2024北京四中初三3月月考数学试卷和答案

初中PAGE1初中2024北京四中初三3月月考数学学生须知：1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（共16分，每题2分）1.下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）A. B. C. D.2.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，它是在明清皇宫及其收藏基础上建立起来的集古代建筑群、宫廷收藏、历代文化艺术为一体的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．馆内约有180万余件藏品，将1800000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，点O在直线上，．若，则的大小为（）A. B. C. D.4.一个正多边形的内角和是1440°，那么这个正多边形的每个外角是（）A.30° B.36° C.40° D.45°5.实数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.6.如图，在中，点D、E分别在、边上，，若，，则等于（）A.9 B.10 C.12 D.167.如图，的直径弦，垂足为点E，连接并延长交于点F，连接，，则的度数为（）A. B. C. D.8.炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：1日2日3日4日5日6日供应量（个）901009010090100销售量（个）809085809085记为6月t日冰激凌的供应量，为6月t日冰激凌的销售量，其中，2，…，30．用销售指数（，）来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况．当时，表示6月t日的日销售指数．给出下列四个结论：①在6月1日至6日的日销售指数中，最小，最大；②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意，2，3，4，5，6，7，都有其中所有正确结论的序号是（）．A.①② B.②③ C.①④ D.①③④二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．10.分解因式：______．11.方程的解为______．12.在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为______．13.如图，，是的切线，A，B是切点．若，，则______．．14.若，则代数式的值为______．15.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节那天，超市的粽子打9折出售，小阳同学买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，则平时每个粽子卖______元．16.有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是_______，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.计算：．18.解不等式组：19.小区里有个圆形花坛，春季改造，小区物业想扩大该花坛的面积，他们在图纸上设计了以下施工方案：①在中作直径，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C，作射线交于点D；②连接，以O为圆心长为半径画圆；③大即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接，．在中，，O是的中点，（____________）（填推理的依据）．，，______，______．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最小整数时，求方程的根．21.如图，在中，，是边上的中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长．22.平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A和x轴上的一点，与反比例函数的另一交点为点C．（1）当且时，求m的值和点B的坐标；（2）在x轴上移动点B，若，直接写出n的取值范围．23.海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）；b．京北校区成绩在这一组的是_______：74747577777777787979c．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数京北校区79.5海淀校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值：（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，直接写出结果并说明理由；（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．24.如图，是的直径，点C在上，与相切，，连结．（1）求证：；（2）若，，求的半径长．25.如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、D之间的乡镇公路长度为千米，M、C之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：x（千米）0y（千米）表中a的值为＿＿＿，b的值为＿＿＿；（2）如图2，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决以下问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，请直接写出x的取值范围；②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？26.在平面直角坐标系中，已知抛物线，将向右平移，得到抛物线，抛物线与交点的横坐标为2．（1）求抛物线的表达式；（2）过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．①若直线与图形T恰好有2个公共点，直接写出n的取值范围；②若，，三点均在图形T上，且满足，直接写出a的取值范围．27.如图，在中，，点D为边上任意一点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作且（点E在点F的右侧），连接、、．（1）依题意补全图形，若，请直接写出的长度；（2）若对于边上任意一点D，始终有，请写出与的数量关系，并证明．28.对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度”．（1）如图1，点，．①在点O视角下，线段的“宽度”为______；②若半径为2，在点A视角下，的“宽度”为______；（2）如图2，半径为2．点P为直线上一点．求点P视角下“宽度”的取值范围；（3）已知点，，直线与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段的“宽度”均满足，请直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】A【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，

得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；

又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．

故选：A．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．2.【答案】B【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．【详解】，故选B．3.【答案】A【分析】根据得到，结合，得，代入计算即可，本题考查了垂直的应用，邻补角，余角，熟练掌握邻补角，余角是解题的关键．【详解】∵，∴，∵，∴，∴．故选A．4.【答案】B【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n边形，

根据题意得：，

解得：，

∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10=36°．

故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：，外角和等于360°．5.【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，实数的加法、减法、乘法运算的理解，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．根据数轴上右边的数总比左边的大，结合绝对值的几何意义和实数的运算法则逐一分析判定即可．【详解】解：观察数轴可得：，，A．，错误，该选项不符合题意；B．，错误，该选项不符合题意；C．，错误，该选项不符合题意；D．，正确，该选项符合题意；故选：D．6.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．利用平行线的性质可证明，根据对应边成比例求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．7.【答案】C【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，圆周角定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，进一步求出，则由圆周角定理可得．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵直径弦，∴，∴，∴，故选：C．8.【答案】C【分析】根据题意，，最大，，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；；，，故③错误；根据题意，，，∵，∴，对任意，2，3，4，5，6，7，都有正确，解答即可．本题考查了函数模型的选择和应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】根据题意，，最大，，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；；，，故③错误；根据题意，，，∵，∴，对任意，2，3，4，5，6，7，都有正确，故选：C．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∴，∴实数x的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10.【答案】【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再套用公式是解题的关键．提取公因式，得，解答即可．【详解】，故答案为：．11.【答案】【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的一般步骤是：去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得分式方程的解，据此求解即可．【详解】解：，去分母，得，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．12.【答案】【分析】根据反比例函数图象上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可，本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．【详解】反比例函数的图象经过点和点，故，解得，故答案为：．13.【答案】3【分析】连接，根据，是的切线，A，B是切点，得到，结合证明，继而得到，利用三角函数计算即可．本题考查了切线长定理，三角函数，熟练掌握定理，三角函数是解题的关键．【详解】连接，∵，是的切线，A，B是切点，，∴，∵，∴，∴，∵,∴，故答案为：3．14.【答案】【分析】根据得，化简，代入计算即可，本题考查了整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，故答案为：．15.【答案】2【分析】设平时每个粽子卖x元，端午节这天每个粽子卖元，根据题意，得，解方程即可，本题考查了分式方程的应用，正确确定等量关系是解题的关键．【详解】设平时每个粽子卖x元，端午节这天每个粽子卖元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，故答案为：2．16.【答案】①.2②.6【详解】根据题意知，x<4且x≠3，则x=2或x=1，∵x前面的数要比x小，∴x=2，∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，∴共有2×3=6种结果，故答案为2，6.点睛：本题主要考查数字的变化规律，数字问题时排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，掌握相关的运算法则是解题的关键．先算乘方、特殊角的三角函数值，同时化简绝对值和二次根式，再算加减．【详解】解：．18.【答案】【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式组的解集为．19.【答案】（1）见解析（2）等腰三角形三线合一；；【分析】（1）根据垂线的尺规作图，规范作图即可．（2）等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，计算解答即可，本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．【小问1详解】根据题意，完善作图如下：故大即为所求．【小问2详解】证明：连接，．在中，，O是的中点，（等腰三角形三线合一）．，，，．故答案为：等腰三角形三线合一；；．20.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据方程的根的判别式，解答即可．（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，解答即可本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【小问1详解】∵方程，，且方程有两个不相等的实数根，∴，∴，解得．【小问2详解】∵且取最小整数，∴，∴，解得．21.【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）根据，是边上的中线，得，结合的角平分线，得到，由此得到，结合即可判定四边形是矩形．（2）根据，是边上的中线，得，结合，设，根据勾股定理得，继而得到，得到，求得，根据四边形是矩形，得．本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角函数的应用和矩形的判定是解题的关键．【小问1详解】∵，是边上的中线，∴，∵的角平分线，∴，∴，∵∴四边形是矩形．【小问2详解】∵，是边上的中线，，∴，∵，设，根据勾股定理得，∴，∴，∴，∵四边形是矩形，∴．22.【答案】（1），（2）【分析】（1）过点作轴于E，过点C作，交延长线于D，把代入，求得，再证明，，则，求得，，，即可得，然后把代入，得，解得：，即可得出点B坐标；（2）由（1）知：，所以，再根据，求得，设，则，，所以有，解得，再根据，得，解得，则，求解即可．【小问1详解】解：过点作轴于E，过点C作，交延长线于D，如图，把代入，得，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，把代入，得，解得：，∴．【小问2详解】解：由（1）知：，∴，∵，∴，∴，设，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数图象，相似三角形的判定与性质，坐标与图形等知识．熟练掌握性质是银题的关键．23.【答案】（1）（2）海淀校区赋予等级A的学生更多，理由见解析（3）78【分析】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．（1）根据中位数的定义，将京北校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．【小问1详解】解：京北校区成绩的中位数．【小问2详解】解：海淀校区赋予等级A的学生更多，理由如下：京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，之间有7人，之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A的学生有8人；海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A的学生至少有10人；所以海淀校区赋予等级A的学生更多．【小问3详解】解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为，故答案为：78．24.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据可得，从而得出；（2）根据角度的关系得出和相似，根据的正切值，设，可以得到与k的关系，根据的勾股定理求出k的值.【小问1详解】解：证明：连结．∵与相切，为半径，∴∵是的直径，∴，∴，又∵，∴，∴．【小问2详解】解：∵是的直径，，∴，∵，∴，∴∴∴的正切值为，设，，则∴∴，在中，，∴解得，∴∴的半径长为3，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质和判定、切线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25.【答案】（1）；8.5m（2）见解析（3）①结合图象，在C处与D处之间，包括两地即；②D处【分析】（1）把六等分即，当时，点T位于C处，，此时，当时，点T位于F处，此时，计算即可．（2）根据列表，描点，画图三步骤画出图像即可．（3）①结合图象，在C处与D处之间，包括两地即时，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小．②当S建在上时，S到M，N的两个城镇的距离之和最小；当S建在上时，S到P，Q的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S建在D处，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小．【小问1详解】把六等分即，当时，点T位于C处，此时，故；当时，点T位于F处，此时，故；故答案为：；8.5m【小问2详解】根据题意，画图如下：【小问3详解】①结合图象，在C处与D处之间，包括两地即时，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小．②当S建在上时，S到M，N的两个城镇的距离之和最小；当S建在上时，S到P，Q的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S建在D处，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小．26.【答案】（1）（2）①或；②或【分析】(1)设抛物线向右平移h个单位，则，将点代入求出h即可求函数的解析式；(2)①由题意画出函数的T的图象，再用数形结合求解即可；②分三大类：时，时，时，先确定所在的图象，计算出的值，再分小类比较大小即可．【小问1详解】解：设抛物线向右平移h个单位，∴抛物线的解析式为，∵抛物线与交点的横坐标为2，∴交点坐标为，∴，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】∵抛物线与交点为，∴图形T如图所示：∵，∴抛物线的顶点为，∵直线与图形T恰好有2个公共点，∴或时，图形T与有两个交点；②∵设，，，∵抛物线的对称轴为，∴，即时，三点在抛物线对称轴的左侧，此时，不符合题意；∵抛物线的对称轴为，∴时，三点在抛物线对称轴的右侧，此时，不符合题意；∴之间时存在的情况；∵，∴，此时抛物线抛物线交于点，当时，，∴时，三点在抛物线上，∵，，∴的值最大，不符合题意；当时，，∴当时，两点在抛物线上，C点在抛物线上，∴，，，当时，，解得，当时，，不符合题意；当时，，解得，当时，，解得，当，时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，点在抛物线上，点在抛物线上，∴，，，当时，，解得，当时，，解得，当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，三点在抛物线上，∴，，，当时，，解得，当时，