等差数列中Sn的最值问题-2024年高考数学一轮复习（新高考）原卷版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、等差数列的通项公式和前n项和公式

1.等差数列的通项公式

如果等差数列｛0“｝的首项为4,公差为d,那么它的通项公式是a“=q+（"-l）d.

2.等差数列的前〃项和公式

设等差数列｛«„｝的公差为d,其前“项和S,=:/+四建d=.

注：数列｛4｝是等差数列（43为常数）.

二、等差数列的前n项和的最值

1.公差d>0=｛%｝为递增等差数列，S,.有最小值；

公差d<0o｛a“｝为递减等差数列，S“有最大值；

公差d=0=｛%｝为常数列.

2.在等差数列｛%｝中

（1）若4>0,d<0,则满足,0的项数机使得S“取得最大值与；

&+I4。1,

（2）若q<0,d〉0,则满足°的项数机使得S“取得最小值鼠.

也用2o

即若蓑1则S,有最大值（所有正项或非负项之和）;

若则S“有最小值（所有负项或非正项之和）.

J>0

二、题型精讲精练

【典例1】（2022.全国.统考高考真题）记S“为数列｛%｝的前〃项和.已知一+〃=2%+1.

n

（1）证明：｛%｝是等差数列;

(2)若。4,%，%成等比数列，求S”的最小值.

【答案】⑴证明见解析；

(2)-78.

fS.,M=1

【分析】⑴依题意可得2S.+"2=2W%+W,根据%=二、°,作差即可得到%从而得

证；

(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出外,即可得到｛4｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的

性质计算可得.

2s

【详解】(1)因为—-+n=2a+1即2S〃+/=2几。〃十几①,

nn9

2

当2时，2Sn_i+(n-l)+(n-l)(2),

①一②得，2S"+"-2S〃_］-(〃-1)=2侬〃+,

即2an-^-2n-l=2nan-2｛ji-\^an_x+1,

即2(n—l)4—2(九一1"7=2(〃-1),所以%-〃i=l,几＞2且〃金N*,

所以｛凡｝是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］:二次函数的性质

由(1)可得。4=%+3,%=%+6,%=4+8,

又〃4，。7,。9成等比数列，所以。72=%.〃9，

即(4+6)2=(q+3).(4+8),解得％=_12,

二d、i_12由2cn(n-l)1225\(25丫625

所以4=〃一13,所以S=-12〃H——----=—n2---n=—\n-----------,

〃222212J8

所以，当〃=12或几=13时，0).=一78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由(1)可得。4=4+3,%=%+6,%=%+8,

又。4，〃7,”9成等比数列，所以。7=。4，“9,

即(q+6)2=(q+3).(q+8),解得q=_12,

所以。〃=〃一13,即有％<%<<%2<°，％3=0・

则当〃=12或w=13时，（5,,）^=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S“的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

【题型训练-刷模拟】

一、单选题

1.（2023・四川泸州・统考三模）记S"为等差数列｛4｝的前"项和，已知弓=-9,«2+«4=-10,则S“的最小

值为（）

A.-25B.-35C.-45D.-55

2.（2023•全国•高三专题练习）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，/+%+%=3,511=-11,则使S“取

得最大值时n的值为（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2023•全国•高三专题练习）已知无穷等差数列｛?｝的前w项和为S“，公差为d,若4>0,d<0,则不

正确的（）

A.数列｛%｝单调递减B.数列｛。“｝没有最小值

C,数列｛5.｝单调递减D.数列｛S,,｝有最大值

4.（2023・湖北黄冈・黄冈中学校考二模）已知等差数列｛?｝的前〃项和为S“，若/+%>（）,%。+[2<。，则

S“取最大值时”的值为（）

A.10B.11C.12D.13

5.（2023・河南•开封高中校考模拟预测）已知S.为等差数列｛4｝的前〃项和.若S|2<。，%+%>。，则当S“

取最大值时，〃的值为（）

A.3B.4C.5D.6

6.（2023•全国•高三专题练习）设数列也｝为等差数列，S,是其前”项和，且55<凡，56=57>工，则下列结

论不正确的是（）

A.d<0B.%=。C.Sg>S5D.又与S?均为S,的最大值

7.（2023・四川成都・成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列｛4｝中，|%|=|%4|，且公差d<0,则其前

”项和取得最大值时〃的值为（）

A.8B.9C.10D.11

8.（2023•全国•高三专题练习）设S，,为等差数列｛氏｝的前〃项和，且V”eN*,都有4-an+l>。，若④+阳=0,

则（）

A.S"的最小值是工7B.S”的最小值是几

C.S”的最大值是工D.S”的最大值是几

9.（2023・四川自贡・统考三模）等差数列｛4｝的前〃项和为S“，公差为d,若工。<0,品>0,则下列四个

命题正确个数为（）①与为S”的最小值②必>0③q<0,d>0④$6为S"的最小值

A.1B.2C.3D.4

10.（2023・全国•高三专题练习）数列也,｝是递增的整数数列，若422,q+电+…+4,=300,贝I）〃的最大

值为（）

A.25B.22C.24D.23

11.（2023・四川成都•石室中学校考模拟预测）设S„为等差数列｛q｝的前〃项和，且eN*,都有\<露，

若$5=%，则（）

A.S”的最小值是既B.S”的最小值是小

C.S”的最大值是S9D.S”的最大值是心

12.（2023•全国•高三专题练习）在等差数列｛%｝中，前〃项和为S“，若与>0,九<0,则在｝，%

上中最大的是（）

«15

S,Ss,

A.—B.—sC.—9D.-

13.（2023・全国•高三专题练习）已知各项为正的等比数列｛g｝的公比为q,前九项的积为，，且4><>心，

若2=lga"，数列｛〃｝的前〃项的和为S“，则当S”取得最大值时，〃等于（）

A.6B.7C.8D.9

14.（2023•全国•高三专题练习）等差数列｛%｝的首项为正数，其前w项和为S”.现有下列命题，其中是假命

题的有（）

A.若S“有最大值，则数列｛%｝的公差小于0

B.若&+%3=。，则使5“>。的最大的“为18

C.若%>。，则｛5“｝中Sg最大

D.若%>0，%+[o<。，则数列幅|｝中的最小项是第9项

15.（2023・全国•高三专题练习）对于数列｛4｝,定义4=4+2/++2"a为｛叫的“优直,.现已知数列

n

｛%｝的“优值"为=2用，记数列｛。“-20｝的前〃项和为S“，则下列说法错误的是（）

2

A.a“=2〃+2B.Sn=n-19n

C.Ss=S9D.S,的最小值为-72

16.（2023・全国•高三专题练习）已知等差数列｛0｝的前”项和为S“，且S”<S’.若存在实数a,b,使得

<7+6=3,且e""-1W17Wln（。—2A+1）,当〃=%时，S”取得最大值，则左+2a—6的值为（）

A.12或13B.11或12

C.10或11D.9或10

二、多选题

17.（2023•福建泉州•泉州五中校考模拟预测）已知等差数列｛q｝的公差为d,前n项和为S“，且dw0,q吗，/

成等比数列，则（）

A.59=0B.«9=0

C.当d<0时，Sg是S"的最大值D.当4>0时，5。是S”的最小值

18.（2023春•河南•高三阶段练习）等差数列｛%｝的前"项和为S",公差为4,若％3+%7>。，53*。，则（）

A.d>0B.d<0

C.当〃=15时，S,取得最大值D.当w=16时，s,取得最大值

19.（2023・湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测）数列｛%｝是等差数列，58=10,则下列说法正确的

是（）

A.%+。6为定值B.若4=万，贝1J几=5时S〃最大

C.若d=；，使S,为负值的〃值有3个D.若$4=6,贝1］耳2=12

20.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）设等差数列｛%｝的前n项和为S.,若与<S9<S10,则下列结论

正确的是（）

A.数列｛4“｝是递减数列B.«io+«n<0

C.当”>19时，5„<0D.516-S4>0

21.（2023秋・山东济南•高三统考期中）已知等差数列｛%｝,前〃项和为S.吗>0,&空<-1,则下列结论正

“2022

确的是（）

A.“2022>°B.S”的最大值为S2023

C.同的最小值为。2022D.S4044<0

22.（2023・江苏盐城•校考模拟预测）等差数列｛叫的前〃项和为S“，公差为d,若（S9-S5）（EO-S5）<O,

则下列结论正确的是（）

A.若d<0,则Ac。B.若d>0,则$8最小

C.D.姆>。6。9

23.（2023•全国•高三专题练习）设S“是等差数列｛%｝的前"项和，若邑=几，且（〃+l）S”>7£“M（〃eN*）,

则下列选项中正确的是（）

A.an>an+iB.%和S”均为S“的最大值

C.存在正整数%,使得又=。D.存在正整数机，使得5^=53.

三、填空题

24.（2023秋•辽宁•高三校联考期末）已知数列｛《,｝的通项公式为%=2n-10,S"为何｝前几项和，则S“最

小值时，”=.

25.（2023春•河南信阳•高三信阳高中校考阶段练习）已知Sn为等差数列｛%｝的前〃项和.若S16>0,a7+a9<0,

则当S“取最小值时，〃的值为.

26.（2023・全国•高三专题练习）S”是数列｛%｝的前“项和，当〃=7时，S“取得最小值，写出一个符合条件

的数列｛%,｝的通项公式，an=.

27.（2023•全国•高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列｛q｝,其前〃项和为S”，现有下列4

个命题：

①若S.vSg,则风<$;

②若S]]=0,则+a\Q=。；

③若%>。，兀<0,则⑸｝中$7最大；

④若S2=Sl0,则使5„>0的〃的最大值为11.

其中所有真命题的序号是.

28.（2023春・江西宜春•高三校考开学考试）设等差数列｛%｝的前"项和为S”吗>。且巴=白，当S“取最大

〃4I1

值时，"的值为.

29.（2023・福建泉州•校联考模拟预测）已知S“是等差数列｛4｝的前〃项和，若仅当〃=5时5“取到最小值,

且I«51>14I,则满足S">0的〃的最小值为.

30.（2023・全国•高三专题练习）设数列｛%｝的前w项和为5,，且为>