备战2024年高考物理一轮重难点复习 实验十三：用单摆测量重力加速度的大小

实验十三：用单摆测量重力加速度的大小一、实验目的1．练习使用秒表和刻度尺、测单摆的周期。2．用单摆测重力加速度的大小。二、实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。三、实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。四、实验步骤1．让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。2．把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。3．测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝L＋eq\f(D,2)。4．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出平均每摆动一次的时间，即为单摆的振动周期。5．改变摆长，重做几次实验。五、数据处理1．公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝eq\f(t,N)求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值eq\x\to(T)，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度。2．图像法：由单摆周期公式不难推出：l＝eq\f(g,4π2)T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝eq\f(Δl,ΔT2)，即可利用g＝4π2k求重力加速度。六、误差分析1．系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。2．偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。七、注意事项1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。2．单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5。3．选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。4．摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L。知识一：教材原型实验【例1】在“用单摆测定重力加速度”实验中，某同学进行如下步骤：（1）用游标为10分度（测量值可准确到）的卡尺测量小球的直径。某次测量的示数如图1所示，读出小球直径d的值为；（2）把摆球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，使单摆在竖直平面内摆动，用秒表测出单摆做n次全振动所用的时间t，秒表读数如图2所示，读数为s；（3）如果测得的g值偏大，可能的原因是A．先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动D．测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，得周期【答案】15.2100.0CD/DC【详解】（1）[1]游标卡尺的主尺读数为15mm，游标读数为0.1×2mm=0.2mm则小球的直径为d=15mm+0.2mm=15.2mm（2）[2]秒表的读数等于大盘读数加上小盘读数，则读数为90s+10.0s=100.0s（3）[3]A．根据单摆的周期公式变形可得先将单摆放在水平桌面上测出摆长l，后把单摆悬挂起来，测的摆长偏小，则最终测得重力加速度偏小，故A错误；B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则测量的摆长偏小，则最终测得重力加速度偏小，故B错误；C．摆球不在同一竖直平面内运动，成为圆锥摆运动，实际摆长lcosθ变短，而测量摆长偏大，所测重力加速度偏大，故C正确；D．测周期时，当摆球通过最低点时启动秒表并数“1”，数到摆球第40次通过平衡位置时按下秒表，读出时间t，实际周期则测量周期偏小，重力加速度偏大，故D正确。故选CD。【例2】甲、乙两同学利用单摆测定当地重力加速度。（1）甲同学用10分度的游标卡尺测量摆球的直径，如图1所示，他测量的读数应该是cm。接着他正确测量了摆线长，加上摆球半径，得到了摆长l。（2）为了测定该单摆的振动周期T，下列做法中正确的是。A．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放开始计时，小球第一次回到释放点停止计时B．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放开始计时，小球第30次回到释放点停止计时C．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次通过最低点时开始计时，并同时数0，以后小球每次经过最低点时，他依次数为1、2、3…，数到60时停止计时，以这段时间除以30作为周期D．将摆球拉离平衡位置一个小角度，从静止释放摆球，当小球某次向右通过最低点时开始计时，并同时数30，以后小球每次向右经过最低点时，他依次计数为29、28、27…，数到0时停止计时，以这段时间除以30作为周期（3）他根据正确方法测出了摆长l和周期T，计算当地的重力加速度的表达式为g=。（4）甲同学用上述方法测量重力加速度g，你认为最需要改进的是。（5）乙同学没有测量摆球直径，只正确测得了摆线长为l，和对应的单摆振动周期为T。然后通过改变摆线的长度，计算出T2，作出l﹣T2图线，在图线上选取相距较远的A、B两点，读出与这两点对应的坐标，如图2所示。乙同学计算重力加速度表达式为。（6）乙同学没有测量摆球直径，把摆线长当成了摆长。你认为他这种做法会不会引起实验的系统误差（填“会”或“不会”）。【答案】1.86CD/DC需要改变摆长多做几次实验，再取平均值作为实验结果不会【详解】（1）[1]10分度的游标卡尺的精确度为0.1mm，测量的读数（2）[2]AB．测量单摆的运动周期，为减小误差，计时应当小球通过最低点时开始计时，且应计单摆多个周期，而不是一个，故AB错误；C．当小球某次通过最低点时开始计时，并同时数0，根据可知数到60时停止计时，以这段时间除以30作为单摆的运动周期，故C正确；D．当小球某次向右通过最低点时开始计时，并同时数30，根据可知数到0时停止计时，这段时间除以30作为单摆的运动周期，故D正确。故选CD。（3）[3]根据单摆周期公式解得重力加速度（4）[4]最需要改进的是应改变摆长多做几次实验，测得多个g值；（5）[5]根据单摆周期公式化简得将A、B两点的数据代入可得，在A点在B点联立可得（6）[6]根据单摆周期公式可得可得即可知乙同学没有测量摆球直径，把摆线长当成了摆长，在用斜率计算重力加速度不会引起实验的系统误差。知识二：创新实验【例1】某探究性实验小组用如图1所示的实验装置来测量重力加速度。他们将一个球形小磁铁用细线悬挂起来构成一个能在竖直平面内摆动的单摆。在细线的悬挂点正下方放有一根与小磁铁摆动平面垂直的粗直导体棒，导体棒通过导线与电流传感器一起构成一个闭合回路。当小磁铁摆动时，在回路中就会产生感应电流，电流传感器可以通过计算机记录相应的电流随时间变化的图像，如图2所示。（1）小李同学用20分度的游标卡尺测量球形小磁铁的直径，读数如图3所示，则其直径，小张同学用卷尺测得细线悬挂点到与小磁铁的连接点之间的长度为。（2）图2中图线上（下）方标出的数据分别表示的是感应电流取极值时对应的时刻，由图可知，小磁铁摆动的周期为（结果保留两位有效数字），进一步计算重力加速度的表达式为（用题目所给的符号表示）。【答案】0.3302.0【详解】（1）[1]游标卡尺分度值为0.05mm，球形小磁铁的直径为d=3mm+6×0.05mm=3.30mm=0.330cm（2）[2]感应电流连续两个最大值（或最小值）对应的时间差等于小磁铁摆动周期可得[3]由单摆周期公式解得【例2】某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下；①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。（1）如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为。（2）实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为cm。（3）得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了图形，如图丁所示，根据图中数据可得当地重力加速度g=。（结果保留三位有效数字）（4）查表可知宁德地区的重力加速度为，则本实验的相对误差为%。（结果保留2位有效数字）【答案】2.009.961.7【详解】（1）[1]测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为（2）[2]实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为（3）[3]据单摆周期公式可得整理可得其中对比图丁可得解得（4）[4]查表可知宁德地区的重力加速度为，则本实验的相对误差为1．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中。（1）用游标卡尺测量小球的直经d，测量情况如图所示，其读数mm。（2）固定悬点后，测得悬点到摆球上端的细线长度为l，完成n次全振动的时间t，则重力加速度的表达式为g＝；（用题中测得物理量的符号表示）（3）某问学查阅资料得知，课本上所给的单摆周期是初始摆角很小时的近似值，实际上初始摆角对理论周期T有一定影响，与的关系图像如图所示。若实验时初使摆角达到，考虑初始摆角的影响，重力加速度的测量值会。（填写“偏大”、“不变”或“偏小”）【答案】15.2偏小【详解】（1）[1]10分度游标卡尺的精确值为，由图可知小球的直经为（2）[2]单摆的周期为由单摆周期公式联立接地重力加速度的表达式为（3）[3]根据图像可知随着角度的增大，的比值变大，即周期变大，根据可得重力加速度由此可知考虑初始摆角的影响，重力加速度的测量值会偏小。2．如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。（1）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期s。（2）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（）图线，并根据图线拟合得到方程，由此可知当地的重力加速度，摆球半径（用k、b、π表示）。【答案】2.0【详解】（1）[1]摆球每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为1.0s，故单摆的周期为T=0.2s；（2）[2][3]根据得知图线的斜率因此而，则图线拟合得到方程，因此摆球半径3．某同学利用如图甲所示装置测量当地的重力加速度，回答以下问题：（1）以下是该同学在实验中进行的一些操作，正确的是；A．选用塑料小球，质量较小，更符合单摆的理想化模型B．先在桌面上将细线拉直，测完摆线长度之后再悬挂小球C．测量多个周期的总时间，求出单摆周期D．让小球摆动幅度尽量大一些，以免太快停下来（2）该同学利用手机上的秒表进行计时，某次小球通过最低点时启动秒表，并数“1”，以后小球每经过一次最低点均计数，数到“60”时停止计数，秒表读数如图乙所示，则小球振动的周期为s；（结果保留三位有效数字）（3）该同学多次改变摆线长L，正确测得其对应的周期T，并作出的关系图线如图丙所示，若已知该图线斜率为k，与纵轴的截距为b，则当地的重力加速度为，这样的数据处理方法（选填“存在”或“不存在”）系统误差。【答案】C不存在【详解】（1）[1]A．为了减少空气阻力对实验的影响，减少误差，单摆应选用质量较大的，体积较小的钢球，故A错误；B．应在细线悬挂小球且小球静止时测量摆线长度，故B错误；C．测量单摆的周期时，应测量多个周期的总时间，再计算出单摆的周期，故C正确；D．单摆做简谐运动时，其摆角不能太大，即小球摆动的幅度应尽量小一些，故D错误。故选C。（2）[2]图乙秒表的读数，小球振动的周期为（3）[3]设小球的直径为，单摆的周期可得可见图像的斜率解得[4]由于图像的斜率与摆球的直径无关，则这样的数处理方法不存在系统误差。4．（1）某实验小组在实验室做“单摆测定重力加速度”的实验，如图甲所示。①摆球的直径用螺旋测微器测出，如图乙所示，读数是；②甲同学用正确的实验方法测出摆线的长度为L，摆球的直径为d，N次全振动的总时间为t，当地的重力加速度大小为（结果用L、d、N、t等字母表示）；（2）某同学用图甲的装置验证机械能守恒定律。大小相同的两小球P、Q分别固定在轻杆两端，轻杆可绕固定于中点O的光滑水平轴在竖直面内转动，O点正下方有一光电计时器，小球通过计时器时其球心恰好与光电门等高。测得小球的直径为d，两球球心间的距离为L，P球质量是Q球质量的2倍。Q球质量为m，重力加速度为g。现将轻杆拉至水平位置并由静止释放，当P球第一次通过光电门时，计时器显示的遮光时间为。回答下列问题：①用游标卡尺测量d时如图乙所示，则；②小球P经过光电门时速度的表达式为（用已知量和测得量的符号表示）；③小球P从开始运动到最低点过程，PQ系统重力势能的减小量，若此过程中P、Q构成的系统机械能守恒，则需要验证的关系式为（用已知量和测得量的符号表示）。【答案】5.980/5.981/5.982/5.979/5.978【详解】（1）[1]螺旋测微器的读数为[2]单摆的周期为根据单摆周期公式可得可得（2）[3]20分度游标卡尺的精确度为，则游标卡尺的读数为[4]小球P经过光电门时速度为[5]PQ系统重力势能的减小量为[6]根据机械能守恒定律可得可得5．利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图1所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，做成单摆。（1）以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有。A．摆线要选择较细、伸缩性较小，并且线尽可能短一些B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好D．为减小误差可记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期（2）悬挂后，用米尺测量悬点到小球上端摆线的长度L，将小球拉离平衡位置一个小角度，由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，并计数为0，此后小球每摆到平衡位置时，计数一次，依次计数为1、2、3……，当数到50时，停止计时，测得时间为t，计算出单摆周期T。测量出多组单摆的摆长L和运动周期T，作出T2—L图像，如图2所示。造成图线不过坐标原点的原因可能是。（3）由图2求出重力加速度m/s2。（取，结果保留两位有效数字）（4）图2中图线不过原点，（选填“会”或“不会”）影响重力加速度的测量【答案】BD/DB计算摆长时没有考虑小球半径9.5不会【详解】（1）[1]A．摆线要选择较细（尽可能减小空气阻力对实验的影响）、伸缩性较小（确保摆球摆动时摆长几乎不变）、且尽可能长一些的（减小摆长测量的相对误差），故A错误；B．为了尽可能减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确；C．只有摆线相对平衡位置的偏角在很小的情况下（通常小于5°），单摆才做简谐运动，进而才能根据周期公式测量重力加速度，故C错误；D．为减小偶然误差可以记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期，故D正确。故选BD。（2）[2]根据单摆周期公式变形可得所以理论上图像是一条过坐标原点的直线，题给图像相对于理论图像，在相同周期下，所测摆长比实际值偏小，则原因可能是测摆长时没有加上小球半径。（3）[3]根据单摆周期公式可得整理得图线斜率为解得（4）[4]虽然测摆长时漏加了小球半径造成图线不过原点，但根据（3）中所求T2关于L的表达式可知该过失不影响所作图线的斜率，不会影响重力加速度的测量。6．在“用单摆测定重力加速度”实验中：（1）先用游标卡尺测小球的直径D，如图1所示，则小球的直径D=mm（2）调节好装置，用毫米刻度尺测得摆线长为l，拉开一个小角度（小于5%）释放小球开始摆动，记小球某次经过最低点为“1”并按下秒表开始计时，再次经过最低点记为“2”，一直数到“n”时停止计时，秒表记录时间为t，请写出重力加速度的字母表达式g=（用D，l，n，t表示）（3）为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2—L图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2—L图像是图2中的（选填①、②、③）【答案】19.00①【详解】（1）[1]根据游标卡尺的读数规律，该读数为（2）[2]令单摆周期为T，根据计时过程有摆长为根据单摆周期公式有解得（3）[3]由于把小球直径当作半径来计算摆长，则实际摆长为，则有解得可知图像的纵坐标截距为负值，则由此得到的T2—L图像是图2中的①。7．某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为mm。（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为m/s2（保留3位有效数字）。（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是，原因是。【答案】19.209.86随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm（2）[2]单摆的摆长为L=990.1mm+×19.20mm=999.7mm根据可得带入数据（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小。8．实验小组用图示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。（1）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是。A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动C．在摆球经过平衡位置时开始计时D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期（2）甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是（选填“l2”、“l”或“”），若图线斜率为k，则重力加速度g=（用k表示）。（3）乙同学实验时误将摆线长记为摆长l，当他用（2）中甲同学的方法处理数据后，（选填“能”或“不能”）得到正确的重力加速度值。（4）同学们用如图所示的“杆线摆”研究摆的周期与等效重力加速度的关系。杆线摆可以绕着立柱OO′来回摆动（立柱并不转动），使摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。为了简明直观的体现周期与等效重力加速度的关系，请你将下面具体操作步骤补充完整，写出需要测量的物理量、相应的测量方法和数据处理方法。①测量“斜面”的倾角。将铁架台放在水平桌面上，在铁架台立柱上绑上重垂线，调节杆线摆的线长，使重垂线与摆杆垂直。把铁架台底座的一侧垫高，使立柱倾斜。测出静止时摆杆与重垂线的夹角为β。②根据摆杆与重垂线的夹角，求出等效重力加速度a。③。④。⑤。【答案】BC能见解析见解析见解析【详解】（1）[1]A．测量摆线长时用手将摆线沿竖直方向拉紧，摆长测量值偏大，故A错误；B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，满足简谐运动回复力和位移的关系，做简谐运动，故B正确；C．在摆球经过平衡位置时开始计时，速度最大，误差最小，故C正确；D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期，误差较大，应多次测量取平均值，故D错误。故选BC。（2）[2]根据单摆周期公式有整理得可知横坐标所代表的物理量是；[3]结合图像有解得（3）[4]考虑小球的半径，单摆周期为可知函数图线与题中图线平行，斜率不变，能得到正确的重力加速度值；（4）③[5]测量干线摆的周期，用停表测量摆球全振动N次所用的时间t，计算出单摆的周期④[6]改变铁架台的倾斜程度，重复实验，记录θ、T、a、；⑤[7]在坐标系中做出图像，利用图像斜率计算。9．某同学研究单摆。①利用单摆测重力加速度的实验中，为了减小测量周期的误差，应在（选题字母）位置开始计时和结束计时。A．平衡位置

B．最大位移处

C．以上均可②在一次用单摆测定加速度的实验中，图A是用毫米刻度尺测摆长，若测得悬点到小球最下端长为，小球直径为，则摆长。（字母表示）该单摆摆动次全振动时，所用时间，用以上直接测量的L、t、n表示出重力加速度的计算式为（不必代入具体数值）。③若某同学测摆长时，忘记测摆球的半径，而只把悬点到小球最下端长度作为摆长，则他根据以上计算式求得的重力加速度