2023九年级数学下册 第二章 二次函数5 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程的关系教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程的关系教案（新版）北师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程的关系教案（新版）北师大版教材分析《2023九年级数学下册第二章二次函数5二次函数与一元二次方程》选自北师大版，本节内容着重探讨二次函数与一元二次方程之间的关系。通过本节课的学习，学生可以理解二次函数图像与一元二次方程解的内在联系，掌握利用二次函数求解一元二次方程的方法，并能够运用所学知识解决实际问题。课程设计将紧密结合课本，以二次函数y=ax^2+bx+c与一元二次方程ax^2+bx+c=0的关系为核心，通过图像分析和数学推导，深化学生对二次函数图像与方程解的关系的理解。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，提升学生的数形结合思维，增强直观想象能力；在分析问题、解决问题的过程中，提高逻辑推理能力和数学抽象素养；结合实际情境，培养学生模型构建的能力，激发数学应用意识，增强数学在实际生活中的运用能力。通过本节课的学习，使学生形成科学的数学思维方式，为后续高级数学学习打下坚实基础。学习者分析1.学生已掌握了二次函数的基本概念、图像特点及性质，理解了二次函数的标准式和顶点式，能够绘制二次函数的图像，并了解其与系数的关系。此外，学生还学习过一元二次方程的求解方法，包括因式分解、配方法和公式法。

2.学生对数学学习的兴趣主要集中在解决实际问题和探索数学规律上。他们具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力，但在将理论知识应用到具体问题中时，可能需要更多的引导和实践。学生的学习风格多样，有的喜欢通过图像直观理解，有的则偏好通过公式和推导深入探究。

3.学生在将二次函数与一元二次方程结合起来解决问题时，可能会遇到的困难和挑战包括：难以理解图像与方程解之间的内在联系，对数形结合的思想方法不够熟练；在解决实际问题时，可能会忽略题目中的关键信息，导致建立错误的数学模型；对于二次方程根的判别式的理解不够深刻，影响到对问题解决策略的选择。教学方法与手段1.教学方法：采用探究式教学法，引导学生通过观察、分析二次函数图像，自主发现二次函数与一元二次方程的关系；结合小组讨论法，鼓励学生相互交流，共同解决实际问题；运用情境教学法，设置生活情境，激发学生学习兴趣，提高其解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体设备展示二次函数图像和一元二次方程的解，直观呈现数形结合的思想；运用教学软件进行课堂互动，如电子白板、数学软件等，方便学生实时操作和演示；利用网络资源，拓展学生视野，加深对二次函数与一元二次方程关系的理解。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-利用多媒体展示一个实际情境：某商品的价格与销售量的关系，提出问题：“如何确定商品价格以实现最大利润？”引导学生思考二次函数与实际问题的联系，激发学习兴趣。

2.讲授新课（20分钟）

-回顾二次函数的基本概念和图像特点，强调二次函数与一元二次方程的关联。

-通过数形结合，讲解二次函数图像与一元二次方程解的关系，指出判别式的意义，阐述何时有两个实数解、一个实数解或无实数解。

-结合实例，讲解如何利用二次函数求解一元二次方程，突出数形结合的思想。

3.巩固练习（10分钟）

-设计具有梯度的问题，让学生独立完成，如：根据给定的二次函数图像，求解对应的一元二次方程。

-小组讨论：每组选取一道问题，共同探讨解题思路，分享解题方法。

-选取几道具有代表性的解答，进行师生互动，分析解题过程中的关键点和易错点。

4.课堂提问（5分钟）

-针对本节课的重点和难点，设计问题，检验学生对二次函数与一元二次方程关系的理解和掌握。

-鼓励学生提出疑问，教师进行解答，引导学生深入思考，巩固知识点。

5.创新教学（5分钟）

-设计一个课堂小游戏，如“二次函数与一元二次方程连连看”，让学生在游戏中运用所学知识，提高解决问题的能力。

-利用多媒体展示不同情境下的二次函数图像，让学生观察并预测一元二次方程的解。

6.核心素养能力拓展（5分钟）

-提供一道拓展题，要求学生结合实际情境，建立二次函数模型，并求解一元二次方程。

-引导学生运用数形结合、逻辑推理等方法，培养学生的模型构建能力和数学应用意识。

7.总结与反馈（5分钟）

-教师对本节课的知识点进行简要回顾，强调二次函数与一元二次方程的关系。

-学生分享学习心得，提出疑问，教师进行解答。

教学过程总用时：45分钟

注意：以上教学过程设计仅供参考，实际教学中需根据学生的实际情况和反应进行调整。知识点梳理1.二次函数的基本概念和图像特点

-二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数。

-二次函数图像的开口方向和顶点坐标。

-二次函数图像的对称轴和与y轴的交点。

2.二次函数与一元二次方程的关系

-二次函数y=ax^2+bx+c的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解的对应关系。

-判别式Δ=b^2-4ac的值与一元二次方程解的个数及性质的关系。

3.二次函数求解一元二次方程的方法

-利用二次函数图像的交点求解一元二次方程的实数解。

-通过配方和顶点公式，将二次函数转化为顶点式，快速求解方程。

-利用公式法直接求解一元二次方程。

4.二次函数在实际问题中的应用

-根据实际问题建立二次函数模型。

-结合二次函数图像分析实际问题的最优解。

-应用二次函数求解实际问题的最大值或最小值。

5.数形结合思想的运用

-通过二次函数图像直观理解一元二次方程的解。

-利用图像分析二次函数的增减性和极值。

-将数形结合思想应用到解决实际问题中。

6.核心素养能力的培养

-培养学生的直观想象能力，通过图像分析理解二次函数的性质。

-提高学生的逻辑推理能力，通过数学推导建立二次函数与一元二次方程的关系。

-增强学生的数学建模能力，学会将实际问题抽象为数学模型并求解。

-激发学生的数学应用意识，将数学知识应用于解决现实生活中的问题。课后作业1.利用二次函数图像求解以下一元二次方程：

-2x^2-4x+1=0

-x^2-6x+9=0

-3x^2+4x-1=0

2.某商品的成本为每件10元，售价为每件x元，月销售量为y件，已知销售量y与售价x的关系为y=-3x^2+120x+200。请问：

-当售价为多少元时，月销售量最大？

-对应的月销售量是多少？

-当月销售量为500件时，售价是多少？

3.一辆汽车以vkm/h的速度行驶，其油耗（升/百公里）与速度的关系为f(v)=0.1v^2-2v+20。请问：

-什么速度下，油耗最低？

-最低油耗是多少？

4.以下抛物线y=-x^2+4x+5与x轴的交点情况如何？

-有两个交点

-有一个交点

-没有交点

5.某公司生产的产品，其年利润（万元）与年产量x（万件）的关系为p(x)=-2x^2+80x-200。请问：

-年产量为多少时，年利润最大？

-对应的年利润是多少？

补充和说明：

1.对于求解一元二次方程的题目，要求学生通过绘制二次函数图像，观察图像与x轴的交点来确定方程的实数解。

2.在商品销售问题中，学生需要将问题转化为二次函数模型，通过求解二次函数的最大值来确定售价和销售量的关系。

3.汽车油耗问题要求学生理解二次函数在现实生活中的应用，通过求解二次函数的最小值来找到最佳行驶速度。

4.抛物线与x轴交点问题，学生需要根据判别式的值来判断交点个数。

5.年利润问题要求学生建立二次函数模型，通过求解二次函数的最大值来找到最佳年产量。

答案：

1.

-2x^2-4x+1=0的解为x≈1.732,x≈0.268

-x^2-6x+9=0的解为x=3

-3x^2+4x-1=0的解为x≈0.333,x≈-1.333

2.

-售价为40元时，月销售量最大，为680件。

-当售价为25元或35元时，月销售量为500件。

3.

-速度为20km/h时，油耗最低，为16升/百公里。

4.

-抛物线y=-x^2+4x+5有两个交点。

5.

-年产量为20万件时，年利润最大，为200万元。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与度较高，能积极回答问题，主动提出疑问。对于二次函数与一元二次方程关系的理解较为深刻，能够运用所学知识解决实际问题。

2.小组讨论成果展示：各小组在讨论中表现出色，能够互相交流、共同探讨解题方法。在展示环节，学生能够清晰表达自己的思路和观点，对二次函数图像与方程解的关系有较好的理解。

3.随堂测试：通过随堂测试，发现大部分学生对二次函数与一元二次方程的关系掌握较好，能够正确求解一元二次方程。但部分学生在数形结合思想的运用上仍需加强。

4.课后作业完成情况：学生能够按时完成课后作业，作业质量较高。在求解二次方程和应用题方面，大部分学生能够运用课堂所学知识，但仍有少数学生在解题过程中出现错误。

5.教师评价与反馈：针对学生的课堂表现、讨论成果和作业完成情况，教师给予积极评价和鼓励。对于学生在数形结合思想运用方面的不足，教师提供以下反馈：

-加强练习，提高