教研教培课件：《初中数学“模型思想”教学思考与案例分享》

初中数学“模型思想”教学思考与案例分享

初中数学模型思想教学该如何准确定位？如何开发初中数学模型思想教学的学习资源？

如何实施初中数学模型思想的教学？初中数学模型思想教学的思考。研讨内容①②③④缘起落实学科育人的必然需要培养学生高层次能力的迫切需要初中数学学科发展的必然要求1.1模型思想1.模型思想的教学定位主要功能其它作用简单过程与表现形态（狭义）1.1模型思想（史宁中，2016.10）（广义）核心素养核心概念核心知识基础知识基础技能基础活动经验基础数学思想运算能力（数感）数据分析观念模型（应用意识）推理抽象（符号意识）空间观念（几何直观）1.3模型思想与其他核心概念04010205七年级03061．经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程，初步学会从数学的角度发现和提出问题；2．能用简单的代数式、一元一次方程、二元一次方程等数学模型表示数学问题中的数量关系或变化规律；6．通过问题解决，初步感受模型思想在现实生活中的应用价值，激发数学的学习兴趣.3．能初步抽象出数轴、平行线间等积变形等几何模型；5．通过大量的实例，初步了解数学建模和数学建模的一般过程；4．能初步抽象出用样本估计总体的统计模型；2.1对接课程标准，把准教学目标

初中学段数学模型思想培育的年级教学目标2.模型思想的学习资源04010205八年级03061．学会从实际问题中发现并抽象出数学问题；2．用数学符号建立代数式、方程、不等式、一次函数、反比例函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律；6．在数学建模过程中，初步学会用建模的眼光观察世界，用建模的方式思考世界，感悟模型思想.3．经历三角形、四边形和多边形等图形性质和运动的过程和确定物体位置的过程，能抽象出基本的几何模型，初步建立几何模型思想；5．经历用不同的数学模型解决问题的过程，体验问题解决方法的多样性；4．经历数据的集中统计量（平均数、中位数和纵数）和离散统计量（方差、标准差）概念模型的形成过程，并能用合适的统计量进行数据分析与统计推断；

初中学段数学模型思想培育的年级教学目标2.1对接课程标准，把准教学目标04010205九年级03061．体验数学建模的全过程；2．进一步感受方程、不等式、函数是刻画现实世界的数学模型，掌握用方程、不等式、函数描述实际问题中数量关系或变化规律的一般步骤；6．学会用建模的眼光观察世界、用建模的方式思考世界、用建模的方法解决问题，发展建模视野；勇于质疑，敢于创新，形成严谨求实的科学建模态度.3．经历简单事件概率计算的探索过程，在建模的过程中，帮助学生理解计数原理、概率以及可以通过大量的重复试验，用频率来估计概率等数学概念模型；5．在模型建立的过程中，能对模型进行不断地反思和调整，初步形成评价与反思的意识；4．结合实际问题情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、综合运用初中数学知识解决问题的过程，获得数学建模的基本方法；

初中学段数学模型思想培育的年级教学目标2.1对接课程标准，把准教学目标2.2基于能力水平，整合学习资源建模能力水平三建模能力水平二建模能力水平一片段型专题型综合实践型2.3“片段型”学习资源：用于模型思想培育的初级阶段片段型内容：

概念形成和概念应用数学建模能力水平：

形成和再现2.3

“片段型”学习资源：用于模型思想培育的初级阶段

“片段型”学习资源目录“片段型”学习资源教学设计样例专题型数学建模能力水平：

联系和转化

2.4

“专题型”学习资源：用于模型思想培育的中级阶段整个单元的学习知识，进行变形和重组.

任务较综合，教学设计以探究任务单形式展现

2.4

“专题型”学习资源：用于模型思想培育的中级阶段2.4

“专题型”学习资源：用于模型思想培育的中级阶段综合实践型数学建模能力水平：

反思和创造

2.5

“综合实践型”学习资源：用于模型思想培育的高级阶段教学设计以学生建模活动报告单形式展现.任务综合性高.

2.5“综合实践型”学习资源：用于模型思想培育的高级阶段2.5“综合实践型”学习资源：用于模型思想培育的高级阶段

关注学习过程，构建学教样式“三型”学习资源“前置冲突式”：感悟数学概念的本质1.“后置支架式”：学会数学模型的应用

2.“拓展分析式”：积累数学建模的经验3.“深化主线式”：提升数学建模的能力4.“任务驱动式”：展示学生建模的水平5.3.模型思想的教学实施3.1“前置冲突式”：感悟数学概念的本质

本学教样式是学生学习新概念时，教师设计一个使新旧知识发生联系的桥梁，有助于学生经历认知冲突，感悟数学概念的本质，促进深度学习.

每一个数学概念的建立都是数学建模的结果。通过建模活动的质疑冲突形成数学概念，加深对概念的理解，感悟概念的本质，掌握必要的基础知识与技能.学教目的从学生能力、学习活动、学教要素三个维度设计图示如下：学教活动概念理解（指向学生）和先行组织（指向教师）.学教表征学教样式1-“前置冲突式”案例1.1认识三角形【数学情境】

八年级下册活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【表达数学问题】你能带着这两个问题来用自己的语言归纳三角形的概念——由怎样的要素所组成的图形叫做三角形吗？辅助问题1：三角形有哪些要素组成？辅助问题2：这些要素有着怎样共同特征？【形成概念】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

学生先观察图形，独立思考，然后在小组内交流，互相补充完善，得到组内答案。各组派代表在班内展示，小组间互相批判质疑，最终归纳出三角形的概念。

教师呈现情境，引导学生带着辅助问题思考几何图形的组成要素，并且以填空的形式来形成概念，给学生提供了下定义的脚手架，另外在巡视过程中给予学生一定的启发和指导.教师引导学生组间展示互评，并进行恰当的追问补充，让学生不断的修正，从而得出正确的三角形概念。问题发现能力问题交流能力

数学抽象能力建立模型能力3.2“后置支架式”：学会数学模型的应用

本学教样式是指学生围绕当前学习主题，按“最近发展区”的要求建立框架，通过模型逐渐发现和解决学问题，掌握知识，提高能力，学会应用.使学生在熟悉的实际问题中，学会选用适当的数学模型（知识和技能）为支架解决问题，培养学生数学应用意识.学教目的从学生能力、学习活动、学教要素三个维度设计图示如下：学教活动模型应用（指向学生）和同类演练（指向教师）.学教表征学教样式2“后置支架式”案例

6.3反比例函数的应用【问题提出】小明在科学课上学到气体压强与体积的定性关系．为定量地研究这两者间的关系，小明在老师的帮助下进行实验：在温度不变的条件下，通过一次又一次地对针管加压，测出每一次加压后针管内气体的体积和所产生的压强，数据如下表：体积（ml）压强（kPa）101009111812571436167你能帮助小明研究气体体积和所产生的压强之间的数量关系吗？八年级下册活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【匹配模型】问题1：分析表中数据，你发现了什么？问题2：对于体积的每一个确定的数值，压强都有唯一确定的值吗？由此你想到了什么？问题3：根据表中数据，初步估计压强与体积会满足怎样的函数关系呢？

问题4：如何进一步判断压强与体积满足的函数类别呢？

观察表格，独立思考并发现一定质量的气体体积与压强存在某种函数关系，并尝试用描点法画图，根据图象形状猜想函数类别.

教师呈现素材，引导学生对认知起点、关联知识的分析，从而导出数学模型.问题发现能力问题交流能力建立模型能力

活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【求解验证】问题5：求出p关于V的函数表达式.问题6：求得的函数表达式能准确地反映在温度不变时气体体积和所产生的压强之间的关系吗？对此，我们应该怎么办

学生自主尝试求解p关于V的函数表达式.学生思考，并验证结果是否正确并符合题意.

引导学生发现求函数表达式时，只选取一个点，并不能保证其余几个点满足解析式.因此需要将其它几对数值代入检验.问题求解能力问题反思能力

活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【同类应用】经过实验获得两个变量x(x>0),y(y>0)的一组对应值如下表：(1)画出相应函数的图象.(2)求这个函数的表达式.(3)当y=时，求x的值.

学生独立思考，再小组合作交流，确定数学模型并尝试求解.

引导学生分析关联知识，导出数学模型.数学应用能力x123456y62.92.11.51.213.3“拓展分析式”：积累数学建模的经验

本学教样式是指学生通过活动体验数学建模方法，培养建模能力，体会数学深度学习的内涵，教师起到引导、协调的作用.在教师引导下，数学化地表达信息，合理表征模型，进一步掌握数学建模的方法，感悟模型思想，发展学生的建模能力.学教目的从学生能力、学习活动、学教要素三个维度设计图示如下：学教活动知识拓展（指向学生）和问题延伸（指向教师）.学教表征

【典型案例】《哪种加油方式更合算》学教样式-“拓展分析式”案例

哪种加油方式更合算七年级下册【问题情境】加油站通常有两种加油方式供选择：

A.加固定金额，比如每次都加200元；

B.加固定升数，比如每次都是加满，每辆车的油箱是固定大小的，这就相当于每次都加固定的升数，可能40升.

你觉得哪种加油方式更合算？你能用数学知识说明吗？活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【数学抽象】有两种加油方式:

A.每次加a元；

B.每次加b升.若第一次加油时油价是m元/升，第二次加油时油价是n元/升。那么哪种加油方式更合算？

阅读问题情境，数学化地表达信息，由具体的数抽象成一般意义的字母，进一步用代数式表达，将实际问题抽象成数学问题.

呈现问题情境，引导学生搜索相关数学知识，并尝试理解“合算”的数学化表述.阅读理解能力问题分析能力问题抽象能力数学探究能力活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【建立模型】

尝试建立问题解决的代数式大小比较的数学模型，并用作差比较.

引导学生建立模型并求解.数学建模能力活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【解决问题】

回顾解决原问题，得到一般化结论，并类比思考同类问题.

启发学生思考问题解决的过程，获得问题结论的同时，能进一步发现其他同类问题.如“买米问题”.问题解决能力3.4“深化主线式”：提升数学建模的能力

本学教样式是指结合学生的学习需求和教学内容，通过分层布局、逐步融通和多题一解的教学活动，帮助学生建立模型网络，反复积累数学建模经验.

引导学生对典型实际问题进行数学建模活动，学会处理关键信息，建立合适的数学模型；通过模型变式，发展学生的应用意识和创新意识.学教目的从学生能力、学习活动、学教要素三个维度设计图示如下：学教活动知识深化（指向学生）和问题递进（指向教师）.学教表征【典型案例】《游船的最短航行距离》学教样式4-“深化主线式”案例

《游船的最短航行路程》活动设计八年级上册一、问题情境如图，是一个长方形旅游区域示意图，其中△ABC部分表示湖泊，游客在湖岸AB的B处出发去湖对岸AC游玩，然后再返回湖岸AB，游船该怎样航行路程最短？如果湖岸AC的长为250米，湖岸AB的长为200米，那么游船的最短航行路程是多少？活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【认识模型】问题1：在数学中对“最短距离”有哪些依据？问题2：在数学学习中遇到过求“距离之和最短”的问题吗？

在已学知识中检索有关“最短距离”以及“距离之和最短”的模型：①两点之间线段最短②垂线段最短③“将军饮马”问题

通过问题设计引导学生在已有认知中检索与最短距离相关的数学知识。问题分析能力活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【应用模型】问题3：作BN⊥AC，N为垂足，MN⊥AB，M为垂足，此时BN+MN是否为最小，求值并判断？问题4：参照“将军饮马”模型，将问题中的线段通过轴对称变化，讨论最短的情况？问题5：结合刚才解决问题的过程，说说你获得的经验。学生通过自主思考，合作探究分两种思路求线段和的最小值问题，明确利用定点关于定线作轴对称，将求线段和最小值问题转化为求特殊线段长度的问题模型。结合图形，尝试归纳：定点定线，化同为异，化折为直。

引导学生经历数学抽象、建立模型、模型求解、模型检验的过程。引导学生归纳模型建立和求解时的过程和方法。建立模型能力问题求解能力数学归纳能力活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【模型变式】问题6：应用模型解决“一定点两动点”情况下三段距离之和最短问题。【拓展应用】问题7：应用模型思想解决“两定点两动点”情况下三段距离之和最短问题。学生经历从“一定点两动点”求两段线段之和最小值的问题得到经验，再探三条线段和最小问题中的模型应用。学生根据定点定线作对称，化同为异，化折为直，找到表示线段最短距离的线段，并自主求解。

引导学生从两条线段和最小的问题中体会思想，提炼方法，举一反三。引导学生分析问题，达成从“一定点两动点”到“两定点两动点”的迁移。数学应用能力数学创新能力3.5“任务驱动式”：展示学生建模的水平

“任务驱动式”学教样式是教师引导学生关注生活实际问题，与数学问题形成关联，并自主提出数学问题、制定解决问题的方案、实现简单问题的自主建模和模型验证，实现项目学习.

通过情境创设和任务驱动，使学生自动自发地投入到建模活动中，运用数学建模的一般方法和知识创造性地建立数学模型进而解决实际问题。在亲身经历建模的全过程中全面提升建模能力，增强建模实践意识和创新意识.学教目的从学生能力、学习活动、学教要素三个维度设计图示如下：学教活动创造应用（指向学生）和项目驱动（指向教师）.学教表征【典型案例】学教样式5“任务驱动式”案例

测量树高学习活动设计活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【分析问题】问题1：你有哪些测量物体高度的方法？根据已学知识和已有经验检索测高的常用方法：1.利用太阳光下的影子测旗杆高度；2.利用标杆测旗杆的高度；3.利用镜子的反射测旗杆的高度；4.利用直角三角形的边角关系测物体的高度。

教师引导学生检索所要解决的问题与已学知识的关联。问题分析能力【问题情境】校园里有几棵参天大树，把我们的校园装扮的格外漂亮。那么，这些树有多高呢？活动内容学生学习活动教师支持策略能力目标【精述问题】问题2：你能画出树影的投射线吗？问题3：你能抽象出一个怎样的几何图形？问题4：组1的实际测量可以转化为一个怎样的数学问题？【求解模型】问题5：如何求DE的长？问题6：如何构造相似三角形？学生根据实际测量数据和测量方法，从实物图中抽象出几何图形，明确利用相似三角形对应边成比例构造方程模型。学生利用已有知识尝试计算解答。

教师引导学生经历数学抽象、建立模型的过程