人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第2课时）》示范教学设计

相似三角形（第2课时）教学目标1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并能运用这两个判定定理解决简单问题．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程，提高推理论证能力．教学重点理解“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并会用这两个定理判定三角形相似．教学难点判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明．教学准备准备量角器、圆规、带刻度的直尺和一把剪刀．教学过程知识回顾1．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？【答案】全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．2．平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？【答案】基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．上节课学习了哪些判定三角形相似的方法？【答案】定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．【设计意图】复习上节课学习的知识，巩固基础，为本节课的学习做好准备．新知探究一、探究学习【问题】判定三角形全等的方法有哪些？【师生活动】学生独立思考，得出答案．SSS，SAS，AAS，ASA，HL．【问题】类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？【师生活动】教师引导学生任意画△ABC，取一个便于操作的k值（如，2，3等），得到△A'B'C'的三边长，作出△A'B'C'．教师指导学生用量角器测量或把画好的三角形裁剪下来，比较这两个三角形的对应角的度数，得出答案．通过度量可知，两个三角形的对应角相等；又由题意可知，两个三角形的边对应成比例，所以这两个三角形相似．让学生归纳发现的结论，提出猜想．【猜想】三边成比例的两个三角形相似．【设计意图】通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想得出由三边判定三角形相似的方法．【追问】你能证明这个猜想吗？【师生活动】学生先给出已知和求证．如图，在△ABC和△A′B′C′中，＝＝．求证△ABC∽△A′B′C′．学生结合图形交流讨论，当学生没有思路时，教师用前面剪出的△ABC与△A′B′C′的纸片为模型，将较小的△ABC放置于较大△A′B′C′上（学生取的k值不同，可能会出现多种图形，但证明的本质是相同的），点A与点A′重合，点B在边A′B′上，记为点D，点C在边A′C′上，记为点E．学生直观发现DE∥B′C′，进而得到△A′DE∽△A′B′C′．教师提示学生：△A′DE是证明的中介，它把△ABC与△A′B′C′联系起来．学生根据教师的提示，整理出证明过程，教师总结．【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝＝．又＝＝，A′D＝AB，∴＝，＝．∴DE＝BC，A′E＝AC．∴△A′DE≌△ABC．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．符号表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′．【设计意图】让学生在操作中发现解决问题的方法，体会转化的思想，提高分析问题、解决问题的能力．【问题】类似于判定三角形全等的SSS方法，我们证明了三边对应成比例的两个三角形相似．那么类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，＝＝k，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量这两个三角形另外两组角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？【师生活动】教师引导学生画出△ABC和△A'B'C'．学生独立完成测量、计算，得出答案．通过度量、计算可知，＝＝＝k；通过度量可知，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以这两个三角形相似．教师引导学生归纳发现的结论，提出猜想．【猜想】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．【追问】你能证明这个猜想吗？【师生活动】学生先给出已知和求证．已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝．求证：△ABC∽△A′B′C′．学生模仿上一个定理的证明，讨论证明思路，并完成证明过程．【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝．又＝，A′D＝AB，∴A′E＝AC．又∠A′＝∠A，∴△A′DE≌△ABC．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝，∴△ABC∽△A′B′C′．【设计意图】运用类比的思维方式，根据前面探究的经验，让学生猜想得出由两边和夹角判定三角形相似的方法，并仿照上一个猜想的证明思路，完成这个命题的证明．【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，这两个三角形一定相似吗？【师生活动】学生尝试画图，小组讨论，找出反例．如图，△ABC与△A′B′C′相似；△ABC与△A′B′C′′不相似．【答案】对于△ABC和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，这两个三角形不一定相似．【设计意图】学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．二、典例精讲【例1】根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm，A′B′＝12cm，B′C′＝18cm，A′C′＝24cm．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．【答案】解：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝．∴△ABC∽△A′B′C′．【思考】这两个三角形的相似比是什么？【师生活动】学生独立思考，回答：这两个三角形的相似比是．【归纳】利用三边成比例判定三角形相似的步骤：第1步：排序，即将三角形的边按大小顺序排列；第2步：计算，即分别计算三边的比值；第3步：判断，即看比值是否相等来判断两个三角形是否相似．【设计意图】通过例1，考察学生是否会利用三边判断三角形相似．【例2】根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．【答案】解：∵＝，＝＝，∴＝．又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．【思考】这两个三角形的相似比是什么？【师生活动】学生独立思考，回答：这两个三角形的相似比是．【归纳】利用两边和夹角判定三角形相似的方法：（1）找到两个三角形中相等的角；（2）分别找到两个三角形中夹这个等角的两条边，并