2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式测评练习含解析新人教A版选修4-5

PAGEPAGE6第一讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若1a＜1b<0,给出下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ba+ab>2.其中正确的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析由已知得b<a<0,所以a+b<ab,|a|<|b|,>0,从而>2,因此①④正确.答案B2.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若A⊆B,则实数a,b必满意()A.|a+b|≤3 B.|a+b|≥3C.|a-b|≤3 D.|a-b|≥3解析由题意可得集合A={x|a-1<x<a+1},集合B={x|x<b-2或x>b+2},又A⊆B,所以有a+1≤b-2或b+2≤a-1,即a-b≤-3或a-b≥3,因此选D.答案D3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为()A.[0,+∞) B.(0,2)C.[0,2) D.(0,+∞)解析如图,|BC|=2-(-10)=12,|AB|=10,|AC|=2,当点P在点A右侧时|PB|-|PC|>8,故x≥0.答案A4.下列函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=x2-2x+4C.y=x2+D.y=解析在函数y=x2+中,x2>0,所以y=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,函数的最小值为2.答案C5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于()A.8 B.2 C.-4 D.-2解析由已知得-4<ax+2<4,则-6<ax<2,所以(ax-2)(ax+6)<0,其解集为(-1,3),故a=-2.答案D6.“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为|x+1|+|x+2|≥|x+1-(x+2)|=1,所以由不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空得a>1,故必要性不成立.又当a=2时,不等式|x+1|+|x+2|<a有解,所以充分性成立,所以“a=2”是“关于x的不等式|x+1|+|x+2|<a的解集非空”的充分不必要条件,故选C.答案C7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥ B.b<C.a≤ D.a>解析由|f(x)-1|<a可得<x<,由|x+1|<b可得-b-1<x<b-1,由题意可得解得b≥.答案A8.若x∈(0,π),则y=sincos2的最大值等于()A. B.C. D.解析y2=sin2cos4·2sin2·cos2·cos2,所以y≤,故所求最大值为.答案B9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是()A.[0,5) B.[0,13)C.[0,9) D.[0,4)解析|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13.答案B10.若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是()A.(-∞,7) B.(-∞,7]C.(-∞,5) D.(-∞,5]解析不等式x2<|x-1|+a等价于x2-|x-1|-a<0,设f(x)=x2-|x-1|-a,若不等式x2<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则解得a≤5,故选D.答案D11.(2024陕西宝鸡一模)在正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16,则的最小值等于()A.1 B. C. D.解析设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),由a2024=a2024+2a2024,得q2=q+2,解得q=2或q=-1(舍去).又因为aman=16,即·2m+n-2=16,所以m+n=6.因此(m+n)=,当且仅当m=4,n=2时,等号成立.故选B.答案B12.导学号26394017设0<x<1,a,b都为大于零的常数,若≥m恒成立,则m的最大值是()A.(a-b)2 B.(a+b)2C.a2b2 D.a2解析[x+(1-x)]=a2+b2+≥a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当时,等号成立.由≥m恒成立,可知m≤(a+b)2.故m的最大值是(a+b)2.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x>-2,且x≠0,则的取值范围是.

解析因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时,有>0;当-2<x<0时,有<-,综上,的取值范围是∪(0,+∞).答案∪(0,+∞)14.(2024山东淄博模拟)已知f(x)=lg,若f(a)+f(b)=0,则的最小值是.

解析f(x)=lg,f(a)+f(b)=0,∴lg+lg=0,∴=1,整理,得a+b=2(a,b∈(0,2)),则(a+b)=≥.当且仅当a=2b=时,等号成立.答案15.若关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a+对随意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是.

解析由肯定值不等式的意义可得a+≤4,所以≤0,解得a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.答案(-∞,0)∪{2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器,“蛟龙号”假如根据预料下潜的深度s(单位:米)与时间t(单位:分)之间的关系满意关系式为s=0.2t2-14t+2000,则平均速度的最小值是米/分.

解析平均速度为v(t)==0.2t+-14≥2-14=2×20-14=26,当且仅当0.2t=,即t=100时,取得最小值.答案26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)设不等式|x-2|<a(a∈N+)的解集为A,且∈A,∉A.(1)求a的值;(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.解(1)因为∈A,且∉A,所以<a,且≥a,解得<a≤.又因为a∈N+,所以a=1.(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R+,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,且=m,求证a+2b+3c≥9.(1)解因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m},又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],所以m=1.(2)证明由(1)知=1,又a,b,c∈R+,所以a+2b+3c=(a+2b+3c)=3+=3+≥3+2+2+2=3+6=9(当且仅当a=2b=3c时,等号成立).故a+2b+3c≥9.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(分类探讨)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证f(ab)>|a|f.(1)解f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;当-3≤x≤1时,不成立;当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.(2)证明因为f(ab)=|ab-1|,|a|f=|a|=|a-b|,又|a|<1,|b|<1,所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.21.导学号26394018(本小题满分12分)已知x,y,z∈R+,x+y+z=3.(1)求的最小值;(2)求证3≤x2+y2+z2<9.(1)解因为x+y+z≥3>0,>0,所以(x+y+z)≥9,即≥3,当且仅当x=y=z=1时,取最小值3.(2)证明因为x2+y2+z2=≥==3(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2-(x+y+z)2=-2(xy+yz+zx)<0,所以3≤x2+y2+z2<9(当且仅当x=y=z=1时,等号成立).22.导学号26394019(本小题满分12分)已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.(1)求f(x)>x的解集;(2)若a+b=1,对∀a,b∈(0,+∞),≥|2x-1|-|x+1|恒成立,求x的取值范围.解(1)f(x)=|2x-1|-|x+1|,当x<-1时,由f(x)>x得1-2x+x+1>x,解得x<-1;当-1≤x≤时,由f(x)>