2025年高考数学总复习专项训练：空间向量及其运算

专练38空间向量及其运算

［基础强化］

一、选择题

1.在平行六面体ABCD-AiBiCiQi中，向量瓦?，1\C,不可是（）

A.有相同起点的向量B.等长向量

C.共面向量D.不共面向量

答案：C

解析：,

又AC,DiA,01c共面，

2.已知向量。=(2m+1,3,加-1),b=(2,m,一机)，且a〃儿则实数机的值为()

3

A.2B.—2

C.0D.|或一2

答案：B

2=(2m+1)A,

解析：.\b=Xa,＜加=3九得加=-2.

，一m=2(m—1),

3.已知空间两点尸(一1,2,-3),2(3,-2,-1),则P,Q两点间的距离是()

A.6B.2/C.36D.2小

答案：A

解析：\PQ\=

、[3—(—1)产+(—2—2)2+[―1—(—3)产=(16+16+4=^36=6.

4.如图所示，在平行六面体ABC。一A/1C01中，M为4G与81A的交点，若赢=a,AD=b,AA1

=c,则下列向量中与BM相等的向量是（）

A.-2〃+]b~\~c

B.；a+gb+c

C.—2a—2b~\~c

D.2a—2b~\~c

答案：A

解析：由题意知=BA+AAi+ArM=~a+c+^(a+b)=—^b+c.

5.已知Q=(2,-1,3),)=(—1,4,-2),c=(7,5,2),若a,b,c三向量共面，则实数丸等于()

A62636465

•7XJ•7.7.7

答案：D

解析：Va,b9c共面，.\c=xa+yb.

(7,5,2)=(2x,—x,3x)+(—y,4y,-2y),

C17

y，

-2x—y=7,

「・<—x+4y=5,得<%=草

、3x—2y=X,65

2=弁.

V/

6.如图所示，在四棱锥P—A8CQ中，底面ABC。是正方形，E为中点，若或=a,PB=b,PC

=c,则BE=()

A，2a—2)c

cl1,1

B.2a-2b一2c

C.2a—2ft+2c

-11-3

D.2'20

答案：C

»^P~\~

解析：为P£)的中点，：.BE=-5—

=1(-PB+BD)

]―►-►­►―►―►

=](-PB+PA-PB+PC-PB)

=一|两+|PA+|PC

=5«-2b+2，

7.已知向量。=(1,0,-1),则下列向量中与。成60。夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

答案：B

解析：'/|a|=-\/12+02+(—1)2=巾,设5=(—1,1,0),\b\=yf2,a5=—l<0,故A不正确；

对于B,设c=(l,—1,0),ac=l,\c\=-^2.Acos〈a,c>=1，

/.(a,c〉=60°,同理可得C、D不正确.

8.已知a=(2,—1,3),b—(—4,y,2),且a_L(a+Z)),则y的值为()

A.6B.10C.12D.14

答案：C

解析：a+Z>=(—2,y—1,5),*/aX(a+Z>),

.\-2X2-Cy-l)+3X5=0,得y=12.

9.已知空间四边形ABC。的每条边和对角线的长都等于a,点E,P分别是BC,AD的中点，则靠AF

=()

A.a2B.；a?C./a2D.坐a2

答案：C

解析：依题意，

4

点E,F为BC,A。的中点，如图所示，AE-AF=1(AB+AC).1AD=1(ABAD+ACAD)=1

(a2cos60。+a2cos60。)=；a2.

二、填空题

10.已知a=(0,—1,1),5=(4,1,0),|猫+方,且%>0,则,

答案：3

解析：：加+》=(4,1一九

Ra+b\=^/42+(1-/)2+/2=^29,：.17+2A2~2A=29,

.,.2=3或X——2(舍).

11.在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9),5(10,-1,6),C(x,4,3）为顶点的△ABC是以8c为

斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为.

答案：2

解析：由题意得赢AC=0,诵|=|而|,

又AB=(6,~2,—3),AC—(X—4,3,—6)

6(无一4)-6+18=0,

得x—2.

(X—4)2=4,

12.在三棱锥O—A3C中，M,N分别为。4,8C的中点，设力=aOB=b,OC=c,则而V=

答案：；(b+c—a)

解析：MN=ON-OM

二义(OB+OC)—2OA

=3（b+c—a）

［能力提升］

13.已知长方体ABC。一A/iCid中，下列向量的数量积一定不为。的是（）

__________a

A.AD1B1C

B.BD1-AC

C.AB-ADI

D.BD1.BC

答案：D

14.在正方体ABC。一A/iCbDi中，棱长为2,O是底面的中心，E,尸分别为CG，AD的中点,

则异面直线OE与FDi所成角的余弦值为（）

V15

5

答案：B

解析：：近=3温=/(AB+AD+直),

FD1=|AD+AA1,

：.OE.西=3(AB+AD+AAl).(|At)+司1g(|ABAD+AB•+谢AD2+AD-+AA

1>—►-------->2

+弓AAVAD+AA1=3.

ffflOE|=1^/22+22+22=^3,\FDr\=y[5,

..cos\OE,FDi〉=-------.

iofe两

15.如图所示，在大小为45。的二面角A一跖一。中，四边形A3FE,CDEF都是边长为1的正方形,

则2,。两点间的距离是（）

A.小B.也

C.1D..3一啦

答案：D

解析："：BD=赤+FE+ED,

：.\BD|2=|BF|2+|FE|2+|ED|2+2(BF-FE+FEED+EDBF)=1+1+1+2(0+0—乎)=3-

V2.

：.\BDE3f.

16.

\7

已知V为矩形ABC。所在平面外一点，且侬=VB=VC=VD,诙=§证？，丽=§诵，丽=弓丽，

则W1与平面PMN的位置关系是.

答案：