经济学投资学讲义12

2024/9/91影响债券价格的内部因素期限的长短：期限越长、不确定性就越大，其价格变动的可能性就越大。票面利率：债券的票面利率越低，其价格的易变性越大。早赎条款：增大了投资者的再投资风险，其价格相应较低，收益率较高。税收待遇：免税债券和税收推迟的债券，具有一定的优势，其价格相应较高。流动性：具有较高流动性的债券，其价格较高。违约风险：信用风险越大，违约的可能性越大，其价格越低。2024/9/92影响债券价格的外部因素银行利率：银行的存贷款利率按照收益与风险相匹配原则，应该有：国债利率<银行利率<公司债券利率。（但是实际上国债利率>银行利率。）市场利率：市场总体利率水平。其它因素通货膨胀率及其预期外汇汇率2024/9/9312.1债券定价现金流贴现法(DiscountedCashFlowMethod,简称DCF)，又称收入法或收入资本化法。DCF认为任何资产的内在价值（Intrinsicvalue）取决于该资产预期的现金流的现值。2024/9/9412.2到期收益率到期收益率（Yieldtomaturity）：使债券未来支付的现金流之现值与债券价格相等的折现率。到期收益率是自购买日至到期日所有收入的平均回报率若已知债券购买价格P0,面值为F，现在距离到期时间为n年，每年支付的利息总额为C，1年内共分m次利息，则满足下式的y就是到期收益率（1）2024/9/952024/9/96到期收益率实际上就是内部报酬率(internalrateofreturn)注意：债券价格是购买日的价格，购买日不一定是债券发行日。到期收益率能否实际实现取决于3个条件：投资者持有债券到期；无违约(利息和本金能按时、足额收到）；收到利息能以到期收益率再投资。以到期收益率再投资2024/9/98价格表示为到期收益率的函数。图中价格表示为面值（100元）的倍数；所有债券的期限为30年；每条曲线上的数字表示票面利率。从图可以看出4个特征。12.2.1债券价格与到期收益率2024/9/99（1）价格与到期收益率具有反向相关关系。对于固定的收入流，要使得投资者的到期收益率越高，投资者购买债券的价格就必须越低，这样投资回报才越高。（2）当到期收益率为0时，债券的价格正好等于它的所有现金流的和。比如票面利率为10％的债券，每年为10元，一共30年，得到300元，再加上100元的面值，得到的价格为400元。2024/9/910（3）当到期收益率和票面利率相等时，债券的价格正好等于其面值。例如票面利率为10%的曲线，当到期收益率为10%时，其中的价格正好等于100元。这两者相等的原因在于，每年的利息支付正好等于10%的收益，从而每年的价格保持不变，均为100元。（4）当到期收益率越来越大时，债券的价格趋于零。2024/9/911例题：某公司债券的面值为100元，现距离到期日为15年，债券的票面利率为10％，每半年付息一次。若该债券的现价为105元，求到期收益率。解：利用公式（2）有2024/9/912总结：Malkiel定理（BurtonG.Malkiel）（1962）由公式可见，债券的持有期限、利息、本金以及市场利率（或者收益率）决定了债券的内在价值，若市场是有效的（无套利条件），则内在价值＝价格。在市场有效的前提下，Malkiel的5个定理总结了债券价格（现值）与这些因素的关系。在后面的阐述中我们用价格变化的百分比来表示债券价格的波动性。定理1：债券价格与到期收益率具有反向相关关系。

2024/9/913定理2：若债券的票面利率不变，债券的到期时间与债券价格的波动幅度之间成正相关关系。说明长期债券对到期收益率更加敏感。长期债券价格的波动性大于短期债券价格的波动性。原因：长期债券由于期限长，到期收益率对其价格的作用大。2024/9/915定理3：虽然到期时间越长，债券价格波动幅度增加，但增加的速度递减。n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之间的差异证明：分别观察n年期、n+1年期和n＋2年期债券投资者最后1年、2年和3年现金流的现值2024/9/916由于则有原因：本金是最大数量的现金流，它受到期收益率的影响最大。当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小，重要性程度下降。所以，债券价格受到期收益率影响虽然加大，但增速递减。定理4：收益率同等变化幅度下，债券价格增加的幅度要超过债券价格减少的幅度，这是由收益率价格曲线的凸性所决定的。证明：任取t时刻现金流Ct的折现值，只要证明每个时刻的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。2024/9/919定理5：除折现债券和永久债券外，债券的票面利率越低，债券的收益率的变化引起的债券价格的变化越大，也就是说债券价格的波动性越大。（1）息票率越低，付本金前所有利息收入的现值在整个债券价格构成中占比重越低，本金现值的比重越大。（2）本金是现金流最主要的组成部分，其现值（绝对数）受利率的影响最大。（3）由1、2即有定理5。定理6---SidneyHomerandMartinL.Liebowitz（1972）：到期收益率越低，债券价格的变化幅度越大。如债券A、B的期限都为30年，息票率均为3%，到期收益率A为10%，B为6%，则B对收益率的同等变化较为敏感。2024/9/9202024/9/92112.2.2债券属性与价值分析（1）到期时间根据Malkiel定理2和定理3，若其他条件不便，则债券的到期时间越长，债券价格的波动幅度越大，但波幅增量递减。（2）息票率的影响若息票率大于市场利率，债券溢价发行，反之折价发行，最终债券的价格收敛到面值。在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大（定理5）。2024/9/922溢价债券的价格将会下跌，资本损失抵消了较高的利息收入（3）可赎回条款：该条款的存在，降低了该类债券的内在价值。当赎回价格低于应付利息的现值时（利率降低时），发行人将赎回债券，从而与不可赎回债券扩大价差。市场利率高时，赎回风险可忽略不计，两种债券的价差可以忽略。2024/9/924（4）税收待遇：享受免税待遇的债券的内在价值一般略高于没有免税待遇的债券,故其价格较高无套利原理，经税负调整后的税后报酬率应等于特征相同的免税债券的报酬率税负债券必须支付税负贴水（taxpremium）（5）流动性:债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。债券的流动性越大，价格越高（6）违约风险越高，投资收益率也越高违约风险高，则信用等级低，价格低（7）可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低（8）可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。2024/9/92512.3久期和凸性久期的定义由于债券付息的方式不同（譬如息票式与零息票式），债券的的到期时间并不能完全反映债券的期限性质。息票率为8%的20年期债券和年利率为8%的20年期零息债券的性质是不同的，因为前者在到期还本之前有多次付息的安排，每次付息就相当于部分债券的到期；而零息票债券的所有本息是在到期时才支付，因此，它的期限是不折不扣的20年。2024/9/92612.3久期和凸性为了更好地定义期限的性质，美国学者Macaulay提出了久期（Duration）的定义。久期(duration)的定义：根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算的期限是债券的久期。也就是说，债券久期是债券本息支付的所有现金流的到期期限的一个加权平均。它的主要用途是说明息票式债券的期限。久期的计算债券价格=债券整个期限内所有现金流的折现值。权重：wt=[t期现金流的折现值]/债券价格。久期D=Σwt×t。由权重的定义可知，权重之和等于1，因此久期是一个凸组合（仿射组合）。2024/9/928久期的计算举例2024/9/929久期的性质图示2024/9/93012.3.1久期的数学含义D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。到期收益率单位债券价格对到期收益率的变化率2024/9/931例子例如，某债券当前的市场价格为950.25美元，收益率为10%，息票率为8%，面值1000美元，三年后到期，一次性偿还本金。2024/9/932久期是度量债券价格波动性对利率敏感程度。久期越大同样利率变化引起的债券价格变化率越大。久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占总现值的比例。2024/9/933Macaulay久期的性质零息债券的久期等于它的到期时间。当债券的到期日不变时，债券的久期随着票面利率的降低而延长。债券的久期与票面利率成反向变化。当票面利率不变时，债券的久期通常随债券到期时间的增长而增长。其他因素不变，债券的到期收益率较低时，附息债券的久期较长。2024/9/934Macaulay久期性质证明定理1：只有零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。2024/9/935定理2：附息债券的Macaulay久期小于它们的到期时间。2024/9/936定理3：在到期时间相同的条件下，票面利率率越低，久期越长。2024/9/937定理4：在票面利率不变的条件下，到期时期越长，久期一般也越长。Malkiel定理2：到期时间与债券价格波动性成正向关系。而久期是衡量债券价格波动性的指标，因此到期时间越长，久期越长。定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。Malkiel

定理3证明：由久期的定义定理6：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。=1下面证明2024/9/940久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！2024/9/941利用久期度量风险例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8％且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？2024/9/942久期的缺陷久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。所有现金流都只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是平坦的，不符合现实。用3个月的即期利率来折现30年的债券显然是不合理的2024/9/94312.3.2凸性久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。能否从数学上给予解释？2024/9/944泰勒展开与凸性凸性具有减少久期的性质。即利率变化引起债券价格实际上升的幅度比久期的线性估计要高，而下降的幅度要小。在其他条件相同时，人们应该偏好凸性大的债券。2024/9/945练习到期收益率5％债券价格100调整久期4.33年凸性26.3849给定以上数据，当到期收益率上升到7％时，债券的价格将如何变化？2024/9/94612.3.3债券组合的久期市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interestrateimmunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。2024/9/94712.3.3债券组合的久期由于久期是债券价格对利率敏感性的线性计量，因此，一个债券组合的久期就是对该组合中个别债券久期的加权平均。2024/9/948债券组合免疫2004年初，经测算某养老金负债的久期为7年，该基金投资两种债券，其久期分别为3年和11年，那么该基金需要在这两种债券上分别投资多少才能不受2004年利率风险变化的影响？问题：如果下一年年初，利率没有变化，那么，该公司要不要对投资权重进行调整？2024/9/949由于负债的到期日又接近了，因此，可能导致债务和债权之间的久期不一致，就需要再平衡。问题：到期日每接近一天，久期就有可能不一致，是否意味着每天需要调整？债券免疫策略：资产管理者需要再不断再平衡以获得良好的免疫功能和进出市场导致的交易成本之间寻求一个折衷的方案。2024/9/950债券投资可以分为消极型管理和积极型管理两种。消极管理：债券指数基金利率的免疫管理积极管理：通过选择优质债券进行投资运用各种套期保值工具12.4债券投资的管理

2024/9/951债券指数投资的特点每个指数所包含的债券数量太多，各类投资机构或投资基金难以像投资股票指数样本公司那样投资债券指数的样本债券包含在债券指数中的许多债券在市场中很少交易债券的期限一旦低于一年就会离开指数，新发行的债券又不断地进入指数，使投资者希望保持一个与指数相同结构的债券资产组合变得十分困难12.4.1债券指数投资（1）2024/9/952债券指数投资的方式（分层抽样法）：首先将债券分类，计算每一类债券占全部债券的比重，然后就可以根据这个比重来分配购买债券的资金。获得的债券资产组合是一个近似债券指数的资产组合。业绩的检验：检查实际投资组合与指数之间的轨迹差(trackingerror)的绝对值，即观察或分析每月的投资资产组合的业绩与指数业绩之差。12.4.1债券指数投资（2）2024/9/953免疫(immunization)：利用债券久期的知识，通过调整债券资产组合的久期可以更好地避免利率变动的风险，这种技术称作免疫技术。资产净值免疫：银行与储蓄机构的资产和负债之间明显存在期限不匹配的情况，如果作到资产的久期与负债的久期相一致，就可以消除银行存贷期限不一致所带来的利率变动风险。目标日期免疫：各种投资基金考虑更多的是要确保未来支付日资产的价值，以保证向投资者支付。基金运用久期技术的目的是保证基金未来的价值不受利率变动风险的影响。12.4.2债券免疫管理（1）2024/9/954假定一保险公司发行1万元投资保单，期限5年，利率8%，每年计息一次，利息再投资，到期一次还本付息，到期需支付本息额为10000

(1.08)5=14693.28元。保险公司为确保到期有足够的收入支付本息，将保单收入投资于面值为10000元、期限为6年、年息为8%的息票式债券。如果未来5年，利率始终为8%，保险公司将每年获得的利息再投资，它的债券投资5年可恰好获得本息14693.28元。债券免疫管理举例2024/9/955如果保险公司投资债券后的各年利率或7%，或9%，5年后情况为债券免疫管理举例2024/9/956从表中我们可以看到，如果利率发生了变化，投资的最终收益会受影响，这一影响来自两个方面：如果是利率下降，利息再投资的收益减少，但证券的出售价格会上升；如果是利率上升，利息再投资的收益会增加，但证券的出售价格会减少。当利率降为7%时，利息再投资的收益一共减少了92.69元(4693.28-4600.59=92.69)，但债券价格增加了93.46元，两相抵消，总收益还稍有增加。当利率升为9%时，利息再投资的收益增加了94.48元(4787.76-4693.28=94.48)，债券价格减少了91.74元，两相抵消，总收益仍然增加了2.74元。债券免疫管理举例2024/9/957债券久期的调整如果利率上升，利息再投资的收益会增加，债券价格会下降；如果利率下降，利息再投资的收益会减少，债券价格会上升。应根据不同的市场利率水平，确定资产组合合适的久期。12.4.2债券免疫管理（2）2024/9/958如果保险公司选择了合适久期的投资，就可以在方向不定的利率波动时确保支付时有足够的收益累积额。如果利率为8%，保险公司的保单收益为10000元，购买的债券价格也是10000元；如果利率降为7%，保单的现值为10476.11元(14693.28/1.075=10476.11)，债券组合的现值为10476.65元(6次800元利息的现值再加上6年后10000元本金的现值)；如果利率降为9%，保单的现值为9549.62元，债券组合的现值为9551.41元。从现值的比较可以看出，无论利率是下降还是上升，债券的现值都比保单的现值略高，都足以满足支付的要求。它进一步说明了进行久期匹配策略，可以确保资产与负债对于利率波动的反应是相等的。久期匹配的现值比较2024/9/959这个差额的发生是由于期限的久期有微小的变化。当债券的到期收益率为8%时久期为5年，但是，当利率为7%时，久期为5.02年，当利率为9%时，久期则为4.37年。因此要不断调整资产组合，以实现其久期与债务久期的再平衡。例如，保险公司有一期限7年10000元的负债，到期一次还本付息19187元。它通过持有3年期零息票债券和年付息一次的永久债券进行利率免疫。永久年金利率为10%，其久期为11年(1.10%/0.10=11)，零息票债券的久期是3年。即有w

3年+(1-w)

11年=7年，w=1/2。即保险公司应将5000元购买零息票债券，5000元购买永久年金。1年后有w

2+(1-w)

11=6，有w=5/9。久期匹配的再平衡2024/9/960利率免疫方