第15讲一元二次不等式的综合问题（三大题型归纳易错分层练）

第15讲一元二次不等式的综合问题目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01简单的分式不等式 1题型02简单的一元二次不等式恒成立问题 4题型03一元二次不等式的实际应用 6易错归纳 9分层练习 10夯实基础 10能力提升 16创新拓展 22题型01简单的分式不等式【解题策略】分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解【典例分析】【例1】例1解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－1)<0；(2)eq\f(1－x,3x＋5)≥0；(3)eq\f(x－1,x＋2)>1.解(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，∴－1<x<eq\f(1,2)，故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2))))).(2)原不等式可化为eq\f(x－1,3x＋5)≤0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－13x＋5≤0，,3x＋5≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)≤x≤1，,x≠－\f(5,3)，))即－eq\f(5,3)<x≤1.故原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)<x≤1)))).(3)原不等式可化为eq\f(x－1,x＋2)－1>0，∴eq\f(x－1－x＋2,x＋2)>0，eq\f(－3,x＋2)>0，则x<－2.故原不等式的解集为{x|x<－2}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据不等式的解集可得答案.【详解】由得，因为不等式的解集是，所以，解得.故选：B【变式2】（2324高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为．【答案】【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解.【详解】，即，则且．解得，不等式的解集为.故答案为：【变式3】解下列不等式：(1)eq\f(x＋1,x－3)≥0；(2)eq\f(5x＋1,x＋1)<3.解(1)不等式eq\f(x＋1,x－3)≥0可转化成不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1x－3≥0，,x≠3.))解得x≤－1或x>3，即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．(2)不等式eq\f(5x＋1,x＋1)<3可化为eq\f(5x＋1,x＋1)－3<0，即eq\f(2x－1,x＋1)<0.所以2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1.所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}．题型02简单的一元二次不等式恒成立问题【解题策略】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值【典例分析】【例2】对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．解若m＝0，显然－1<0恒成立；若m≠0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒解得－4<m<0.综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得.【详解】令函数，显然在上单调递减，，因为任意，不等式恒成立，于是，所以.故选：A【变式2】．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．答案{k|－3<k≤1}解析当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1<0，,k－12＋4k－1<0，))解得－3<k<1，因此实数k的取值范围为{k|－3<k≤1}．【变式3】（2022高一上·江苏南京·专题练习）对于不等式与没有共同解，求的取值范围．【答案】【分析】求得的解集，即可将原问题转化为时，的问题，进而转化为恒成立问题，分离参数转化为恒成立，利用函数的单调性，求得当时的取值范围，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值范围.【详解】解不等式得.“两不等式和没有共同解”等价于“当时，恒成立”即当时恒成立.当时，要使得，只需使得恒成立即恒成立.由于为区间上的单调增函数当时的取值范围是所以，即的取值范围为.题型03一元二次不等式的实际应用【解题策略】利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数．(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)求解所列出的不等式(组)．(4)结合题目的实际意义确定答案【典例分析】【例3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)．依题意得eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2.即x的取值范围为{x|0<x≤2}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·河北沧州·阶段练习）某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案.【详解】由题意，得，即，∴，解得，又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B.【变式2】（2021高一·全国·课后作业）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是．【答案】3【分析】根据题意，由求解.【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，整理得，又，所以，解得．故x的最小值是3．故答案为：3【变式3】（2324高一上·江苏镇江·阶段练习）2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)100(2)存在，【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元,则,整理得,解得,因为且,所以,故,所以要使这名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,调整后的研发人员的人数最少为100人.（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得,整理得;由条件②技术人员年人均工资不减少,得,解得假设存在这样的实数,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件,即恒成立，因为,当且仅当,即时等号成立,所以,又因为,当时,取得最大值11,所以所以,即,即存在这样的满足条件,其范围为.易错点认为分式不等式与一元二次不等式等价致错[山东潍坊三县2022期中联考]若关于x的不等式eq\f(3x＋a,x－1)≤1的解集为[－eq\f(5,2)，1)，则实数a的值为()A．－6B．－eq\f(7,2)C.eq\f(3,2)D．4【解析】由eq\f(3x＋a,x－1)≤1⇔eq\f(2x＋a＋1,x－1)≤0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2x＋a＋1）（x－1）≤0，,x－1≠0，))由题意得－eq\f(a＋1,2)＝－eq\f(5,2)，解得a＝4.故选D.【夯实基础】一、单选题1．（2324高一上·宁夏固原·阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.【详解】，解得或，所以不等式的解集为或.故选：C2．（2324高一上·安徽芜湖·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解绝对值不等式和分式不等式，得到解集，由真包含关系得到答案.【详解】，，等价于，解得，其中为的真子集，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．（2324高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得.【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则①当时，不等式为，恒成立，符合题意；②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：.综上可得：实数k的取值范围为.故选：C.4．（2324高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围.【详解】中，，为等腰直角三角形，设米，则米，米，依题意有，解得.即的长度（单位：米）范围是.故选：B.二、多选题5．（2324高一上·广东·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】解不等式得到，根据充分不必要条件得到，得到答案.【详解】，则，若“”是“”的充分不必要条件，则，CD满足.故选：CD.6．（2223高一上·全国·课后作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】BC【分析】根据题意列出不等式求解即可.【详解】设桶的容积为x，根据题意可得关于x的一元二次不等式：，且，化简可得，，故选：BC三、填空题7．（2324高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为.【答案】或.【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可.【详解】不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或8．（2223高一上·四川绵阳·阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是．(假设每件衬衫的售价是m)【答案】【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可.【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件，每天出售衬衫的净收入，令,，，解得,故答案为：.9．（2324高一上·上海青浦·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题意可得对任意的恒成立，故只需，结合基本不等式求解即可，注意取等条件.【详解】由题意对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故只需，而由基本不等式可得，等号成立当且仅当，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题10．（2324高一上·北京·期中）若二次函数满足，且(1)确定函数的解析式；(2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数法求函数解析式；（2）依题意，问题转化为则在上恒成立，令，利用单调性求最小值即可.【详解】（1）设二次函数，则，

已知，所以，解得，又，得，.（2）在区间上不等式恒成立，则在上恒成立，令，可知在上单调递减，则，得所以实数的取值范围为.11．（2324高一上·全国·课后作业）某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x（单位：平方千米）的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值．(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为了保证湖的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积三年内不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几．【答案】(1)答案见解析(2)8.4%【分析】(1)根据题意，结合收益大于支出，列出不等式，即可求解；（2）首先分别设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米，再根据题意，列出不等式，即可求解.【详解】（1）收益不小于支出的条件可以表示为．所以，．当时，，此时不符合实际情况；当时，，此时所填面积的最大值为平方千米．（2）设该县的现有水面面积为m平方千米，今年填湖造地的面积为n平方千米，则，即，所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的8.4%【能力提升】一、单选题1．（2223高二下·河南安阳·阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为，要保证税金收入每年不少于万元，可得且，解得，即实数的取值范围为.故选：C.2．（2324高一上·浙江宁波·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算分式不等式解出集合后，结合交集运算即可得.【详解】由，即，解得，故，又，故.故选：B.3．（2324高一上·云南昆明·期中）命题：R，是假命题，则实数的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先由p是假命题，得到是真命题，求出b的范围，对四个选项一一验证.【详解】由，，得，.由于命题p是假命题，可知是真命题，所以在时恒成立，则，解得.故选：CD.4．（2324高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.【详解】由题意可知恒成立，当时，恒成立，当时需满足，即，求得，所以实数的取值范围是故选：C二、多选题5．（2223高一上·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】AB【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元，则，依题意有，即，解得，所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，故选︰AB．6．（2324高一上·安徽滁州·期中）已知不等式的解集为或，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．不等式的解集为【答案】BCD【分析】根据一元二次不等式的解集，先求得的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为不等式的解集为或，则，且关于的方程的两根分别为，由根与系数的关系可得，所以.对于A，，A错误；对于B，不在不等式的解集内，令，则有，B正确；对于C，，该不等式的解集为，C正确；对于D，不等式即为，化简可得，解得，因此，不等式的解集为，D正确.故选：BCD三、填空题7．（2324高一上·上海·期中）不等式的解集为.【答案】【分析】将原不等式转化为，再求解集即可.【详解】等价于，解得，故答案为：.8．（2324高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为.【答案】【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可.【详解】不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：.9．（2324高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为.【答案】【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果.【详解】由，得到，等价于且，所以，即，故答案为：.四、解答题10．（2324高一上·内蒙古呼和浩特·期中）求关于x的不等式的解集：(1)已知集合，则求集合P；(2)设数轴上点A与实数3对应，点B与实数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式不等式的解法求解即可；（2）求出中点对应的数，即可得出关于的不等式，求解即可．【详解】（1）由，化简得，所以，解得，所以．（2）因为的中点对应的数为，所以由题意可知，即，因此，所以，因此的取值范围是．11．（2324高一上·陕西西安·期末）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.【答案】(1)最多为元；(2)销售量至少达到11万件，此时定价30元满足题意.【分析】（1）设每件定价，根据