2024年广东高考数学模拟试卷含答案 (三)

1.已知直线=过4(2,2，W)，B(4,0)两点，且匕1%，则直线%的倾斜角为()

7r

A.-nCB-cC.—27TcD.—57r

6336

2.已知双曲线C：盘—马=1缶>0,6>0)的离心率为丁耳，贝UC的渐近线方程为()

Ay1y

2-=

3.“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a—l)y+7=0平行”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

4.M是双曲线1―4=1上一点，点F],尸2分别是双曲线左右焦点，若|“n|=5,则|“?21=()

412

A.9或1B.1C.9D.9或2

5.已知圆C：x2+y2=l,直线1：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-co,-<5)C.(<5,+oo)D.(-^"5,75)

6.已知Fi、&是椭圆的两个焦点，满足IMF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()

A.(03)B.(0,苧)也,苧)D.(苧,1)

7.已知椭圆方程为真+，=l(a>0,b>0),其右焦点为F(4,0),过点尸的直线交椭圆与4B两点.若

的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为()

A.《+且=1B.Q+比=1C.Q+比=1D.《+£=l

4536124248189

8.已知直线/：-1)久+(?n+l)y—3m+1=0与圆。：x2+y2=B两点，当|4B|最小时，

过4，B分别作Z的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD|=()

A.8/5B.9/5C.10VTD.H<5

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

22

9.已知方程>+占=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是()

4—tt—1

A.当l<t<4时，曲线C是椭圆

B.当t>4或t<l时，曲线C是双曲线

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C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则l<t<|

D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4

10.下列说法正确的是（）

A.直线xcosJ++2=0的倾斜角的范围是［0,gU能兀）

B.直线（3+m）x+4y-3+3m=0（mGR）恒过定点（—3,—3）

C.曲线Q：%2+y2+2%=0与曲线C2：x2+y2—4%—8y+m=0恰有三条公切线，则m=4

D.方程J（%+4尸+y2—J（%一4）2+y2=6表示的曲线是双曲线的右支

11.已知双曲线C；《―8=1的焦点分别为Fi，F2,则下列结论正确的是（）

916

A.渐近线方程为3x±4y=0

B.双曲线C与椭圆各誓=1的离心率互为倒数

C.若双曲线C上一点P满足|P0|=2\PF2\,则4PaF2的周长为28

D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6

12.已知椭圆M：真+*1（（1>匕>0）的左、右焦点分别为尸式—60）,尸2（60），过点尸2且垂直于％轴

的直线与该椭圆相交于4B两点，且=点P在该椭圆上，则下列说法正确的是（）

A.存在点P,使得NF1P6=90°

B.若苗PF?=60。，则=苧

C.满足△&PF2为等腰三角形的点P只有2个

D.|P&|—|PFz|的取值范围为［―2，百,2，可

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.与椭圆1+4=1有公共焦点，且离心率为海勺双曲线方程为.

J.Z3乙

14.求圆久2+y2_4y+3=0上的动点P到直线3x-4y-2=0距离的最大值____.

15.已知双曲线包—比=1（7n>0,n>0）和椭圆q+<=1有相同的焦点，则工+2的最小值为____.

mnv754mn

16.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光

源点4（0,—2）射出的两条光线与。。：/+丫2=1分别相切于点用，此称两射线AM,AN上切点上方部分

的射线与优弧MN上方所夹的平面区域（含边界）为圆。的“背面”.若以点B（a,2）为圆心，r为半径的圆处于

。。的“背面”，贝忏的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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17.(本小题10分)

已知菱形4BCD中，71(-4,7),C(2,-3),BC边所在直线过点P(5,9).求：

(1)4。边所在直线的方程；

(2)对角线BD所在直线的方程.

18.(本小题12分)

已知圆C：x2+y2+2x-4y-4=0.

(1)从圆外一点P(2,l)向圆引切线，求切线方程；

(2)若圆。2：+y2=4与圆C相交于。、E两点，求线段DE的长.

19.(本小题12分)

如图，在三棱柱48C—4/©中，AB1平面B/CC已知NBCQ=会BC=1,AB=C4=2,点E是

棱CG的中点.

(1)求证：JBJ_平面ABC；

(2)求平面ABiE与平面4B1E夹角的余弦值；

20.(本小题12分)

22

已知圆(%+3)2+/=%C2：(x-3)+y=1,动圆M与圆Q,C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线

C.

(1)求曲线C的方程；

(2)斜率为4的直线/过点C2，且与曲线C交于4B两点，求△CV4B的面积.

21.(本小题12分)

已知椭圆C：马+马=l(a>b>0)的离心率为:，左、右焦点分别为Fi，F2,。为坐标原点，且|F出1=

abz

4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点(2,0)的直线，与椭圆C交于M,N两点，点Q(8,0),求证：kMQ+kNQ=0.

22.(本小题12分)

已知椭圆C：=l(a>b>0)的左焦点为尸(―2,0),点Q,净在C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过产的两条互相垂直的直线分别交C于4B两点和P,Q两点，若AB,PQ的中点分别为M,N,证明：

直线MN必过定点，并求出此定点坐标.

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1.【答案】A

【解析】解：因为直线匕过4(2,2/)，B(4,0)两点，可得曷=与等=_，百，

又因为Z11%，所以的2=—=—1，可得用2=苧，

设直线%的倾斜角为a,则tana=芋因为a£(0,兀)，所以a=9，

所以直线%的倾斜角为也

故选：A.

先利用斜率公式求得直线的斜率，结合11-2,求得的2=争得到tana=苧，即可求解.

本题考查了直线倾斜角的求解，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意，三=近＞,则g=*=5,即匕2=4。2,

解得4=4,2=2,

a2a

・•.C的渐近线方程为y=±2%.

故选：A.

由已知结合双曲线的几何性质求得2,则答案可求.

a

本题考查双曲线的几何性质，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0,3x+2y+7=0,

•••两直线斜率相等，则平行且不重合.

若两直线平行且不重合，则；之大等

3a—17

•••a=3或a=—2,

综上所述，a=3是两直线平行的充分不必要条件.

故选：A.

分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围.

本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断，是基础题.

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4.【答案】C

【解析】解：M是双曲线3一w=1上一点，点6，尸2分别是双曲线左右焦点，|M6|=5,

所以｛2：，

由双曲线定义可知||M0|—IMF2II=2a=4,

所以IMF2I=1或者9，又IMF2]2c—a=2,

所以|M4|=9.

故选：C.

根据双曲线的定义即可求解结论.

本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：圆C：/+必=1的圆心为（J）,。），半径为1,直线>y=2x+b,

由于圆与直线1相交，所以黑<1,解得-=<b<，亏.

V5

故选：D.

求出圆的圆心与半径，结合已知条件列出不等式，求解即可.

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：因为故M在6尸2为直径的圆上，即尤2+必=。2,

1

2C2

e一

圆在椭圆内部，故C<%,-2-

a2

故ee（0岁

故选：B.

M在Fia为直径的圆上，即行+y2=。2,根据c<6得到离心率范围.

本题考查椭圆的性质的应用，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

设4（X1，%），83，%），代入椭圆的方程可得4+当=1，4+驾=1.两式相减可得：⑶F”，）+

曲/由廿a/

（止'马吧为=0.把+%=2,丫1+丫2=-2，~~=-T-T-=代入上式可得：=3/J2.又C=4,

b4%]一12J

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c2=a2-b2,联立解得即可.

【解答】

解：设2(尤1，%)，B(x2,y2),代入椭圆的方程可得4+4=1,4+4=1.

bb

两式相减可得：。1一到学+为+(当-力学+为=0

由%1+叼=2，yi+y2=-2,三二套代入上式可得：

人［人f-L-1KJ

?_?1、

—H--2-X-=0,化为Q2=3序.

ab3

又c=4,c2=a2—b2,联立解得M=24,b2=8.

••.椭圆的方程为：4+4=1.

24o

故选：c.

8.【答案】C

由R苒;喉；所以/过定点P(2，D

设呜》轴交于点E,当|4B|最小时，则。P1AB,可得丘=二=所以%B=—2,

z-UZ

则tan乙4E。=2,COSAAEO=g因为|0P|=<5,

所以|4旬=2回=耳=10.在中，\CE\=-^-,

在aBDE中，|DE|=\BE\

cos乙BEDCQSZ.AEO1

所以g=\CE\+\DE\=心+&$=1。后

故选：C.

由题意可得直线I过定点P(2,l),进而可得施B=-2，可得|4B|=10,Wffl|CO|=\CE\+\DE\=

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|8E|

1明।可求结论.

cosZ.AEOcosZ.AEO

本题考查直线过定点问题，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题.

9.【答案】BC

4-t>055

或

【解析】解：当曲线C是椭圆时，t-1>0,解得12-2-<t<4,故A错误;

4—t丰t—1

当曲线C是双曲线时，(4——1)<0,解得t>4或£V1,故3正确；

4-t>0

若曲线C是焦点在无轴上的椭圆，贝山-1>0，解得1<"全故。正确；

<4—t>t—1

4-t>0

若曲线。是焦点在y轴上的椭圆，则卜一1>0，解得5Vt<4,故。错误.

t—1>4—t

故选：BC.

根据椭圆与双曲线的几何性质，不等式思想，即可求解.

本题考查椭圆与双曲线的几何性质，不等式思想，属中档题.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查了直线倾斜角的范围、直线过定点、两圆的位置关系及双曲线的定义，属于中档题.

A：根据直线倾斜角和斜率的关系即可判断；

B：将直线按加合并，令巾的系数为零解得定点；

C：两曲线为圆，根据公切线有三条可知两圆外切，圆心距等于半径之和；

D：根据两点间距离公式，设P(x,y),4(-4,0),B(4,0),方程可化为|P*-|PB|=6,根据双曲线定义即

可判断.

【解答】

解：对于4直线的斜率八—苧cosOe[-苧，号，

直线的倾斜角的范围是[0币U管,兀)，故A正确；

对于B：直线方程整理为：m(x+3)+(3x+4y-3)=0,

由胪:二3=0,解啜二乙

故该直线恒过定点(-3,3),故3错误；

对于C,,•,曲线G：x2+y2+2%=0,曲线C2：/+y2—4%—8y+m=0有三条公切线，

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二两条曲线均为圆，故20-机＞0,即加＜20,且两圆的位置关系为外切，

■曲线G：(%+I)2+y2=1,圆心G(—1,0),半径q=1,曲线C2：(%—2/+(y—4/=20—Hi,圆心

C2(2,4),半径丁2=72Q—m,

故圆心距d=IGC2I=J(2+1尸+42=5=、20-北+1,解得：m=4,故C正确；

对于D,设P(x,y),4(—4,0),B(4,0),

则方程等价为|P力I—|PB|=6＜\AB\=8,

则根据双曲线的定义可知，P的轨迹是以4B为焦点的双曲线的右支，故。正确.

故选ACD

11.【答案】CD

【解析】解：•••双曲线c：卷Yj

=

*'•CL3fb=4,c=5,且焦点在%车由上，

对4选项，渐近线方程为y=±3=土如

即4%±3y=0,・•./选项错误；

对B选项，双曲线C与椭圆[+[=1的离心率分别为11

•••双曲线C与椭圆假+21的离心率不互为倒数，B选项错误；

对C选项，•双曲线C上一点P满足|P&|=2\PF2\,

又IP&I=\PF2\+2a=\PF2\+6,\PF2\+6=2\PF2\,

■.\PF2\=6,\PFr\=12,又IF/2I=2c=10,

PFiB的周长为6+12+10=28,二C选项正确；

对D选项，若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为2a=6,二。选项正确.

故选：CD.

根据双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，即可分别求解.

本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，属基础题.

12.【答案】ABD

2

【解析】解：根据题意：可得c=，W,|4B|的最小值为1,所以HB|=*=1，又c2=a2—。2,

2

所以a=2,b=1,所以椭圆方程为3+y2=1，

当点尸为该椭圆的上顶点时，tanzOPF2=所以NOPF2=60°,

此时N&P'=120。，所在存在点P,使得/尸/尸2=90。，所以选项A正确；

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若NFiPF2=60。，|PFI|+\PF2\=4,\FrF2\=273,

2

由余弦定理|F/2|2=|PF/2+|PF2|-2\PF1\\PF2\COSAF1PF2,

即|PF/2+|PF2|2—2\PF1\\PF2\=12,

又|P&|2+|PF2|2+2\PF1\\PF2\=16,

所以|PFi||PF2l=$

所以，SgPFz罟，所以选项8正确；

满足|PF2l=1出尸21的点P有两个，同理满足IP&I=|出尸21的点P有两个，P在上下两个顶点时，有2个，所

以选项C不正确；

对于选项，IPFil-\PF2\=\PF1\-(2a—|PF1|)=2|P&|-4,

分析可得|PFi|e[2—，W,2+YZ],|P0|—IPF2I€[―2门,2/司，所以选项。正确，

故选：ABD.

首先求出椭圆方程，当点P为该椭圆的上顶点时，求出NE1P尸2，即可判断4；利用余弦定理及三角形面积

公式判断B；再根据|PF2|的范围判断C；根据椭圆的定义及|PFi|的范围判断D.

本题主要考查椭圆的几何性质，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题.

13.【答案】1—1=1

【解析】解：由椭圆方程各[=1,可得焦点为(3,0),(-3,0),

设双曲线的半焦距为c,则c=3,因双曲线的离心率为反，则6=£=3",

2aa2

故q=2,所以b=Vc2—a2=V-5，

所以双曲线的标准方程为：4=1.

45

故答案为：^-4=1-

由椭圆方程求出焦点坐标，得出C的值，再由双曲线的离心率得出a,进而可得双曲线的标准方程.

本题主要考查双曲线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.

14.【答案】3

【解析】解：圆/+/—4y+3=0可化为/+(y—2)2=1,其圆心为(0,2),半径为1,

圆心(0,2)到直线3x-4y-2=0的距离d=所符箸^=2,

所以圆上的点到直线距离的最大值为2+r=3.

故答案为：3.

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先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.

本题考查了直线与圆的位置关系，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，找出d+r为所求距离的最大值

是解本题的关键，是基础题.

15.【答案】9

【解析】解：先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆［+9=1的焦点分别为点(-1,0)与点(1,0),

于是点(一1,0)与点(1,0)也是双曲线1―9=l(m>0,n>0)的两个焦点，

因此巾+n=L最后使用基本不等式中“1”的代换，

于是就有工+±=(工+l)(m+n)=巴+也+522R侬+5=9(当且仅当n=27n时取等号)，

因此工+±的最小值为9.

mn

故答案为：9.

先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到巾+71=1,最后利用基本不等

式中“1”的妙用，将工+±化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.

mn

本题考查椭圆和双曲线的性质，考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】11-4<6

【解析】解：如图，

1~2|.

设过4点的切线方程为丫=kx—2,所以1，解得k=士质,

所以直线AM的方程为y=-2,即，—y—2=0,令y=2,解得％=号亘,

直线4N的方程为y=—门尤―2,即，^x+y+2=0,令y=2,解得％=—竽

因为圆B：(x-a/+(y—2>=产处于圆。的“背面”，

所以a€(-竽，竽).

当圆B与圆。外切且圆B与4M(或4V)相切时，r取最大值,

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由圆B与圆。外切得Ja2+4=r+l，圆B与AM相切时且萼刊=y

-77l,4A/-34A/-3后二I、J4—V3cl4-2r

又。6(一亍,亍)X，所以一--=丁，所以a

即产—22r+25=0,解得r=11+4腌或r=11-476结合a6（-等,等）,

所以r=11—4-7~6,所以r的最大值为11-4y/~6>

同理圆B与4V相切时r的最大值为11-4<6,

综上可得r的最大值为11-476.

故答案为：11一4，^.

设过4点的切线方程为丫=kx-2,根据圆心到直线的距离等丁一半径求出上即可得到直线AM、AN的方

程，从而求出a的取值范围，当圆8与圆。外切且圆B与2M(或4V)相切时，r取最大值，从而求出r的最大

值，即可得解.

本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为BC边所在直线过点P(5,9),

所以直线BC的方程为：y+3=9-^3)(x-2),

即4x—y—ll=0,在菱形ABC。中可知4D//8C,

所以设直线AD的方程为4x-y+m=0,将点4(—4,7)代入4-(-4)-7+m=0,

所以m=23,

所以直线4D的方程为：4x-y+23=0；

(2)由题意可得线段AC的中点M(二手，于勺，即M(—1,2),

=7-(-3)=5

%c--4-2_3)

因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的斜率为卷，

所以BO所在的直线方程为y—2=|(x+1),即3x-5y+13=0.

【解析】(1)由直线BC过点P,C,求出直线的斜率，由点斜式求出直线BC的方程；因为菱形的对边平行,

所以可设直线4D的方程，将4点代入可得参数的值，进而求出直线4D的方程；

(2)求出线段4C的中点及直线4C的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线BD的方程.

本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(1)圆的：x2+y2+2x-4y-4=0,圆心1式一1,2),半径为3,

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=2,

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当切线的斜率存在时，设切线方程为y—1=做久一2),即左久―y—2k+l=0.

|一k—2—2k+l|

由圆心到切线的距离等于圆的半径，得—,=3o,

ji+fc

解得k=?

•••切线方程为4x—3y—5=0.

综上所述，切线方程为％=2或4%-3y-5=0；

(2)联立--4=得D、E所在直线方程为x—2y=0.

圆*2+y2=4的圆心。2(0,0),在直线x—2y=0上，

则线段OE的长为圆。2的直径，等于4.

【解析】(1)设切线方程为y—1=kQ—2),即kx—y—2k+l=0,由圆心到直线的距离等于半径求解

k,则切线方程可求；

(2)联立两圆方程，可得DE所在直线方程，通过垂径定理，转化求解即可.

本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，是中

档题.

19.【答案】解：(1)证明：底面BCC/i中，已知N8CCi=g,BC=1,C、C=2,

2222

由余弦定理得C/2=BC+QC-2BC-CrC-cosg=5—2x1=3=CrC-BC,

所以C]BIBC,

又AB_L平面BBiGC，u平面B/G。，

所以AB1C]B,

又ABCBC=B,AB、BCu平面ABC,

所以C]B1平面ABC.

(2)由(1)可知48、BC、三直线两两垂直，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

47-------

I

4(0,0,2)、4i(—1,四,2)、E©,苧,0)、Bi(-1,73,0)，

所以享=—苧⑼，取=(1,-73,2),BX=(0,0,2),

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设平面4B1E与平面Z/iE的法向量分别为记=(a,b,c),

(373,

m•BE=0=-a———D=n0

则有r

m-B±A=0.a—V-3b+2c=0

取Q=1,则b=c=1,

所以沅=(a,b,c)=(1,V-3,1),

设平面A/iE的法向量分别为元=(x,y,z),

n-B^E=02z=0

则有3V3,

---y=0n

n-B1A1=0X

取X=l,则y=V3,Z=0,

所以元=(1,45,0),

设平面与平面的夹角为a,WJcosa=剧=条=等.

【解析】⑴由余弦定理得=C。-BC2,则C/1BC,又AB_L平面B&C1C,由线面垂直的性质定

理可得48_LCiB,由线面垂直的判定定理，即可得出答案.

(2)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABm与平面&B1E的法向量沅=(a,b,c),n=

(x,y,z),进而可得答案.

本题考查直线与平面所成的角，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)易知圆Ci的圆心G(—3,0),半径万=3；圆。2的圆心。2(3,0)，半径上=3,

因为动圆M与圆G，。2均外切，

所以|MG|—3=\MC2\-1,

即|MCI|-|MC2l=2<£C2],

由双曲线的定义知，点”是以C1，。2为焦点，2为实轴长的双曲线的右支，

所以a=1,c=3,

则炉=c2—a2=8,

故曲线C的方程为/—「=i(>1);

Ox

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(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2，！*,

所以斜率为4的直线与双曲线的右支有两个交点4B,

不妨设直线4B的方程为y=4。-3),3。2，%)，

y—4(%—3)

联立］7y2,消去y并整理得/一12x+19=0,

(x-y=1

此时/>0,

由韦达定理得+上=12，xtx2=19,

22

所以=V1+k\x1-x2\=V1+/c•J(X1+犯下一4+1%2

=V1+16-V122—4X19=34,

而点C1(-3,0)到直线AB的距离d=I生篇*,=卷

X34x务=24"

【解析】(1)由题意，根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；

(2)设出直线2B的方程，将直线的方程与曲线C的方程联立，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距

离公式以及三角形面积公式再进行求解即可.

本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为椭圆C的离心率为，，|^21=4,

(2c=4

所以e=鸿,

lc2=a2-b2

a2=16

解得b2=12,

c=2

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则椭圆C的方程为三+《=1；

1612

(2)证明：由(1)知F2(2,0),

若直线1的斜率为0,

此时直线/的方程为y=0,显然/CMQ+kNQ=0成立；

若直线1的斜率不为0,

不妨设直线/的方程为x=my+2,NQ^,月)，

(注+乃=1,„

联立•16+12—,消去％并整理得(3m2+4)y2+12my-36=0,

%=my+2

止匕时4>0,

由韦达定理得力+%=瑞