初中数学 有理数的加减运算 知识梳理与分类讲解

专题2.8有理数的加减运算（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】有理数的加法

1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法.

2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号

两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数

的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数.

3.运算律：

文字语

两个数相加，交换加数的位置，和不变

加法交换

律

符号语

a+b=b+a

言

有理数加法运

算律

文字语三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数

相加，和不变

加法结合

律

符号语

(a+b)+c=Q+3+C)

重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号.

【知识点二】有理数的减法

1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：

（-5）+?=7,求？,减法是加法的逆运算.

【要点提示】（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2）几个有理数相减，差仍为有理数,

差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值.

2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b=a+（-b）.

【要点提示】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把

减数变为它的相反数”.

【知识点三】有理数加减混合运算

将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

试卷第1页，共6页

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1]有理数的加法运算

【例1】(2024七年级上•全国・专题练习)

1.计算下列各题

(1)180+(-50)；

(2)(-2.8)+(-1.4)；

【变式1】(23-24七年级上•山东潍坊•期中)

2.将-(-5)+(+6)+(-3)-(+2)写成省略加号后的形式是()

A.5+6—3—2B.—5+6—3—2C.5+6+3—2D.—5+6—3+2

【变式2](23-24七年级上•浙江台州•阶段练习)

3.若。=4,|切=3,且〃6<0,贝！J〃+b=.

【题型2]有理数的加法运算律

【例2】(24-25七年级上•全国•随堂练习)

4.计算：

(1)15+(-19)+18+(-12)+(-14)；

⑵2.75+[-2；]+[+1J+1-14»+(-5.125).

【变式1】(24-25七年级上•全国•随堂练习)

5.6-2+5-8+12=(6+5+12)+(-2-8)是应用了()

A.加法交换律B.加法结合律

C.分配律D.加法的交换律与结合律

【变式2】(20-21七年级下•上海杨浦•期中)

6.计算：0.125+2；+1一2川(一0.25)=.

【题型3】有理数的减法运算

【例3】(23-24七年级上•山东临沂•阶段练习)

7.计算：

(1)(-13)+(-8)=

(2)(-0.9)+1.51=

试卷第2页，共6页

（3）90-（-3）=

（4）0.75-^-3^=

【变式1】（23-24七年级上•江苏宿迁•阶段练习）

8.有理数a,6在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中错误的是（）

h0a

A.b<0<aB.|6|>\a\C.b-a>0D.a+b<0

【变式2】（23-24七年级上•海南省直辖县级单位•期末）

9.若（。-2）2+|6—1|=0,则b—Q=.

【题型4］有理数的加减混合运算

【例4】（24-25七年级上•全国•随堂练习）

10.计算：

（1）4.1-（-8.9）-7.4+（-6.6）；

（2）］—历］+（+23）+（-0.1）+（-2.2）+］+—+（+3.5）.

【变式1］（2024•河北石家庄•二模）

11.式子-2-1+6-9有下面两种读法；

读法一：负2,负1,正6与负9的和；

读法二：负2减1加6减9.

则关于这两种读法，下列说法正确的是（）

A.只有读法一正确B.只有读法二正确

C.两种读法都不正确D.两种读法都正确

【变式2】（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）

12.在数轴上有一个动点尸从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动.若点尸

的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长

度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点P在数轴上所对应的数

是.

【题型5】有理数加减中的简便运算

［例5］（21-22七年级•全国•假期作业）

13.用较为简便的方法计算下列各题：

试卷第3页，共6页

192

(2)-8721+53------1279+4—；

【变式1】（23-24七年级上•河南驻马店•阶段练习）

1132

14.在计算:-：+2；+］时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（）

2_j_3

3-44

2_13_J_3

3~34-44

【变式2］（23-24七年级上•重庆•阶段练习）

22222

15.用简便方法计算：9y+99y+999y+9999y+99999y+4=.

【题型6】有理数加减混合运算的应用

【例6】（2024七年级上•全国•专题练习）

16.小虫从点。出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记

为负，爬行的各段路程依次为：+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.（单位：cm）

⑴小虫最后是否回到出发地。？为什么？

（2）小虫离开。点最远时是多少？

（3）在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？

【变式1］（23-24七年级下•福建莆田•期末）

17.将-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子

中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于"，则〃的最大值是（）

C.10

【变式2】（2024•甘肃平凉•一模）

试卷第4页，共6页

18.一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正,

下车人数记为负，单位：人）；-3,+4；-5,+7；+5,-11.此时公交车上有人.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024•内蒙古赤峰•中考真题）

19.如图，数轴上点M,3分别表示数。+仇b,若4M>BM,则下列运算结果一

定是正数的是（）

IlliIlinIlli

A.a+bB.a-bC.abD.|a|-^

【例2】（2024•陕西•中考真题）

20.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0,-2,-1,1,2这五个数分别填在

五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内

的数可以是.（写出一个符合题意的数即可）

[例1]（24-25七年级上•全国•假期作业）

21.计算.

（1）2004--2003-+2002--2001-+-««+2--1-+-

i,2323232

（2）2023-2020+2017-2014+2011-2008+……+16-13+10-7+4

【例2】（23-24七年级上•天津静海•阶段练习）

22.观察下列各式的特征：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；；—：二；—：；：—根

乙JNJJN

据规律，解决相关问题：

（1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）：

77

①"21|=；@7T--=;

i/1o

（2）当时，\a-b\=；当〃<6时，|。一耳=.

试卷第5页，共6页

(3)有理数。在数轴上的位置如图，则化简|。-2|的结果为()

A.〃一2B.a+2C.2-aD.—ci—2

合理的方法计算：；；111

(4)++|----F,—F

420042003

试卷第6页，共6页

1.(1)130

⑵-4.2

【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键.根据有理数

加法法则进行运算即可.

【详解】(1)解：原式=+(180-50)=130；

(2)解：原式=-(2.8+1.4)=_4.2.

2.A

【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义.注意：减去一个数，等

于加上这个数的相反.

注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即可把减法统一成加法.省略加号时，注意

符号变化法则：++得+，一得+，-+得-，+-得一.

【详解】解：原式=一(一5)+(+6)+(-3)_(+2)

=(+5)+(+6)+(-3)+(-2)

=5+6—3—2,

故选：A.

3.1

【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键.

由绝对值的性质先求得6的值，然后代入计算即可.

【详解】解：,。=4,|6|=3,

•••b=—3,

**•6z+Z?—4—3—1.

故答案为：1.

4.(1)-12

⑵-哈

【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计

算是解题关键.

答案第1页，共12页

(1)去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可.

(2)去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可.

【详解】(1)15+(-19)+18+(-12)+(-14)

15-19+18-12-14

=(15+18)+(-19-12-14)

=33+(-45)

⑵2.75+12沙(+4+卜臼+

5.D

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键.

【详解】

解：6-2+5-8+12=(6+5+12)+(-2-8)是应用了加法的交换律与结合律，

故选：D.

6.0

【详解】原式=；+2；+.2j+卜j

=-2+2

=0

故答案为：0.

【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法交换律和结合律是解答本题的

关键.

7.(1)-21

(2)0.61

答案第2页，共12页

(3)93

⑷4

【分析】此题考查有理数的加减法运算，掌握运算法则是解题关键.

(1)同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；

(2)异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

(3)减去一个数，等于加上这个数的相反数；

(4)减去一个数，等于加上这个数的相反数.

【详解】⑴解:(-13)+(-8)

=-(13+8)

=-21；

(2)解：(-0.9)+1.51

=+(1.51-0.9)

=0.61；

(3)解：90-(-3)

=90+3

=93；

=4.

8.C

【分析】本题考查了有理数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的加减法运算法则,

绝对值的定义.

利用数轴知识，有理数的加法、减法，绝对值的定义判断.

【详解】解：••・由数轴可知，b<O<a,\b\>\a\,

''-A,B选项正确，不符合题意；

■■■b-a<Q,

答案第3页，共12页

・•.C选项错误，符合题意;

t:b<0<a,\b\>\a\,

・•・a+b<0,

・•.D选项正确，不符合题意.

故选：C.

9.-1

【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的加减混合运算，由平方和绝对值的非负性得

:一;二:,即可求解；理解非负性是解题的关键.

p-l=0

【详解】解：由题意得

a—2=0

6-1=0

a=2

解得

b=\

b-a

=1-2

=-1.

故答案：-1.

10.(1)-1

(2)24.2

【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键.

(1)把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案；

(2)应用加法的交换，结合律，即可计算.

【详解】(1)解：4.1-(-8.9)-7.4+(-6.6)

=4.1+8.9-7.4-6.6

=13-14

-1

+(+23)+(-0.1)+(―2.2)+(+：

(2)解:+(+3.5)

答案第4页，共12页

77

=——+—+23+3.5-0.1-2.2

1010

=24.2.

11.D

【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读

法.据此解答即可.

【详解】解:对于式子-2-1+6-9,

可读作：负2,负1,正6与负9的和；也可读作：负2减1加6减9,

两种读法都正确.

故选：D.

12.2

【分析】本题考查的是有理数的加减运算应用，理解题意，先列式，再计算即可.

【详解】解：•.•1+2+3+4+5+6+7+2=30,

由题意得：第30秒对应的数为：

1-2+3-4+5-6+7-2

=2,

故答案为：2.

3

13.(l)-19y

(2)-9942

⑶口

~20

【分析】(1)原式结合后，相加即可得到结果；

(2)原式结合后，相加即可得到结果；

(3)原式结合后，相加即可得到结果；

(4)原式利用减法法则变形，结合后计算即可得到结果.

答案第5页，共12页

=-8-11-

=-19-；

192

(2)-8721+53--1279+4—

2121

=(-8721-1279)+卜畀吟)

=-10000+58

=—9942；

---54

13

二1—

54

11

~20；

113532

(4)3-+(-5-)-(-1-)-(+3-)+(10-)-10-

464675

113532

——5-+1——3-+10——10-

464675

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.

14.D

【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计

算.

1132123_j_

【详解】解：---+2-+--+—

334~4

故选：D.

【点睛】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到

题目的特征是解决问题的关键.

15.111111

答案第6页，共12页

【分析】原式变形后，计算即可得到结果.

22222

【详解】解:原式=(9+99+999+9999+99999)++4

55555

=(10+100+1000+10000+100000-5)+|x5+4

=111111,

故答案为：111111.

【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

16.(1)小虫最后回到了出发地。理由见解析

(2)向右12cm

(3)54粒

【分析】本题考查了利用有理数的加减混合运算解决实际问题，绝对值的概念，熟练计算是

解题的关键.题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝

对值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和

路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小.

(1)将所有的路程相加即可得到答案；

(2)分别计算前两次路程和、前三次路程和......前七次路程和，比较各和的绝对值，

绝对值最大的便是所求+12；

(3)将各路程的绝对值相加即可得到答案.

【详解】⑴解：(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10),

=(5+10+12)+(-3-8-6-10),

=27—27,

=0,

根据题意，0表示最后小虫又回到了出发点O；

答：小虫最后回到了出发地。

(2)解：(+5)+(-3)=+2；

(+5)+(-3)+(+10)=+12；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)=+4；

答案第7页，共12页

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)=-2；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)=+10；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0.

因为绝对值最大的是+12,所以小虫离开。点最远时是向右12cm；

(3)解：卜5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜6|+|+12|+|-10|=54(cm),

所以小虫爬行的总路程是54cm,

由1x54=54(粒).

答：小虫一共可以得到54粒芝麻.

17.A

【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中,

有两个数被重复计算了.先求出所有数字之和，得出15+①+②=3"，且"为整数，则

n=5+®±®,进而推出当①+②=4+5=9时，"有最大值，即可解答.

3

【详解】解：-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6=15,

•.•所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于〃，

.•.15+①+②=3”，且力为整数，

整理得：〃=5+处修，

3

.・•当①+②最大时，〃有最大值，

,・•〃为整数，

二当①+②=4+5=9时，〃有最大值，

9

此时n=5+—=8,

3

故选：A.

18.10

答案第8页，共12页

【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所

有上车下车人数的和，即可求解.

【详解】解：13-3+4-5+7+5-11

=10(人)，

故答案为：10.

19.A

【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到"0,b>0

且〈同是解题的关键.

数轴上点4,M,3分另Ll表示数a+b,b,贝!|/Af=。+b-a=6、BM=b-(a+b)=-a,

由㈤11>民以可得原点在/、M之间，由它们的位置可得"0,a+b>0,b>0且同<可，

再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可.

【详解】解：数轴上点/,M,8分别表示数“，a+b,b,

：.AM=a+b-a=bBM=b-^a+b^-—a,

•・,AM>BM,

・•・原点在/之间，由它们的位置可得。<0,6>0且同<同，

：.a+b>0,a-b<0fab<Q,\a\-b<0,

故运算结果一定是正数的是6.

故选：A.

20.0

【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即

可得出结果.

【详解】解：由题意，填写如下：

21+0+(-1)=0,2+0+(-2)=0,满足题意;

故答案为：0.

21.(1)1169-

(2)1012

答案第9页，共12页

【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为

2004+；-（2003+g）+2002+；_（2001+g[+…+2+；_（l+g）+g,然后去掉括号，将算式

变为2004+：-2003-5+2002+1-20014+--+2+:-1一+：,然后根据带符号搬家和括

2323232

号的应用，将算式变为

+…十15一5,再计算括号里面

(2004-2003)+(2002-2001)...+(2-1)+

1002个

的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为lxl002+Jxl002+2进行简算即可.

62

(2)合理分组：(2023-2020)+(2017-2014)+(2011-2008)+……+(13-10)+(7-4)+1每

两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可.

【详解】(1)2004--2003-+2002--2001-+---+2--1-+-

2323232

=2004+--I2003+-I+2002+--I2001+-|+---+2+--|1+-I+-

2(3)213J213)2

=2004+--2003--+2002+--2001--+---+2+--l--+-

2323232

2004-2003+2002-2001...+2-1+---+---+---+---+-

2

(2004-2003)+(2002-2001)...+(2-1)

1+1...+1+-+-+•--+-+-

=、io