平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）（解析版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03考点突破题型探究............................................................4

知识点1：平面向量的数量积*......................................................4

知识点2：数量积的运算律........................................................5

知识点3：数量积的性质..........................................................5

知识点4：数量积的坐标运算......................................................6

解题方法总结...................................................................7

题型一：平面向量的数量积运算....................................................7

题型二：平面向量的夹角问题.....................................................10

题型三：平面向量的模长.........................................................13

题型四：平面向量的投影、投影向量...............................................15

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................19

题型六：建立坐标系解决向量问题”................................................20

题型七：平面向量的实际应用....................................................26

题型八：向量回路恒等式........................................................31

04真题练习命题洞见...........................................................32

05课本典例高考素材...........................................................34

06易错分析答题模板...........................................................38

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错..................................38

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积......................................38

1/40

考点要求考题统计考情分析

平面向量数量积的运算、化简、证明及数量

积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考

2024年I卷第3题，5分的内容，单独命题时，一般以选择'填空形式出

2024年H卷第3题,5分现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函

（1）平面向量的数量积

2023年I卷第3题，5分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工

（2）平面向量数量积的

2023年II卷第13题，5分具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇

几何意义

2023年甲卷（理）第4题，5分点，务必引起重视.

2022年H卷第4题，5分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义

及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合

的解答题也是热点.

复习目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

2/40

㈤2

〃皿SM图•里维己［肮

已知两个计零向量与认我们把数量同叫做与方的数量枳（或内枳），

一:平面向量数量积的定义7NesHZ

记作i石，即£石=|司司cosO,规定：零向量与仆-向量:的数盘枳为0.

平面向量的数量后）何以》。叫做向最方向上的投影数量,

「（向量的投影当。为锐角时，它是正数；

当。为钝角时，它是倒数；

/平面向量数量积的几何意义;一当。为直角时，它是0.

1（拼行的几何意义）—（数量积3万等的长度同与W而方向上射影向cose的乘枳.）

a-b=b-a

数量枳的运算律y--（（而防=入（3句=>•（坊.）

（a+b）-c=a-c+b-c

-He'a=a'e-\a\cosG）

平面向量的数量积及其应用当£与各同向时,31加=同同;

数量积的性质当Z与方反向时，a*F=-|a||d|.

ab一

皿8=1=^（同同工0）

回冏

已知非零向展方=（不，%），h=（x2,y2）,。为向量方、/>的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/a-a|5|=7^+/

数量枳a-b=|5||b\cosO方.6=&*2+乂月

⑺加三

cos"-,斗'+兴?，

数量积的坐标运算夹角

1方也打+y：3；+*

方，力的充要条件a-h=0X卢2+凶必=°

a//b的充要条件a=Zb（bw。）£而一/凶=°

商而引方面的\a-b\<\a\\b\（当H仅

1工*12+九%|WWf-&+父

美系当方〃，时等号成立）

3/40

知识固本

知识点1:平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量方与5,我们把数量Wilcos。叫做G与3的数量积（或内积），记作。而，即

a-b=\a\\b\cos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|可cose叫做向量）在Z方向上的投影数量，当夕为锐角时，它是正数；当夕为钝角

时，它是负数；当6为直角时，它是0.

②方片的几何意义：数量积3片等于2的长度|Z|与Z在方方向上射影|Z|cos。的乘积.

③设G,B是两个非零向量，它们的夹角是与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过在

的起点/和终点8,分别作前所在直线的垂线，垂足分别为4,四，得到布，我们称上述变换为向量值

向向量很投影，4瓦叫做向量a在向量3上的投影向量.记为|矶cos距.

【诊断自测】（2024•安徽安庆・三模）已知线段是圆O的一条长为4的弦，则而.在=（）

A.4B.6C.8D.16

【答案】C

【解析】取48中点C，连接OC,

4/40

易知。C_L/5,所以=+2x4x1+0=8.

故选：C.

知识点2：数量积的运算律

已知向量Z、b>2和实数4,贝1J：

①方•/)二6•石；

②(ZH)-b=A(a-b)=a-(Ab)；

+b}'c=a-c+b-c.

【诊断自测】(2024•四川雅安•模拟预测)在小BC中，/5=4,/。=3,且方，就，则9.就=

()

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

【解析】因为方_L就，所以方.％=()，

AB-BC=AB-^AC-ABj=AB-AC-AB=0-42=-16.

故选：B

知识点3：数量积的性质

设d、石都是非零向量，5是与Z方向相同的单位向量，6>是石与5的夹角，则

@e-a=a-e=\a\cos0.@aLb<=>a-b.

③当日与Z同向时，a-b=\a\\b\；当Z与Z反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，鼠石=用/或

④cos0="匕（|21|i0）.⑤12.Z|W|2|向.

\a\\b\

【诊断自测】（2024・西藏•模拟预测）已知向量Z=（cos[a+；],sin（a+3],

g=kos[e+g）,sin[a+=[.若（2〃+可_L,+/）,则实数x的值是（）

A.—2B.—C.~D.2

22

【答案】A

5/40

【解析】由题意得,卜.=1,a-坂=c°s[a+'|Jxcos[a+谓]+sin]a+,xsin]a+.

=cos^a+y-a-g）=cos[-^]=°，因为（24+可_L（a+口）,

所以（2“+4（＜7+口）=0,所以2@+而（=0,所以2+x=0,解得x=-2.

故选：A.

知识点4：数量积的坐标运算

已知非零向量2=（X],乂），b=（x2,y2）,0为向量3、3的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=y/a-a\a\=^x2+y2

数量积

a-fe=|a|||cos3a-b=xxx2+yxy2

cos",」二产

夹角cos3=

♦0Jx；+y；々考+y；

|2||6|

alb的充要

a-b=0x}x2+y}y2=0

条件

a//b的充要

a=Ab（bw0）x/2-Z弘=0

条件

|<|a||6（当

|九|与

1再超+必力iw

且仅当N〃g时等号成Jx；+y；,J%；+/

\a\\b\的关系

立）

【诊断自测】已知平面向量方=（1,网了=（6,1）,且3“彼-司，则实数2的值为（）

A.-B.—C.YD.-

3223

【答案】B

【解析】由已知得同=』+（省『=2,=1x73+73x1=273,

又。，0-篦），所以屋，一府）=0,即小B-须2=o，

所以2道-42=0，解得力=心.

2

故选：B.

6/40

解题方法总结

（1）B在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于o.

（2）数量积的运算要注意6时，）/=0，但小B=o时不能得到及=6或分=0,因为日,不时，

也有3防=0.

（3）根据平面向量数量积的性质：|a|=J展〉，cos0=,3_LB=34=0等，所以平面向量

\a\\b\

数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

（4）若〃、b、c是实数，则==c（awO）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量

G、B、了满足=H（方。0）,则不一定有B=即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时

乘以一个向量.

（5）数量积运算不适合结合律，即（鼠3）,工。屋（=3）,这是由于（限3）1表示一个与E共线的向量，

a-（b-c）表示一个与a共线的向量，而2与己不一定共线，因此伍石）高与晨（九己）不一定相等.

1题型洞察J

题型一：平面向量的数量积运算

【典例1-1】设平面向量a=(1,3),|B|=2,JL|a-Z)|=VTo,贝!](2G+3)(G-B)=()

A.IB.14C.V14D.M

【答案】B

【解析】因为Z=(i,3),所以同=厮，又⑸=2,

贝山@一3|2=。2一2晨3+庐=14一2限3=10,

所以Z4=2，

贝3+研力)=2方_鼠/铲

=20-2-4=14,

故选：B.

【典例1-2】在RM4BC中，ZC=90°,48=4,AC=2,。为AABC的外心，则近.团=()

A.5B.2C.-4D.-6

【答案】D

【解析】在RtA/3C中，/B=4,AC=2,SC=A/42-22=273-N8=30°

7/40

.•.（/0,50）=150。

又。为的外心，「.O是45的中点，/.40=2

UUITUUT|UUIT|.UUT.<1A

.■.^O-JBC=|^O|-|J8C|-cosl50°=2x2V3x--=-6

故选：D

【方法技巧】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量

数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

【变式1-1］（2024・高三,吉林四平•期末）已知向量工B满足|同=2,区|=6，且3与B的夹角为己，

贝1」仅+抄（2（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】B

【解析】、

由同=2,向=6,且3与B的夹角为g

6

r、/rr、r2rrr2

所以（Q+叶（2Q-6）=2Q+a-b-b

=2,+耶崂前

.2

=2x2?+2x6x号-⑼一=8.

故选：B.

【变式1-2］已知同=6,间=3,向量1在B方向上投影向量是4配则五为（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【解析】）在3方向上投影向量为同cos。工=4*

.,.同cosO=4,/.a-b=|5||z>cos0=4x3=12.

故选：A

【变式1-3］（2024•安徽芜湖•模拟预测）已知边长为1的正方形/BCD,点、E,尸分别是5C,CD的中

点，则冠.而=（）

8/40

【答案】D

【解析】边长为1的正方形48cZ）,/U.3LUL.4LDlUUl=0，I网-------►!=%I-----。---\|=1，

故选：D.

【变式1-4］（2024•陕西安康•模拟预测）菱形48co的边长为2,60。，以。为圆心作圆且与

AQ-AE

相切于是。。与的交点，则f.

E,QC0叩一

【答案】1+V3/V3+1

【解析】由题可知q同=6,|赤|=1贝”而卜百，

所以诟.荏=八冠卜os60°=1,而.近=|丽1次卜os0°=百，

故而.荏=（而+而）.荏=25万+9石=1+5

故需^+后

【变式1-5］（2024•浙江宁波•模拟预测）已知“8C是边长为1的正三角形，丽=；祝，尸是3N上一

—►—►2—►

点且4尸=加48+§4。，则/尸（）

9/40

【答案】A

xnr

___i____IMFiuuiruuiruur7umrQuuir

【解析】vAN=-NC,AN=-AC,^AP=mAB+-AC=mAB+-AN,

3499

o1

而尸1,N三点共线，，加+§=1,即加=,,

umr1umr2UULT

/.AP=-AB+-AC,

99

所以方.在=［而+£刀=：+1xcos60°=-|.

故选：A.

题型二：平面向量的夹角问题

【典例2-1］（2024•陕西安康•模拟预测）已知单位向量获满足归-3*3,则cosR»=

【答案】|

6

【解析】因为卜-3可=3,且⑷=行口,

所以|1-33「=9,

所以值2一6万•B+9庐=9，

一1

即展

6

又展B="•WcOS@,B）同=同=1,

所以cos伍=L

\'6

,则向量扇B的夹角的余弦值为

10/40

【答案】近

14

13

@•b1+-5近

【解析】设向量扇3夹角为6,贝!1。。$。=可亓___2

abVTT

\\\\——x2

2

故答案为:等.

【方法技巧】

求夹角，用数量积，由:4=1码柘|cosg得cosg=）+上必=进而求得

同劭I府尸百

向量扇B的夹角.

【变式2-1］（2024•江西宜春•三模）已知£,石均为非零向量，若12HH司=2内，则［与石的夹角

为—,

【答案】|

【解析】由121gl=|",可得2£-司2=向2,即4|彳_4々％+|必=向2,解得£%=向2,

因为|昨2内，所以侬母分二小乡二坦三月，

111।'1\a\\b\2|a|22

又因为0W,兀，所以（々范）="|.

故答案为：j-.

【变式2-2］已知3=（2,1）3=（冗-2）,左eR为与否的夹角为。.若9为钝角，则上的取值范围是—.

【答案】左＜1且左片一4

八a-b2k-2

【解析】由C°S6=WM=J^.J4+4，且。为钝角，所以2左-2＜0,解得上＜1,

当Z//B时，贝iJ2x（-2）-左=0,解得k=一4,此时a与B夹角为兀，不成立，

:.k＜1且kR—4.

故答案为：左＜1且后R-4.

【变式2-3］（2024・高三・天津宁河•期末）已知单位向量录与后的夹角为三，则向量1+2届与2,-3后

的夹角为.

【答案】丁/120°

11/40

【解析】因为单位向量6与e2的夹角为三,

所以q.=k小同cos-=lxlx-=i

322

7

所以（，+24），（2,_36）=2,+^-e2-6e2=2H-----6=—

22

/―►―»\2--2―►—►--21

（6+2%）=,+4,,6+4色—l+4x—+4—7故kI+2e2卜V7,

=4-12x-+9=7故区一3司=V7,

2

7

（令+

-21

所以cos（q+2?2,2q

,+2e2|-|2^-3e2|V7xV72

又卜+12色,2,-362）£[0,兀]，

_—、—*—►—►711

所以向量q+2e2与2q-3e2的夹角为可".

故答案为：—

【变式2-4](2024•四川绵阳•模拟预测)平面向量a与B相互垂直，已知a=(6,-8),⑸=5,且B与

向量(1,0)的夹角是钝角，则行=—.

【答案】(-4,-3)

【解析】设1=(x,y),;Z_L1,.,.万Z=0，，6。-80=0,①，出|=Jx?+丁=5，②，

因为B与向量(1,。)夹角为钝角，，x<o,③，

(%=—4

由①②③解得a，：万=(-4,-3).

[y=-3

故答案为：(-4,-3).

【变式2-5](2024・四川绵阳•模拟预测)已知非零向量满足2同=欠，且)“”勺，则漏的夹角

大小为

【答案】j

【解析】因为设向量z与3的夹角为6,

所以展(力)=32一展]同2T同问as。=0,

又因为2同=同，

所以同2—2同•同cos®=0,所以cos8=g.

12/40

7T

因为0«。<兀，所以6=1.

所以向量Z刃的夹角大小为三.

故答案为：J.

【变式2-6］（2024•上海•模拟预测）已知向量心b，3满足m=W=1,同=应，且"另+3=6,

4

【答案】y/0.8

【解析】由题才+6=-故（万+B）=（-己）“=52即方2+庐+23•B=己2,

=>14-1+25*6=2，a*b=0;

a+c=-b,故（方+。2=卜3）=b2BPa2+c2+2a^c=b2

=>1+2+2万・c=1，=>N・c=-1;

2222

b+c=-a故（3+4=（_«）=atipK+c"+2b-c=a>

=>1+2+2B・C=1，=>B・C=-1,

所以仅一切,仅一可=万石一（万+3七+32=2》2=4,

且B—日=J仅一可2=，/2+于一2〃=6,忸_@==y/b2+c2-2b-c=y[5，

i一-_\（a-cUb-c）44

所以cos（a-c,b-c\=--------4-------=—j=-『=-.

\/\a-c\b-cV5XV55

4

故答案为：—.

题型三：平面向量的模长

【典例3-1］（2024・重庆•模拟预测）已知向量落很满足同=1，W=3,a-^=（2,V6）,贝！］桓+回=

【答案】3亚

【解析】同=1,W=3,=（2,&）可得归_可~=J+彳-2a4=22+（痛）=10=>a-S=0,

故国+B卜V9fl2+b2+6a-b=^9+9=3立，

13/40

故答案为：3也

【典例3-2](2024•浙江温州•二模)平面向量落3满足3=(2,1),a//b,展3=则|可=

【答案】V2

【解析】设向量不=(x,y),由可得3=；，

又展不=-丽，贝!]2主+卜=-丽，

故答案为：V2

【方法技巧】

求模长，用平方，I利=后.

【变式3-1](2024•安徽池州・模拟预测)已知向量1=(4,-2),3=(-2"),且4与B共线，则

忸+2可=_.

【答案】4亚

【解析】因为3与B共线，

所以4/-卜2)'卜2)=0P2=1,

所以3=(-2,1),

所以31+2彼=3(4,-2)+2(-2,1)=(8,-4),

所以g+2.=符+卜4『=46，

故答案为：4^5.

【变式3-2](2024•江苏连云港•模拟预测)若向量比，力满足网=1,\n\=2,且(而-万)，而，则

忸一司二()

A.1B.V3C.V7D.2

【答案】B

【解析】因为(玩-五)，玩，所以(市一元)・应=0,

所以|比『一|比||五|cos6=0,所以cos6=；,其中夕是玩，拓的夹角,

14/40

所以|应一同=J(/一瓦)2=jl+4-2x2xlxg=n

故选：B.

【变式3-3](2024•高三•上海奉贤・期中)已知平面向量Z，B的夹角为:，若问=1柄-可=加，则

w的值为.

【答案】3也

【解析】由'一0=两边平方得(2a-g)=10,4(?12-4a-Z)+Z)2=4-4xlx|/)|-cos^-+1^1=10,

|邛一2"W-6=0,帆一3V2)(|S|+V2)=0,解得W=3也

故答案为：3万

题型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1](2024•福建泉州•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点P在直线x+2y+l=0上.若向

1一

量。=(1,2),则丽在Z上的投影向量为()

D.(-1,-2)

【答案】A

【解析】由题可设P(-2-1J),则无=(-2/lJ),

所以OP-a=(-2?-1，0<1,2)=-1,又忖=A/12+22=垂,

故丽在々上的投影向量为

\op\cos(OP,^-^=|OP|—

'Z|«|MlalW|q|

故选：A.

【典例4-2](2024•新疆喀什・二模)在直角梯形ABCD中，AD//BC且BC=2AD,AB1AD,AC与BD

交于点0,则向量就在向量而上的投影向量为()

1—►1—►2—►3—►

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

【答案】C

15/40

【解析】在直角梯形数。中，4D//BC且BC=2AD,AB工AD,过。作OE_L48于E,

BC\BEBE2_2

而=2,从而\\

\BA~|SE|+|EL4|2+7-3,

__„_______„_____„__„2„

因此拈或二|Q|西cos/OBE=|函M=§I西2,

BOBA

所以向量的在向量防上的投影向量为BA=-BA.

3

故选：C

【方法技巧】

设3,否是两个非零向量，它们的夹角是仇己与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD^b,过方的

起点N和终点8,分别作曲所在直线的垂线，垂足分别为4,耳，得到福，我们称上述变换为向量己向

向量B投影，％瓦叫做向量G在向量B上的投影向量.记为|,|cos&.

【变式4-1］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量满足同=2石=（3,0）,归-小厢，则向量J

在向量3方向上的投影向量为（）

A.［川B,加C,加D.（1,0）

【答案】C

【解析】因为同=邛卜3,口一可=而，

所以归―4=52-25-6+62=22-25-6+32=10,得〃力.，

_3

所以向量Z在向量石方向上的投影向量为彗石=2役=匕3,0）=1,（）］.

麻96-，12n

故选：C

【变式4-2］（2024•广东深圳•模拟预测）已知向量2=（3,-4）,1=（2,0）,则£在右上的投影向量为

（）

A.1|,0）B.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【答案】B

16/40

【解析】因为2=(3,T),刃=(2,0),所以£4=6，忖=2,

a-bb6b3小八、八八\

所以Z在石上的投影向量为恸财=于5=5(2,0)=(3,0).

故选：B

【变式4-3】在三角形/5C中，若荔•就=0,数=2前，则向量正在向量海上的投影向量

为.

【答案】\AB

2

【解析】因为反^=2的，所以。为线段3c的中点,

因为在•就=0，所以下_1_就，所以/A4c=90。,

所以。4=08=OC,

所以。08为等腰三角形，

所以向量彳万在向量刀上的投影向量为

AO-AB冠」网J画cos/胡。万

网,时同眄

1

园润.2

卜°益

—---------[,]----------।——A.B

网网2

故答案为：工4B.

2

【变式4-4】已知向量Z与B的夹角为去同=码可，设在。上的投影向量为花，贝IU=()

33

A.B.C.D.

222

【答案】A

【解析】B—z在£上的投影向量为4人

17/40

一一一2

cb-a-a

则有/=口2,

H

又向量z与3的夹角为詈，同=6忖,

故选：A.

22

【变式4-5】已知双曲线。：］-卓=1(。>0/>0)的左、右焦点分别为8,C以5c为直径的圆与渐近线

交与点4连接与另一条渐近线交与点£,。为原点，OEIIAC,且|/C卜2.若布在就上的投影向量

3uuor

为二BC,则就.而=()

4

A.-4B.-2gC.-2D.-V3

【答案】A

【解析】以3C为直径的圆与渐近线交与点4与另一条渐近线交与点E,

则/3/C=90。，由O57//C,所以OE_L/B,NEOB=ZAOC=ZACB,

又OA=OC,贝IJ/CMC=N/OC=N/C5,即。OC是等边三角形，

\AC\=2,则同=4,

所以加・瑟=|莎(前卜os8=|j就『=12,

由图得，A