

D

F.

B

方法提炼

求空间向量的数量积的方法

(1)若给出的条件不适合建系要用基底进行运算；

(2)若给定条件下适合建立空间直角坐标系，则用坐标进行运算.

团提醒运用定义求数量积时一定要根据正确方向判定夹角的大小.

角度2求长度

［典例4］(1)(2023•郑州模拟)如图，在一个60。的二面角的棱上有两点4,5,线段

AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若4B二也,

AC=1,BD=2,贝UCD=.

【解析】由已知可得6=C1+Bt),

所以El=值+荔+曲

-+

因为线段AC,5Q均与棱43垂直，所以6,屈±Bt),

因为二面角的大小为60°,所以〈就成)〉=60°,

所以EI，卜+翦+协［2=yJc22+^2+Bt)2+2C2Bt),

[12+（也）2+22+2*1义2义

因为Z8=A/2,4C=1,5Q=2,所以|CZ）I=

(2)如图，平行六面体45CD43GQ1的底面45。。是边长为1的正方形，且/

AxAD=ZAiAB=60°,AAI=2,则线段AQ的长为.

【解析】因为“—AB+lit'+CCr=AB+AD+AA,

所以n।'=$启加二八1；+AD*+AA+2AB,4»\D+2AB,AA+2AD，AA：

?5J

=IABl+lM)l+IAA(+2I疝1-IAhlCOS900+2IABl-IAArIcos

60。+21ADI"\\匕0560。=1+1+4+2乂k2、1+2、卜2*910,所以4。1=71^

答案:VTG

方法提炼

利用数量积求两点间的距离的解题策略

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，基本思路

是：

(1)先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式;

(2)求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模；

(3)利用公式|“|=yj(ra求解即可.

角度3夹角问题

[典例5KD(2022・烟台模拟)已知,3,1]，公〔-2,乙力，若“与〃

的夹角为锐角，则实数t的取值范围为.

【解析】由题意得ab>0且a,不共线，

[[-21

-2x5+3/+15>1>0

所以，2,，解得比且及

故实数，的取值范围为〔15，3

[522]

答案：115J

一题多变

[变式]将本例(1)中％与b的夹角为锐角”改为“与b的夹角为钝角1则实数t

的取值范围是.

【解析】由题意得ab<Q且“，万不共线，

(2

-2x5+3，+(-1)xl<0

所以，2/，解得虐j且及

-1JJ

53

故实数’的取值范围为(-8,)U(-|,).

答案：(-8,)U(-|,||)

⑵如图所示在棱长为2的正方体4BCQ//CQ中上是棱CG的中点法

=1?力，若异面直线AE和4肉所成角的余弦值为，贝以的值为

【解析】以D为原点SXDA.DC,DD1所在直线分别为％,九z轴，建立空间

直角坐标系.

正方体的棱长为2厕小(2,0,2)Qi(0,0,2),夙0,2,1)M(2,0,0).所以<一=(0,2,-1),

AF=A计=A'\+AAD=(0,0,-2)+A(-2,0,0H-2A,0,-2),

,畸Fl森

所以加墟和点禽I=|飞由i/做I尸义所以^

2VA2+1-V52V5VA2+110

解得力=1或4-1(舍去).

生室工

口木，3

方法提炼

利用数量积求直线夹角或余弦值的方法

J网也应&茅不礼而画讦讪无可函所

1向崎

十特化一卡加汽城所嗨珀的X题转化为台收支的问:<

111d](二~~1

皤T/刖敖/机术与贬值或>>的大小]

I、*而&<助收的加为W觥或八角，也川向

定站米一¥的夹角求生弦侦W将余拄侦加1丸可做.

■——>灌而求《|的大小

角度4解决垂直问题

[典例6K多选题X2023•孝感模拟)如图，在长方体45cLM出。“中，点E/

分别在棱on,班1上，且EFL4E若48=2,AD=1,441=3,贝口囱方的值可

能为（）

C___B

i'ZfI

J?L^H—|尸

XT力ii

Di4

A.^3B,2C.A/5D.«

【解析】选BCD.以点Ci为坐标原点，CiDi,CiBi,CC所在直线分别为,

z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cixyz.

产

r'fjlI

<L-Xi，）

1^1I,I

I\Ty

丁li

所以,1,0〕.设/2,0,m]，从0,1,“J,

0<m<3,0<n<3,贝U4E=（P，-1,mj,

EP=[-2,1,n-m]

因为反_L4近,所以4£-EP=0,

即-1+mG7-加〕=0,化简得mn=1+m2.

当加二。时，显然不符合题意.

故〃二[+论2,当且仅当冽=1时，等号成立.

m

故囱方的最小值为2.

所以2<5iF<3,对照四个选项，可选BCD.

方法提嫉

利用数量积解决垂直问题的解题策略

证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量

表示为几个已知向量a,b,c的线性形式，然后利用数量积为0说明两直线的

方向向量垂直，进而转化为直线垂直.

资对点训第

1.已知向量”