高考数学一轮复习题型与专项训练：三角恒等变换题型战法

第四章三角函数与解三角形

4.2.1三角恒等变换(题型战法)

知识梳理

一和与差公式

1.两角和与差的余弦：

Ca+门cos(cr+/?)=cosacosj3-sinasinP；

Ca-pzcos(a-P)-cosacos/3+smasin0.

2.两角和与差的正弦

Sa+B：sin(a+/)=sinacos°+cosasin/3；

Sa-ptsin(a-J3)=sinacos°-cosasin/.

3.两角和与差的正切

/c、tan。+tan£

Ta+B：tan(^+yff)=--------------土;

1-tanor-tanp

c、tana-tan3

Ta-/i：tanz(a-/7)=---------------，

1+tanof-tanp

二倍角与半角公式

1.倍角公式:

S2a:sin2a=2sinacosa

22

C2a:cos2a=cosa-sina

2tana

:tan2a=

1-tan2a

需要注意的是，因为si/a+cos2a=1，所以C2a也可以改写为:

cos2a=2cos2cif-1=l-2sin2a

2.半角公式:

Sq：sin/=±1-C0S6Z

2

「a/1+C0S6Z

C:cos—=±J--------

?2V2

aJ-cosa

T:tan—=±J--------

y2vl+cos<z

三降嘉升角公式

.sin2a

sin6rcos6r=-----；

2

1+cos2a

cos2a=--------;

2

.1-cos2a

sin2a=--------.

2

四辅助角公式

asin%+bcosx=yJa2+b2sin(1+°),1tan0=一

tzsinx+bcosx=yJa2+b2sin(x-^)Jtan^=—

题型战法

题型战法一和与差公式的应用

典例1.已知cos(K-a]=sintz,则tana=()

A."B.4C.

D.6

变式1-1.若sina=',ae(g,乃)，则sin(a-$=()

.3^-40373+4

1010

C3-D3+

1010

变式1-2.sin75°=()

1+6V6-A/2

A.-------D.------------

24

•\/6+V2DA/3+A/2

C.

44

变式1-3.若tana,3尸是方程2f+3x-7=0两个实数根，贝l」tan(a+£)=()

A.--Bc.--D

3-12-I

若tana=¥，则tan一“

变式1-4.=()

A.一BB.0c.BD.—

535

题型战法二和与差公式的逆用

典例2.s;in5°cos250+sin25°cos5°=().

A.B.--C.ID,6

2222

变式2-1.cos66cos6+sin66-sin6=()

A.1B.-c.-D.-

356

变式2-2.cos20sin65—sin20cos65二()

B.受

A.1D.--

222

变式2-3.sin10°cos500+sin100。cos40。二=()

旦n^/2+V6「A

A./3D.1

2422

变式2-4.化简8$。+>)8$(尤-丫)-5皿0+〉)$由0->0的结果为()

A.sin2%尤B.cos2x

C.-cos2xD.—cos2y

题型战法三巧变角

典例3.已知〃£已兀），且sin[a+a）=§,贝ljcosa二

=()

、272-742B4夜-屈「2A/2+V42n2近-A/21

1010-1010

3

变式3-1.已知。、夕为锐角，且sin"=（,cos(cr+月)=则sina的值为（）

_48

A.—B.—C

6565~65

变式已知。，_5

3-2.a/e(o,sin(«-^)=|,0

cos=13?贝(Jsina=()

_33c63

A.—B.—CD.-----

6565~6565

变式33.已知sint_(z)=_，cos(j+£)=-

,则cos((z+0=()

33

A.--B.--CD.—

65656565

71一3一

变式3-4.若sin2a=sin(6-=且are_4,7Z_,Be兀,一冗9则1+£的值是（)

5v710_2J

［、-77cT9万

A.—B.?C工或工D或彳

4444-T

题型战法四倍角公式的应用

典例4.已知8日噜，且。是第二象限角,则S3（

)

334D-4

A.-B.--C

557

变式若则加£=(

4-1.Lsnra=2,1)

1+sin2a

B一或一D

A.-1-4C.1g-1

已知戊£(0,]],2sin2a=cos2cr+1,则sina=(

变式4-2.)

B.—亚c.显D,正

A.—

5535

27r

变式4-3.已知sin(—+cr)=,则cos(《--2a)=()

63

2c1△2c1

A.—B--3c-D-i

3J3

已矢口3夕=一半，且Oegj，贝han26=(

变式4-4.).

3c4-3c4

A.——B.——C.-D.-

4343

题型战法五降塞升角公式的应用

典例5.sin15cos15=()

C.显D.一叵

A.-B.-v

4444

变式5-1.sin?

A.B.C.-D.-

4444

变式5-2.函数/(x)=cos2、+［的最小正周期为

,71c

A.—B."C.2万D.4万

2

a7i

变式5-3.若sin、=则cos?—+—

24

AB.C.

-§2

变式5-4.已知sin2a=；It

,则cos?CCH----）

4

1

AB.

-13

L也

cD.

-1213

题型战法六辅助角公式的应用

典例6.为了得到函数y=2cos2x的图象，只需把函数y=若sin2x+cos2x的图象（）

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

C.向左平移《个单位长度D.向右平移？个单位长度

变式6-1.已知cos（x-3=@,贝Ucosx+cos（x-g）等于（）

633

A.一9B.土拽C.-1D.1

33

变式6-2.函数/（x）=2sinj+2cosj的最小正周期和最大值分别是（）

44

A.4乃和2B.4万和C.和2夜D.81和2

变式6-3.函数，（九）=cosx-sinx在［0,兀］上的单调递减区间是（）

71371371

A.2'Tb-H]c・吟D.

变式6-4.已知函数/(尤)=sinx-COS龙的图象关于直线x=㈤]对称，则tan6»=()

A.1B.-1C.—D.--

22

题型战法七化简求值

cos40°_

典例7.化简：)

cos25°Vl-cos50°

A.&B.272C.y/3D.6-1

Jl+co;230。的结果是(

变式7-1.化简)

A.cos115°B.sin115°C.cos35°D.sin25°

,37V

变式7-2.化简(7r<a<——)的结果为()

卜由*a2

A.ac•aaa

A.sin—B.-sin—C.cos—D.-cos—

2222

l+sin4。一cos4。

变式7-3.化简()

l+sin4。+cos4。

A.cot2aB.tan2a

C.tan2aD.tana

变式7-4.化简3—-2cos20。所得的结果是()

2tan20°

A.-B.JC.-D.2

422

题型战法八三角恒等变换与三角函数的综合应用

典例8.设函数f(x)=2石sinxcosx—2sin2%+1

⑴求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；

⑵求函数/(X)在0,。)上的最大值与最小值及相应的X的值.

变式8-1.已矢口函数/(x)=sin12尤+《J-cos2尤+sin2x,xeR.

(1)求f(x)求函数的最小正周期及对称中心.

⑵求函数y=/(x)在xwo,|值域.

变式8-2.设函数“X)=sinxcosx+JGcos，--—(xeT?).

⑴求函数“X)的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时X的值；

(2)将函数图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，写出

g(x)表达式和单调递增区间.

变式8-3.已矢口函数无)=2sin,sinx+6COS尤).

⑴当时，求〃力的取值范围；

⑵若关于X的方程〃X）=〃Z在区间上恰有两个不同的实数根，求实数切的取值范围.

变式8-4.已知函数〃x）=sin"qj+2cos2等-1（。＞0）的图象的相邻两个对称中心的距离为不

⑴求在5上的单调减区间；

⑵函数y=〃x）在区间［0,向上的值域为；/，求实数加的取值范围.

第四章三角函数与解三角形

4.2.1三角恒等变换（题型战法）

知识梳理

一和与差公式

2.两角和与差的余弦：

Ca+B：cos(a+/?)=cosacos/?-sincrsin(3•

Caf：cos(6Z-P)=cosacos力+sinasin[3.

2.两角和与差的正弦

Sa+s：sin(cr+尸)=sinacos°+cosasin/3；

Sa/：sin(cf-P)-sinacos(3-cosasin尸.

3.两角和与差的正切

/八、tana+tan£

Ta邓:tan(a+^)=-----------------；

1-tan6Z-tanp

/八、tana-tan6

Ta-pztan(cr—0=---------------.

1+tanor-tan/3

二倍角与半角公式

1.倍角公式:

S2a:sin2a=2sinacosa

C2a:cos2a=cos2a-sin2a

2tan。

T2a:tan2a=

1-tan2a

需要注意的是，因为sin2c+cos2c=l，所以。2a也可以改写为:

cos2a=2cos2a—1=1—2sin2a

2.半角公式:

「a/1+cosa

C:cos-=±J----------

f2V2

a/1-cosdz

T:tan—=±J----------

f2v1+coscif

三降塞升角公式

.sinla

sinacosa=--------

2

1+cosla

cos2a=------------

2

.21-cos2a

2

四辅助角公式

〃sin%+bcosx-y/a2+b2sin(%+0),tan^=—

(2sinx+bcosx=\/a2+b2sin(x-,tan^=—

题型战法

题型战法一和与差公式的应用

典例1.已知cos[F-a,

\-sina,贝Ijtana=Q)

A.YB.-Tc-fD<

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两角差的余弦公式化简，然后再化弦为切即可得解.

【详解】

54得，sina=-^-cosa+—sin<z,

解：由sina=cos--6Z

22

所以tana=-----+—tancr，解得tana=-A/3.

22

故选：A.

变式1-1.若sina=',,则sin(a—|o=()

A.山B.亚1

1010

C3—4,\/3D3+

,io,10

【答案】D

【解析】

【分析】

4

先求出cosa=-g,再利用差角的正弦公式求解.

【详解】

n34

解：因为一<a<n,sina=一,所以cosa=

255

.71

所以sin(cr-])=s^nacosJ-cosasin—

3

故选：D.

变式1-2.sin750=()

AI+A/5口V6—A/2

24

CA/6+A/2道+夜

D.

4_一

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦的和角公式即可求解.

【详解】

sin75°=sin(45°+30)=sin45cos30+cos45sin30=巨旦走3足

22224

故选:C

变式1-3.若tana,tan/?是方程2炉+3彳_7=0两个实数根，则tan(a+£)=()

22

C.D.

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由根与系数关系得到两根之和，两根之积，代入正切的和角公式即可.

【详解】

由韦达定理得:tana+tan尸=一万，tana•tan用二--,

3

tana+tan/1

所以tan(a+〃)=2

1-tancr-tan/?1+73

2

故选：A

变式1-4.若tana=*,则tan1]-a|()

A.-立B.0C.立

D

53-T

【答案】D

【解析】

【分析】

由正切两角差的公式直接求解.

【详解】

713

tan----tana

36

兀1+岛《

1I+tan—tana5

3

故选:D

题型战法二和与差公式的逆用

典例2.sin5ocos25o+sin25ocos5°=().

A.-2B.--C.1D."

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用和角正弦公式即可得出结果.

【详解】

根据和角正弦公式，

sin50cos25°+sin25°cos5°=sin(5+25)=sin30=g,

故选：C.

变式2-1.cos66-cos6+sin66-sin6=()

D.

6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】

cos66cos6+sin66sin6=cos(66-6)=cos60=g.

故选：A

变式2-2.cos20sin65—sin20cos65=()

A.|B.立C.也

D._V|

222

【答案】B

【解析】

【分析】

逆用两角差的正弦公式化简，然后再计算.

【详解】

cos20sin65-sin20cos65=sin(65°-20°)=sin45°=^.

故选：B.

变式2-3.sin10°cos50°+sin100°cos40°=()

AV2□V2+^6「^3

A.----D.-----------U.----D.

242~2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.

【详解】

sinl00cos500+sinl00°cos40°=sin10°cos50°+cos10°sin50°=sin60°=—.

2

故选：C

变式2-4.化简cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)的结果为()

A.sin2xxB.cos2尤

C.-cos2xD.一cos2y

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的余弦公式计算可得；

【详解】

解：cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)

=cos[(x+y)+(x-y)]=cos2x

故选：B

题型战法三巧变角

2

,且sin[a+：卜—,则

典例3.已知。6r31cosa=)

,272-74204应-屈„272+7422啦-历

\.--------------D.--------------C.--------------

101010W

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用同角三角函数关系求得cos(a+：J的值，再利用组配角即可求得cosa的值.

【详解】

L.、r,兀、71f3K5K

因为a兀J,所以

7122叵

又sin6Z+-p所以l-sinf+

717171

故cosa=cos6Z+—=cosa十二Icos—+sin|a+—Isin—

44444

问夜202A/2-A/42

=-----x---1—x---=----------

525210

故选：A

35

变式3-1.已知a、月为锐角，J=Lsin^=-,cos(a+£)=-三，则sina的值为()

.63334848

BRC.D.

A.石-石6565

【答案】A

【解析】

【分析】

凑角法,利用正弦的差角公式进行求解.

【详解】

因为a、户为锐角,所以a+Qe(O㈤,

因为cos(a+/?)=-《，所以sin(a+0=12

13

因为sin,=1,所以cos；0=Jl-sii?尸=(,

故sina=sin[(a+£)-力]=sin(«+6)cos/?-cos(a+6)sin?

1245363

=—x—d---x—=一

13513565

故选：A

sin(a—4)=|,cos*,

变式3-2.已知a,/则sina=()

c33-_3363

A.—B.—C.D.

6565~6565

【答案】A

【解析】

【分析】

求出cos(a-0,si”，由凑角法sina=sin[(a-0+川，利用正弦的差角公式进行求

解.

【详解】

因为a、夕为锐角，所以分，

3

因为sin(a_/?)=m,所以cos(&_,)=

故sina=sin[(a-4)+£]=sin(a—力)cos尸+cos(a一4)sin/7

故选：A.

变式3-3.已知sin[i-aJ=—g,cos[z+/?J=m，且aJ,则

cos(a+0=()

A.*B.-史C.史D.臾

65656565

【答案】A

【解析】

【分析】

利用两角和与差的三角函数，由cos(a+»)=cos求解.

【详解】

解：因为昔)，匹卜小

ll,।7T(7C1/-X|T7C1八7171

所以G

24

71-cos工71+£5

又sin——a

5U4113'

=(sin大7112

所以

413，

所以cos(a+0=cos]；+尸

=cos]：+B71

COSaJ+sin[j+/Jsin

4

4531216

=—x——+x——=

51351365,

故选：A

变式3-4.若sin20=，^,sin(6一且。£兀,(3c匹|■万，则。+尸的值

5v3*57101_4」2」

是()

A5万“7冗一5万—7%「5万-9%

A-TB-Tc-彳或彳D-1■或彳

【答案】B

【解析】

【分析】

根据cos(a+0=cos[2a+(/-切，进而根据两角和的余弦公式展开，然后结合同角

三角函数的基本关系求得答案.

【详解】

又丁sin2。=^^,.二2。£—,7i,ae

aG—,7i2a€—,2万

4252

cR----.2c27、

cos2a-—yjl-sin2a————.

又,：BQ匹芳(3-a，「・cos(/3-a)=-Jl-sin?(/3-a)=-,

于是cos(a+4)=cos[2a+(/-a)]=cos22cos(分一a)-sin2asin(4一a)

易得a+匹]不可，则”左丁•

故选：B.

题型战法四倍角公式的应用

典例4.已知cos6=-叵，且。是第二象限角，则sin26=()

10

334

A.—B.--C.—D.

555

【答案】B

【解析】

【分析】

由同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简求解.

【详解】

由题意得sinO=±^,JJJl]sin2，=2sindcosd=-3.

105

故选：B

必「“

变式4-1.若1-21=2,则13n()

1+sinla

A.-1B.-1C.T或-gD.1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式以及弦化切可得出关于tan&的等式，即可解得tan«的值.

【详解】

由已知1+sin2a=1+2sinacosa=(sina+cosajw0,贝ljsina+cosaw0,

1一2sir?acos26z-sin26z(cosa-sina)(cosa+sina)cosa-sina

因为---------二-------------=-----------------------=-----------

J1+sin2al+2sinacosa(cosa+sina)2cosa+sina

_1-tana

=2,解得tancc=——

1+tana

故选：B.

变式4-2.已知a10弓J,2sin2a=cos2cr+1,则sina=()

A.旦B.一如C.BD.平

553

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式得到2sincr=cosa,再根据同角三角函数的基本关系计算可得;

【详解】

解：因为2sin2。=cos2a+1,

所以4sinacose=2cos2a—1+1，即4sinacosa=2cos2a，

因为所以cosa>0、sin«>0,即2sinc=cosa,

又cos2a+sin2e=l，解得sina=正或sina=———（舍去）；

55

故选：A

变式4-3.已知sin(二+a)=-且，贝Ijcos(m-2a)=()

633

A.--B.--C.|D.-

3333

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意可得cos「-24=cos乃-利用诱导公式及二倍角公式计算可得;

【详解】

解：因为sin(二+a)=-3，所以cos-2a\=cos7r-2\—+a

63J(6

71

二-cos2——\-a

6

=-1—2sin2(+«

故选：B

变式44已知cos*—竽，且共生兀1贝I」tan26=().

4

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由sin，=Jl-温。可求sin。,由tan*需可求tan仇再由正切二倍角公式可求

tan20.

【详解】

:cos*-竽，且共生,，

2

・\sin0=A/1-COS0=AI1--=,

V255

4

3,

故选：B.

题型战法五降幕升角公式的应用

典例5.sin15cos15=

C,息

【答案】A

【解析】

【分析】

结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.

【详解】

sin15cos15=—sin30=—x—=—,

224

故选：A.

变式5-1.sin4=

12

A2-石2+73

44

【答案】A

【解析】

【分析】

利用降次公式求得所求表达式的值.

【详解】

।兀、至1

依题意疝2万=%Z2-

sm12-2一2一4

故选：A

【点睛】

本小题主要考查降次公式，属于基础题.

变式5-2.函数/(x)=cos2，+高的最小正周期为

兀

A.-B.万C.2万D.4万

2

【答案】B

【解析】

利用二倍角降幕公式，化简函数的解析式，用最小正周期公式求出最小正周期.

【详解】

/(X)=cos2J11cos+^,最小正周期T=g=",故选B.

【点睛】

本题考查了二倍角的降幕公式、最小正周期公式，考查了运算能力，逆用公式的能

力.

变式5-3.若sintz=；,则+3=

A.12B.141C.-D.0

JN3

【答案】c

【解析】

【分析】

直接利用降嘉公式和诱导公式化简求值.

【详解】

1、2

l+cos,(aH—n)i—1

cos—+—=、21-sin«31.

124J2~—2-—万一耳

故答案为C.

【点睛】

(1)本题主要考查降累公式和诱导公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)

降嘉公式：sin2/=2等,cos2/=i±等，这两个公式要记准，不要记错了.

变式5-4.已知sin2a=；,则cos2/+：)=()

11

A.B.

63

c-1D常

【答案】B

【解析】

【分析】

利用半角公式和诱导公式进行求解.

【详解】

1+cosl2。+]1-1

sin2a=—兀l-sin2a31

3cos26Z+-

2223

故选：B.

题型战法六辅助角公式的应用

典例6.为了得到函数y=2cos2x的图象，只需把函数了=6仙2尤+8$2苫的图象（）

A.向左平移三个单位长度B.向右平移（个单位长度

C.向左平移三个单位长度D.向右平移《个单位长度

OO

【答案】C

【解析】

【分析】

化简y=^Sin2尤+cos2x,再根据三角函数图象平移的方法求解即可

【详解】

y=V3sin2x+cos2x=2—cos2x+--sin2x=2cos2x~~因为y=2cos（2x_：J向左

122JI3.

71

平移?个单位长度得到y=2cos2Y=2cos2%

o7

故选：c

变式6-1.已知cos（x—四）=走，贝!Jcosx+cos（x-g）等于（）

633

A.-空B・±毡C.-1I

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两角差的余弦公式以及辅助角公式即可求解.

【详解】

cosx+cos(x——)=cosx+—cos%+-^-sinx=A/3cosfx--=J3x^-=1,

322I6)3

故选：D

变式6-2.函数“无)=2sinJ+2cosJ的最小正周期和最大值分别是()

44

A.4万和2B.4%和2aC.8万和20D.8万和2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据辅助角公式，可得了(xXzEsing+d再根据正弦函数的性质，即可求出结

果.

【详解】

因为/(x)=2sin：+2cos：=20sing+