江苏省镇江市2024年中考数学模试卷（含解析）

江苏省镇江市东部教育集团2024年中考数学模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知：如图是y=a/+2x-1的图象，那么ax2+2x-1=0的根可能是下列哪幅图中抛物线与直线的交点横坐标（）

2.如图，等腰直角三角板ABC的斜边A3与量角器的直径重合，点。是量角器上60。刻度线的外端点，连接交

A3于点E,则NCEB的度数为（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

3.如图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（）

A.30,28B.26,26C.31,30D.26,22

4.已知二次函数y=x2-4x+机的图象与x轴交于A、3两点,且点A的坐标为（1,0）,则线段45的长为（）

A.1B.2C.3D.4

5.如图，已知二次函数y=ax?+bx+c（a^O）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=O,②a+b+c>0,③a>b,

@4ac-b2<0；其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在口ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG±AE,垂足为

G,若BG=4A/L则4CEF的面积是（）

A.272B.0C.372D・472

7.函数丫=匹1中自变量x的取值范围是（）

x-1

A.xN-l且"1B.x>-lC.xWlD.-1<X<1

8.如图，在平面直角坐标系中，0P的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y=x的图象被。P截得的弦AB

的长为40,则a的值是（）

A.4B.3+72C.3^/2D.3+73

9.如图是二次函数丁=以2+6%+(?的图象，有下面四个结论：①aZ?c>0；@a-b+c>0；③2a+3b>0；

10.已知圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,要使这两圆没有公共点，那么d的值可以取()

A.11；B.6；C.3；D.1.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，在APAB中，PA=PB,M、N、K分别是PA,PB,AB上的点，且AM=BK,BN=AK.若NMKN=40。,

则NP的度数为—一

12.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线二，「上两点，该抛物线的顶点坐标是.

13.如图，在△ABC中，AB=AC,AH1BC,垂足为点H,如果AH=BC,那么sin/BAC的值是.

14.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈,周三尺，有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶，问葛藤之长

几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺,有葛藤自点A处

缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺.

15.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,AB=CD且AB与CD不平行，AD=2,/BCD=60。，对角线CA平分NBCD,

E,F分别是底边AD,BC的中点，连接EF,点P是EF上的任意一点，连接PA,PB,则PA+PB的最小值为一

16.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC±,DE〃AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC的长是

17.如图，菱形ABCD中，AB=4,ZC=60°,菱形ABCD在直线1上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60。

叫一次操作，则经过6次这样的操作菱形中心（对角线的交点）O所经过的路径总长为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆.

如图所示，已知：。1是△ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，ADLIC于点D.

（1）试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论.

DEJTIn

（2）设AB=AC=5,BC=6,如果△DIE和△AEF的面积之比等于m,—=n,试作出分别以一，一为两根且二

EFnm

次项系数为6的一个一元二次方程.

D.C

19.（5分）如图，在图中求作。P,使。P满足以线段MN为弦且圆心P到/AOB两边的距离相等.（要求：尺规作

图,不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）

20.（8分）如图，在△ABC中，ZABC=90°,BD为AC边上的中线.

（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C作直线CE,使CELBC于点C,交BD的延长

线于点E,连接AE；

（2）求证：四边形ABCE是矩形.

21.（10分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商

品和5件B种商品所得利润为1100元.求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量

大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利

润不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？

22.（10分）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国

家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区.已知2件甲种商品与

3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件?

23.（12分）在口ABCD中，过点D作DELAB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连接AF,BF.

（1）求证：四边形DEBF是矩形;

(2)若AF平分NDAB,AE=3,BF=4,求^ABCD的面积.

24.（14分）某公司销售A,B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

AB

进价（万元/套）1.51.2

售价（万元/套）1.81.4

该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元.

（1）该公司计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B

种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设

备购进数量至多减少多少套？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

由原抛物线与x轴的交点位于y轴的两端，可排除A、O选项；

B、方程。/+2工-1=0有两个不等实根，且负根的绝对值大于正根的绝对值，5不符合题意；

C、抛物线尸处2与直线y=-2x+l的交点，即交点的横坐标为方程依2+2*-1=0的根，C符合题意.此题得解.

【详解】

,抛物线y=ax2+2x-1与x轴的交点位于y轴的两端，

.••4、。选项不符合题意；

5、•.•方程。好+2》-1=0有两个不等实根，且负根的绝对值大于正根的绝对值，

.•.5选项不符合题意；

C、图中交点的横坐标为方程ax2+2x-1=0的根(抛物线尸如2与直线片-2x+l的交点)，

选项符合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点以及二次函数的图象与位置变化，逐一分析四个选项中的图形是解题的关键.

2、D

【解析】

解：连接OD

VZAOD=60°,

/.ACD=30°.

VZCEB是AACE的外角，

△CEB=ZACD+ZCAO=30°+45°=75°

故选：D

3、B.

【解析】

试题分析：由图可知，把7个数据从小到大排列为22,22,23,1,28,30,31,中位数是第4位数，第4位是1,所

以中位数是1.平均数是(22x2+23+1+28+30+31)+7=1,所以平均数是1.故选B.

考点：中位数；加权平均数.

4、B

【解析】

先将点4(1,0)代入/=丫2-4x+»i,求出m的值，将点4(1,0)代入7=始-4x+»i,得到处+刈=4,XI*X2—3,即可解

答

【详解】

将点A(l,0)代入y=*2-4x+7n,

得到m—3,

所以y=--4x+3,与x轴交于两点，

设A（X1,Jl）,b（X2,J2）

Ax2-4x+3=0有两个不等的实数根，

；.X1+X2=4,X1・X2=3,

^.AB—\XI-X2\—J（占+丁）2+4w=2；

故选5.

【点睛】

此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.

5、C

【解析】

根据图像可得：a<0,b<0,c=0,即abc=O,则①正确；

当x=l时,y<0,即a+b+cvO,则②错误；

根据对称轴可得：一_=—,,则b=3a,根据a<0,b<0可得：a>b；则③正确；

根据函数与x轴有两个交点可得：--4ac>0,则④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a,b,c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a,b,c之间的关系是解

题关键.

6、A

【解析】

解：VAEWZBAD,

ZDAE=ZBAE；

又；四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

:.ZBEA=ZDAE=ZBAE,

AB=BE=6,

VBG±AE,垂足为G,

AAE=2AG.

在R3ABG中，VZAGB=90°,AB=6,BG=4在，

：•AG=J—5G2=2,

.AE=2AG=4；

•••SAABE=—AE・BG=-x4x4A/2=80.

22

VBE=6,BC=AD=9,

ACE=BC-BE=9-6=3,

Z.BE：CE=6：3=2：1,

VAB/7FC,

Z.AABE^AFCE,

•••SAABE:SACEF=（BE：CE）2=4：1,则SACEF=一SAABE=2g.

4

故选A.

【点睛】

本题考查L相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题

关键.

7、A

【解析】

分析：根据分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条

件都满足的公共部分.

%+1>0

详解：根据题意得到：，C，

x—lwO

解得X>-1且X#,

故选A.

点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能

使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于

0混淆.

8、B

【解析】

试题解析：作PCLx轴于C,交AB于D,作PELAB于E,连结PB,如图,

；G>P的圆心坐标是（3,a）,

.,.OC=3,PC=a,

把x=3代入y=x得y=3,

，D点坐标为（3,3）,

；.CD=3,

.,.△OCD为等腰直角三角形，

•••△PED也为等腰直角三角形，

VPE1AB,

1111

AE=BE=-AB=5x4后=20,

在RtAPBE中，PB=3,

APE=732-（2A/2）2=1，

/.PD=y/2PE=y[2，

/.a=3+y/2.

故选B.

考点：1.垂径定理；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.勾股定理.

9、D

【解析】

b

根据抛物线开口方向得到a>0,根据对称轴x=-—>0得到b<0,根据抛物线与y轴的交点在X轴下方得到c<0,

2a

b1

所以就c>0；x=—1时，由图像可知此时y〉0,所以a—b+c>0；由对称轴工=——=-,可得2a+3〃=0；

2a3

当尤=2时，由图像可知此时>>0,即4a+2b+c>0,将2a=—3/?代入可得c—4/?>0.

【详解】

b

①根据抛物线开口方向得到〃>o,根据对称轴1=-丁得到b<o,根据抛物线与y轴的交点在元轴下方得到

2。

c<0,所以。灰:>0,故①正确.

②]=-1时，由图像可知此时y〉0,即a—Z?+c>0,故②正确.

b1

③由对称轴x=——=-,可得2。+3〃=0,所以2a+35>0错误，故③错误；

2a3

④当x=2时，由图像可知此时>〉0,即4a+2Z?+c>0,将③中2a+36=0变形为2。=—3/7,代入可得c—4b>0,

故④正确.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

10、D

【解析】

•.•圆A的半径长为4,圆B的半径长为7,它们的圆心距为d,

.,.当d>4+7或d<7-4时，这两个圆没有公共点，即d>ll或d<3,

...上述四个数中，只有D选项中的1符合要求.

故选D.

点睛：两圆没有公共点，存在两种情况：（1）两圆外离，此时圆心距〉两圆半径的和；（1）两圆内含，此时圆心距〈大

圆半径-小圆半径.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、100°

【解析】

由条件可证明△AMK且aBKN,再结合外角的性质可求得NA=NMKN,再利用三角形内角和可求得NP.

【详解】

解：VPA=PB,

，NA=NB,

在4人乂长和小BKN中，

AM=BK

<ZA=ZB,

AK=BN

/.△AMK^ABKN（SAS）,

/.ZAMK=ZBKN,

VZA+ZAMK=ZMKN+ZBKN,

NA=NMKN=40°,

:.ZP=180°-ZA-ZB=180°-40°-40°=100°,

故答案为100°

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得△AMK^ABKN是解题的关键.

12、(1,4).

【解析】

试题分析：把A(0,3),B(2,3)代入抛物线=---「可得b=2,c=3,所以--4>

即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).

考点：抛物线的顶点.

4

13、一

5

【解析】

过点B作BDLAC于D,设AH=BC=2x,根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=，BC=x,利用勾股定理列

2

式表示出AC,再根据三角形的面积列方程求出BD,然后根据锐角的正弦=对边：斜边求解即可.

【详解】

如图，过点B作BD_LAC于D,设AH=BC=2x,

VAB=AC,AH1BC,

1

；.BH=CH=-BC=x,

2

根据勾股定理得，AC=yjAH'+CH2=J(2x)2+定=75x,

11

SABC=-BC«AH=-AOBD,

A22

„11

即n—・2*・2*=-

22

解得BC=±x,

5

4-

所以，sinNBAC=BD_丁"_4.

AB~氐-5

4

故答案为二.

14、1.

【解析】

试题分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形

求斜边的问题，根据勾股定理可求出葛藤长为vC7五7=i（尺）.

考点：平面展开最短路径问题

15、2G

【解析】

将PA+PB转化为PA+PC的值即可求出最小值.

【详解】

E,F分别是底边AD,BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形,

••.B点关于EF的对称点C点，

AC即为PA+PB的最小值，

ZBCD=60°,对角线AC平分NBCD,

ZABC=60°,ZBCA=30°,

ZBAC=900,

AD=2,

•••PA+PB的最小值=AB-tan60°=273.

故答案为：2瓜

【点睛】

求PA+PB的最小值,PA+PB不能直接求，可考虑转化PA+PC的值，从而找出其最小值求解.

16、3

2

【解析】

由^ABC中，点D、E分别在边AB、BC上,DE〃AC,根据平行线分线段成比例定理,可得DB：AB=BE：

BC,又由DB=4,AB=6,BE=3,即可求得答案.

【详解】

解：VDE/7AC,

ADB：AB=BE：BC,

VDB=4,AB=6,BE=3,

A4：6=3：BC,

9

解得：BC=-,

93

.\EC=BC-BE=--3=-.

22

故答案为：3.

【点睛】

考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长

线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

174+8若

17、------n

3

【解析】

第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA,解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60。.第

二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA,圆心角是60。.第三次就是以点B为旋转中心，OB为半

径，旋转的圆心角为60度.旋转到此菱形就又回到了原图.故这样旋转6次，就是2个这样的弧长的总长，进而得出

经过6次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长.

【详解】

解：•.•菱形ABCD中，AB=4,NC=60。,

.,.△ABD是等边三角形，BO=DO=2,

AO=7AD2-D（92=2A/3,

第一次旋转的弧长=6>x2占=2信，

1803

r-r-

•.•第一、二次旋转的弧长和=—2信+―2岳=—4备l，

333

第三次旋转的弧长为：丝乎=:万，

1803

故经过6次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：2x（士技•+2»）=4+8凡.

333

故答案为：士也I万.

【点睛】

本题考查菱形的性质，翻转的性质以及解直角三角形的知识.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）D、E、F三点是同在一条直线上.（2）6x2-13x+6=L

【解析】

（1）利用切线长定理及梅氏定理即可求证；

（2）利用相似和韦达定理即可求解.

解：（1）结论：E、尸三点是同在一条直线上.

证明：分别延长A。、5c交于点K,

•*«»/.

;\沙—、

、、夕X

\

B

由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD^DK,AC^CK,

再由切线长定理得：AC+CE=AF,BE=BF,

KDAFBE

••KE=AF,•♦----xx-----=I1,

ADBFEK

由梅涅劳斯定理的逆定理可证，D、E、尸三点共线，

即。、E、F三点共线.

(2)'：AB^AC=5,BC=6,

，A、E、/三点共线，CE=BE=3>,AE=4,

连接//，贝！|AABEs△A/歹，AADI^/XCEI,A、F、/、。四点共圆.

34

设。/的半径为r,贝!J：-=-,r=6,

r8

An3

A/=IO,二:，即AD=2#),ID=4A/5，

ID6

・••由△得：

5DE迪士,DE=2技正士

m=,EF^—y[5,

4AE82EF25

•〃二

6

mn13

—l—二—

.Inm6

••I,

mn

------------二I

、nm

nvn

因此，由韦达定理可知：分别以一、一为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程是6/13x+6=l.

mn

点睛：本是一道关于圆的综合题.正确分析图形并应用图形的性质是解题的关键.

19、见解析.

【解析】

试题分析：先做出NAOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P.

试题解析:

考点：尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质.

20、⑴见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)根据题意作图即可；

(2)先根据BD为AC边上的中线，AD=DC,再证明△ABDgZkCED(AAS)得AB=EC,已知NABC=90。即可得

四边形ABCE是矩形.

【详解】

(1)解：如图所示：E点即为所求；

(2)证明:VCE±BC,

/.ZBCE=90o,

VZABC=90°,

:.ZBCE+ZABC=180°,

；.AB〃CE,

.*.ZABE=ZCEB,ZBAC=ZECA,

；BD为AC边上的中线，

,\AD=DC,

在4ABD和小CED中

，ZABD=ZCED

-ZBAC=ZECA»

AD=DC

/.△ABD^ACED(AAS),

.\AB=EC,

四边形ABCE是平行四边形，

VZABC=90°,

平行四边形ABCE是矩形.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与矩形的性质.

21、(1)200元和100元(2)至少6件

【解析】

(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所

得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即

可.

【详解】

解：(1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由题意,

,jx+4y=600x=200

得1解得:

13无+5丁=1100y=100

答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元.

(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34-a)件.由题意，得

200a+100(34-a)>4000,

解得：a>6

答：威丽商场至少需购进6件A种商品.

22、(1)甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；(1)至少销售甲种商品1万件.

【解析】

(1)可设甲种商品的销售单价X元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①1件甲种商品与3件乙种商品的销

售收入相同，②3件甲种商品比1件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；

(1)可设销售甲种商品“万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可.

【详解】

(1)设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，依题意有：

2x=3y[x=900

\，解得“

[3x-2y=1500(y=600

答：甲种商品的销售单价900元，乙种商品的销售单价600元；

(1)设销售甲种商品。万件，依题意有：

900a+600(8-a)>5400,解得：a>l.

答：至少销售甲种商品1万件.

【点睛】