双曲线的简单几何性质

【考点梳理】考点一：双曲线的性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)考点二：等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).考点三:直线与双曲线的位置关系设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．考点四：弦长公式若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).重难点技巧：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.【题型归纳】题型一：双曲线的简单几何性质（焦点、焦距）1．（2023·全国·高二）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（

）A．1 B． C． D．不确定【答案】C【分析】由双曲线的方程可确定焦点在轴，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得答案.【详解】由双曲线的方程知，双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点也在x轴上，所以，解得，故.故选：C.2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（

）A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】通过的范围，结合曲线，求解焦距，实半轴长，虚半轴长，判断选项即可．【详解】的实半轴的长为5，虚半轴的长为3，实数满足，曲线是双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，显然两条曲线的实轴的长与虚轴的长不相等，所以A、B均不正确；焦距为：，焦距相等，所以D正确；离心率为：和，不相等，所以C不正确．故选：D．3．（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知双曲线，则下列选项中不正确的是（

）A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为C．的离心率为 D．的虚轴长为【答案】A【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可【详解】因为，所以，因为焦点在轴上，所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为．故选：A.题型二：双曲线的简单几何性质（顶点、实轴、虚轴）4．（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线与，下列说法正确的是（）A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等【答案】C【分析】根据双曲线方程可得答案.【详解】双曲线的焦点和顶点都在x轴上，而双曲线的焦点和顶点都在y轴上，故A、B错误；双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，故C正确；双曲线的离心率，而双曲线的离心率，故D错误.故选：C.5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，下列结论正确的是（

）A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为【答案】C【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断.【详解】对A，C的实轴长为，A错；对B，C的渐近线方程为，B错；对C，C的离心率为，C对；对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C6．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（

）A．2 B．22 C．4 D．8【答案】C【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，即可求得结论.【详解】解：设等轴双曲线的方程为，抛物线，，则，，抛物线的准线方程为，设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，则，.将，代入，得，，等轴双曲线的方程为，即，的实轴长为.故选：C.题型三：等轴双曲线7．（2022秋·江苏连云港·高二期末）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等轴双曲线的方程可设为，将代入解出即可.【详解】设等轴双曲线的方程为，将代入得：，即，所以等轴双曲线的标准方程为．故选：A．8．（2023·全国·高二专题练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解【详解】由题意可设双曲线方程为，，由得，则，，不妨假设，则，由图象的对称性可知，可化为，即，解得，故双曲线方程为：，故选：C9．（2023春·上海·高二期中）若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（

）A． B． C．或 D．2或【答案】B【解析】点在双曲线上，则有，即，根据点到直线的距离公式能够求出的值，由此能够得到的值.【详解】点在双曲线上，则有，即．，∴，又点在右支上，则有，∴，∴，，故选：B．【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.题型四：双曲线的渐近线问题10．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校）过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可设，，，分别表示出，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设，因为与轴垂直，所以，设，则，而所以，，所以，所以渐近线方程为.故选：B11．（2023春·四川成都·高二校考期中）已知双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，有①，②，联立两式，解可得、的值，即可得答案．【详解】因为双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，所以，①，②联立①、②可得：，，则双曲线的方程为：；故选：C．12．（2023·江苏·高二假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，且，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到，再根据，即可求解双曲线渐近线的斜率.【详解】作于点，如图所示，因为，所以为的中点，由双曲线的定义知|，所以，故，因为，所以，即，得，所以，得，故双曲线的渐近线方程为，即.故选：B题型五：双曲线的的离心率问题13．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（

）A． B．2C． D．【答案】C【分析】连接，联立方程组求得，结合，得到，化简得到，进而得出离心率的方程，即可求解.【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，根据题意，点在第一象限，将代入，可得，可得由求根公式，可得，因为，且，所以，所以点由，可得，即，因为，所以，即，化简得，两边同除以，得，解得或（舍去）．故选：C.14．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知过双曲线的左焦点的直线分别交双曲线左､右两支于两点，为双曲线的右焦点，，则双曲线的离心率（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意结合双曲线的定义可得，进而在中，利用余弦定理运算求解.【详解】因为，不妨设，由，可得，由双曲线的定义可得，，即，，则，可得，在中，由余弦定理可得，即，则，所以．故选：B．15．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示：因为，则，，所以，，因为，则，设，则，则，由勾股定理可得，即，整理可得，因为，解得，所以，，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：B.题型六：双曲线的弦长、焦点弦问题16．（2023·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得双曲线焦点坐标和渐近线方程，求得过倾斜角为的直线方程，判断，求出坐标，继而求得，即可求得答案.【详解】由题意双曲线可知，，故其渐近线方程为，过倾斜角为的直线方程为，即，不妨设l与渐近线的交点如图示：由于，即；联立，解得，即，则，联立，解得，即，则，则,故的面积为，故选：D17．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解．【详解】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．18．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点为，P为右支上除顶点外的任意一点，圆I为的内切圆，且与x轴切于A点，过作，垂足为B，若，则的面积为（

）A． B． C．9 D．2【答案】B【分析】由题意及圆的切线的性质可知，为的中点，结合双曲线定义得，设内切圆I的圆心横坐标为，则，得即，又由得，，然后利用三角形的面积求解即可.【详解】由题意知：，内切圆与轴的切点是点，设与交于点，圆I与切于点，与切于点，连接，由及圆的切线的性质知，，为的中点，由圆的切线的性质知，，∴，设内切圆I的圆心横坐标为，则，，即，为的中点，为的中点，，,在中，有：,的面积为.故选：B.题型七：双曲线中的定值、定点问题19．（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点，【分析】（1）根据点到线的距离公式去接即可；（2）设其方程为，，设，，，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理，化简可得，从而得到定点与定值.【详解】（1）由双曲线得渐近线方程为，设，则，∴双曲线C方程为；（2）依题意，直线的斜率不为0，设其方程为，，代入得，设，，，则，，∴若要上式为定值，则必须有，即，∴，故存在点满足20．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若直线与直线交于点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）由点在双曲线上求参数，即可得双曲线方程，进而写出渐近线方程；（2）设，由向量数量积的坐标表示得到，结合是双曲线上一点及，整理化简即可求值.【详解】（1）由题意得，，解得.所以双曲线方程为：，于是其渐近线为或，即或.（2）设，，因为，所以，整理得.因为点在双曲线上，所以，即，所以.21．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）根据双曲线的几何性质可得，进而求解即可；（2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，进而写出直线的方程，可得点的坐标，结合化简可得，分和两种情况讨论即可求证，进而求出定点.【详解】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，联立方程组，消去，得，则，，所以直线方程为，令，则，同理直线方程为，令，则，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，当时，，此时直线方程为，恒过定点，不符合题意；当时，直线方程为，恒过定点符合题意，综上所述，直线过定点.题型八：双曲线中的向量、定直线问题22．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知曲线上任意一点满足，且.(1)求的方程；(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义进行求解；（2）设出经过的直线方程，且，利用的坐标表示出的横坐标，然后结合韦达定理求解.【详解】（1）由于，符合双曲线的定义，于是，即，故，注意到，且焦点在轴上，故曲线的方程为（2）若过的直线与交于两点，则斜率不会是，否则和右支只有一个交点，设该直线为，和双曲线联立可得，则，故，设，则方程可写作：，的方程可写作：，联立的方程可得，，整理可得，，则，利用在直线上，于是，于是，故，即，故交点一定落在上.23．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．(1)求双曲线方程；(2)若点在双曲线上，求证：；(3)在（2）的条件下，求的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)6【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；（2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；（3）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以可设双曲线方程为．因为过点，所以，即．所以双曲线方程为，即（2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点，则，．方法一：，，因为点在双曲线上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因为，，所以．因为点在双曲线上，所以，即，所以．（3）的底边长，的高，所以．24．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，即，又双曲线的右焦点，则，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，由消去整理得，显然，，而，则，化简得，即，而，解得，所以直线的方程为，即.【双基达标】一、单选题25．（2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.【详解】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段AB存在，故选：C26．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，结合离心率定义推得，即可求得答案.【详解】由题意双曲线的一条渐近线与直线垂直，得，即，则.，故选：B.27．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）“”是“双曲线的离心率大于2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据离心率求出参数的取值范围，即可判断.【详解】若双曲线的离心率大于，则，解得，所以“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件；故选：C28．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（

）A．B．若的顶点坐标为，则C．的焦点坐标为D．若，则的渐近线方程为【答案】D【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B错误，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.【详解】对于A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A错误；对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；对于C项：当时，，当时，，C错误；对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确.故选：D29．（2023秋·全国·高二期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆有公共焦点，且过点；(2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为；(3)离心率，且经过点；(4)经过点，且一条渐近线的方程为．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解；（2）设双曲线的标准方程为，即可得到渐近线方程，从而求出、，即可得解；（3）由离心率得到，即可得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解；（4）设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解；【详解】（1）椭圆的焦点，由题意设所求双曲线为，双曲线过点，，整理得，解得或（舍去），所求双曲线方程为．（2）设双曲线的标准方程为，则渐近线为，焦距为，渐近线斜率为，，，又，所以，，双曲线的标准方程为，（3）离心率，经过点，则，所以，所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，，解得，所以双曲线方程为，即.（4）因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为.30．（2023春·新疆和田·高二校考期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点(1)求双曲线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程；（2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）由且，则，又点在双曲线上，则，综上，，即双曲线的方程为.（2）由（1）知：，而到轴距离为，所以的面积为.【高分突破】一、单选题31．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考）设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用双曲线的定义求出，进而可求得，利用勾股定理可求出的值，由此可得出双曲线的离心率的值.【详解】设，因为轴，则点、关于轴对称，则为线段的中点，因为为等边三角形，则，所以，，所以，，则，所以，，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：D.32．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由离心率求得，求出渐近线方程，写出圆方程后，两方程联立求得交点坐标后，由直线的倾斜角可得结论．【详解】由已知，，，所以双曲线的渐近线方程为即为，圆方程为，即，取渐近线方程，由，解得或，不妨设，，显然轴，又，即的倾斜角为，从而．故选：B．33．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在上,且,,则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义得到的长,再在中利用余弦定理求出的关系,从而得到的值即可得到结果.【详解】由双曲线的定义可得:,则,在中由余弦定理得,即:,即,因为,所以,即的渐近线方程为.故选:C.34．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C的右支上，若，且直线与C的一条渐近线平行，则C的离心率为（

）．A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义、直线斜率、勾股定理列式可得关系，从而可得双曲线离心率.【详解】如图，双曲线的渐近线方程为，由双曲线的定义可得①，因为，所以，则②，又直线与C的一条渐近线平行，所以③，联立①③得：，代入②得：，即，则双曲线的离心率.故选：D.35．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上一点，满足，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】求出双曲线的焦点，结合已知求出点的坐标，进而求出，再求出到渐近线的距离作答.【详解】双曲线的半焦距，则焦点，由，知点在的中垂线上，设点，由，得，解得，即点或，而点在双曲线上，于是，解得，双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为，所以该双曲线的右焦点到渐近线的距离的平方为.故选：D36．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，然后由公式可得，即可得渐近线方程.【详解】设双曲线C的半焦距为．由题可知，，则，所以，所以，所以C的渐近线方程为．故选：C二、多选题37．（2023秋·广西贵港·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2【答案】BD【分析】根据题意，由为等腰直角三角形，列出方程求得及，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为，因为以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得为等腰直角三角形，又因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，可得，所以，因为，所以，解得，所以双曲线的离心率为，所以D正确；由，可得双曲线的渐近线方程为，所以B正确．故选：BD.38．（2023春·安徽阜阳·高二校联考期中）已知曲线，则下列叙述正确的有（

）A．若曲线为圆，则B．若，则曲线的离心率为2C．若，则曲线焦点坐标为D．若，则曲线是双曲线且其渐近线方程为【答案】ACD【分析】结合圆的标准方程判断A，根据等轴双曲线的定义和性质判断B，根据椭圆的焦点坐标公式判断C，根据双曲线的渐近线方程判断D.【详解】若方程的曲线为圆，则，正确；若，则曲线为等轴双曲线，所以双曲线的离心率为，B不正确；若，则曲线为焦点在轴上，中心为原点，长半轴上为，短半轴长为的椭圆，半焦距为，所以其焦点坐标为，C正确；若，则曲线是中心为原点，焦点在轴上的双曲线，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，双曲线的渐近线方程为，D正确.故选：ACD.39．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（）A．的离心率为B．的最小值为C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为D．设的左焦点为，若的面积为，则【答案】ACD【分析】根据题意列关于的等式，从而可得双曲线的方程，计算离心率，的最小值，结合动点满足的方程，列式计算，在焦点三角形中，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形面积公式列式即可计算出.【详解】由已知可得，，所以，则的方程为，离心率为，A正确；因为的最小值为，所以B错误；设，则，，，所以C正确；设，由可得，得，则，所以D正确．故选：ACD40．（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（

）A．B．的面积为C．直线与圆相交D．的离心率【答案】ABD【分析】先计算出，再计算即可判断A，C；由可判断B；在中，由余弦定理可得的齐次式，计算可得的离心率.【详解】设的半焦距为，则，，不妨设双曲线的一条渐近线为，即，由点到直线的距离公式，得，在Rt中，，所以与圆相切，则正确，C错误；因为为的中点，所以，则B正确；在Rt中，，在中，由余弦定理，得，即，化简得，又，所以，解得，D正确.故选：.41．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（

）A． B．E的渐近线方程为C．矩形的面积为 D．E的离心率为【答案】AD【分析】对A、D：根据题意结合双曲线的定义可求得，分析运算；对B：由，可得，进而可求的渐近线方程；对C：由矩形的面积计算.【详解】不妨设点A在第一象限，如图，由题意可得：四边形为矩形，由双曲线的定义可得：，则，对A：∵四边形为矩形，则，A正确；对B：由选项A可得：，则，，注意到双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为，B错误；对C：矩形的面积为，C错误；对D：由A选项知，，所以，D正确.故选：AD.42．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（

）A．存在四条直线，使B．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为C．若、都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是D．存在直线，使弦的中点为【答案】BC【分析】由直线与双曲线相交，联立方程组，逐项判断即可.【详解】对于A，由于，所以右焦点为，设直线方程为：.联立得：，恒成立.所以，，则，.所以.所以，解得，所以只有两条，故A错误；对于B，双曲线的渐近线为，所以，过点的双曲线的标准方程为，故B正确；对于C，若、都在该双曲线的右支上，则，即，所以，解得.故C正确；对于D，假设存在直线，使弦的中点为，设直线的方程为，与联立得：，恒成立.所以，所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，故不存在这样的直线，故D错误.故选：BC.三、填空题43．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为.【答案】【分析】由双曲线的标准方程得，结合离心率可求得，进而得到焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由双曲线方程知，焦点在轴上，且，又，则，，所以双曲线的一条渐近线方程为，即：.其中一个焦点为，则焦点F到渐近线的距离.故答案为：.44．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．【答案】【分析】设双曲线C的方程为，根据双曲线经过的点求得，从而求得双曲线的标准方程.【详解】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为，又C过点，所以，，整理得双曲线C的标准方程是．故答案为：45．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为．【答案】/【分析】根据双曲线的定义结合条件求解即可.【详解】

因为，设，则有根据双曲线的定义，因为，所以在直角三角形与直角三角形，又因为由此解得所以，故答案为：.46．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知，为双曲线的焦点，过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且，则双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】