预习02集合间的基本关系（五大考点）

预习02集合间的基本关系一、子集的概念定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集记法与读法记作(或),读作“包含于”(或“B包含”)图示或结论（1）任何一个集合是它本身的子集,即;（2）对于集合A,B,C,若,且,则二、集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则.三、真子集的概念定义如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集记法记作(或)图示结论(1)若且,则;(2)若且,则四、空集的概念定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法：规定：空集是任何集合的子集,即考点01 空集的概念及应用【方法点拨】不含任何元素的集合,叫做空集，且空集是任何集合的子集,即【例1】下列关于0与说法不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C.【例2】下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，对于B,方程无实数解，∴集合为空集，对于C，是无限集，所以不是空集，对于D,，不是空集.故选：B．【变式11】（多选）下列关系式正确的为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】因为，故A错误；是指元素为0的集合，所以，故B正确；是指元素为的集合，所以，故C正确；是任何集合的子集，所以，故D正确．故选：BCD．【变式12】已知集合，下列式子错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，故ABD正确；而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误.故选：C【变式13】下列四个集合中，(

)是空集A． B．C． D．【答案】B【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集；选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集；选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集；选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集.故选：B.考点02 有限集合子集、真子集的确定【方法点拨】求解有限集合子集问题：①确定所求集合，是子集还是真子集；②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【例3】集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.【例4】设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】答案见解析【详解】由，得，解方程得或或，故集合.由0个元素构成的子集为；由1个元素构成的子集为；由2个元素构成的子集为；由3个元素构成的子集为,因此集合A的子集为:，，，．真子集为:，，.【变式21】设集合，则集合A的真子集个数为（

）A．7个 B．8个 C．16个 D．15个【答案】D【详解】由和可得，所以集合A的真子集个数为个.故选：D【变式22】若某集合有32个子集，则该集合有个元素．【答案】5【详解】一个集合有n个元素，则子集个数为，某集合有32个子集，由，则该集合有5个元素.故答案为：5【变式23】已知集合{为10以内的素（质）数}，则集合A的所有非空子集中所有元素的和为【答案】136【详解】依题意有，，集合A的所有非空子集有，可知集合A中的元素在各非空子集中各出现了8次，所以集合A的所有非空子集中所有元素的和为.故答案为：136考点03 集合间关系的判断【方法点拨】判断集合间关系的方法：（1）列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系；（2）元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断；（3）图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例5】设集合是4与6的公倍数，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知：，显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12，所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B.【例6】下面关于集合的表示正确的序号是.①；②；③；④.【答案】③④【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立；∵是点集，而不是点集，∴②不成立；∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立.故答案为：③④.【变式31】若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.【变式32】下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，【答案】C【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合；故选：C.【变式33】若集合，，，则的关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】已知，，，显然可表示整数，而只能表示偶数；所以．故选：A．考点04 利用集合的相等求参数【方法点拨】（1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点；（2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．【例7】已知，其中，则（

）A．0 B．或 C． D．【答案】B【详解】由题意知：为方程的根，当时，；当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.故选:B.【例8】已知集合，，若，则.【答案】【详解】依题意可知，由于，所以，此时，所以，解得或（舍去），所以.故答案为：.【变式41】设，集合中含有三个元素，集合中含有三个元素，且集合与集合相等，则.【答案】1【详解】由题意可知，即，得，，此时，那么，，所以.故答案为：1【变式42】已知，，若集合，，且，则的值为．【答案】【详解】因为且，故，而集合，，则，，则，则，故，故答案为：【变式43】设集合，是否存在实数，使？【答案】存在【详解】方法一（直接法）由集合元素的互异性知，且，从而或．当时，．由知．此时，符合．当时，，于是，即与矛盾．综上，存在，使得．方法二（间接法）由，得，即因为中或都与元素的互异性矛盾，故（Ⅰ）中只有，代入，只有．此时，，符合．因此存在，考点05 利用集合的包含关系求参数【例9】已知集合，集合，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】集合，集合，若，又，所以，解得故选：B【例10】设集合(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合．【答案】(1)，是的真子集；(2)．【详解】（1）当时，，所以B是A的真子集．（2）．若，则，是真子集成立；若，则，因为是A真子集，或，所以或．所以的值组成的集合．【变式51】（多选）若集合，且，则实数的取值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【详解】因为，解得，则．当时，方程无解，则；当时，方程有解，则且，因为，所以，若，即若，即．综上所述，时，的值为．故选：ABC．【变式52】（多选）已知，则的值可以为（

）A．2 B．64 C．256 D．1024【答案】AC【详解】当时，由得，满足，所以；当时，由得，满足，所以；当时，由得，不满足；综上，则或256.故选：AC.【变式53】设集合，集合，若且，则实数.【答案】0或或1【详解】，且，或或．当时，且，解得.则；当时，且，解得.则当时，有，解得.则；所以或或1.故答案为：0或或1【变式54】已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.(1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，故，又的两根分别为，故，故；（2）因为，故，又的两根分别为，故，解得，故实数的取值范围是.【变式55】已知集合，，若BA，求实数m的取值范围.【答案】【详解】当时，由，得.当时，如图所示.

则，得，即，综上可得，实数m的取值范围是.一、单选题1．下列命题中，正确的个数有（

）①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【详解】易知，故①正确；，故②错误；著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；表示有一个元素的集合，不是空集，④错误；空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误；，故，故⑥正确.故选：B2．已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】，又，，故集合为包含元素和，且为的子集，故集合可以为：，则集合的个数是个.故选：B.3．设集合，则下列表述正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】,所以，，，故ABD错误,C正确,故选：C4．已知集合，，若，则实数的值为（

）A． B．0 C． D．2【答案】D【详解】由题意，，，故选：D.5．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，所以有且仅有一个解，当，则，满足要求；当，则，满足要求；综上，满足条件的实数m组成的集合是.故选：B二、多选题6．下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C错误；D选项，只有当和时，，故，D正确.故选：BD7．若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（

）A．幸福集合个数为8B．幸福集合个数为7C．不含1的幸福集合个数为4D．元素个数为3的幸福集合有2个【答案】BD【详解】具有“幸福关系”的元素组有：三组，含一组的有，，共3个，含二组的有，，共3个，含三组的有共1个.所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对；其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误；其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD三、填空题8．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是.【答案】【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，则，解得，所以a的取值范围值是.故答案为：.9．已知集合A包含3和两个元素，集合B包含和两个元素，且，则实数．【答案】3或【详解】由题意，或.故答案为：3或.四、解答题10．设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数.【答案】集合A的所有子集见解析，集合A的所有子集共有16个【详解】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形：情形一：不含任何元素的子集有；情形二：含有一个元素的子集有；情形三：含有两个元素的子集有；情形四：含有三个元素的子集有；情形五：含有四个元素的子集有；因此集合A的所有子集共有个.11．已知集合.(1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合；(2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围.【答案】(1)或，或(2)【详解】（1）时，解得符合题意；时令解得，此时，解得符合题意，故或，或（2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.由（1）知或时符合题意.由题意可知时若也符合题意.即解得且.综上.12．已知集