《数据、模型与决策》 课件 第6章 库存模型

第6章非线性规划模型什么是

非线性规划?本章主要内容框架图求解非线性规划问题6.1非线性规划基本概念在前面几章中，所涉及规划问题的目标函数和约束条件都是线性的。但在许多实际问题中，往往会遇到目标函数或约束条件是非线性的情况，这类规划问题就是非线性规划问题。在规划问题中，如果目标函数或约束条件中有一个是决策变量的非线性函数，则这类规划问题称为非线性规划问题。本章要讨论的是其中一类比较简单的情形，即目标函数是决策变量的非线性函数，而约束条件全是线性的情况。6.1非线性规划基本概念例6.1

给定一根长度为400米的绳子，用来围成一块矩形菜地，问长和宽各为多少，使菜地的面积最大？解：这是一个小学数学问题，现在把它当作一个规划问题来求解。6.1非线性规划基本概念(1)决策变量设矩形菜地的长为x1米，宽为x2米。(2)目标函数本题的目标是使菜地的面积最大。(3)约束条件 ①绳子长度为400米 ②非负约束6.1非线性规划基本概念例6.1的电子表格模型6.1非线性规划基本概念非线性规划问题存在着局部最优解和全局最优解。通常，非线性规划的解是局部极大点或极小点（即局部最优解），它使得目标函数在一部分可行域上达到极大值或极小值（局部极值），具体的解与给定的决策变量初值有关，最后只能从这些局部最优解中挑选出一个最优解作为最后的答案。正是由于局部最优解的存在，使得非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解复杂得多。当求得一个最优解时，常常无法确定该解是否为全局最优解。但是在某些情况下，可以保证所求得的解就是全局最优解。下面6.2节、6.3节所介绍的边际收益递减的二次规划和可分离规划就属于这种情况。6.2二次规划若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函数，约束条件又都是线性的，就称这种规划为二次规划。二次规划是非线性规划中比较简单的一类，它较容易求解。决策变量在有限域内变动的边际收益递减的二次规划问题存在最优解，且此最优解与初值无关，即局部最优解为全局最优解。实际上，二次规划是非线性规划中比较简单的一种，只要问题不是太大，利用Excel“规划求解”工具就能求解。6.2.1非线性营销成本问题在营销过程中，营销成本往往是非线性的，而且随着销量的增加，单位营销成本也增加，也就是说，单位利润随着销量的增加而减少（边际收益递减）。例6.2考虑非线性营销成本的例1.1。（提示:第1次和第2次印刷书上有错，第3次及以后印刷的就改为如下）在例1.1的问题中，增加考虑新产品（门和窗）的营销成本。原来估计每扇门的营销成本是75元、每扇窗的营销成本是200元。因此当时估计的门和窗的单位利润为300元和500元。也就是，如果不考虑营销成本，每扇门的毛利润为375元，每扇窗的毛利润为700元。由于门和窗的营销成本随着销量的增加而呈现非线性增长，设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量，而门的每周营销成本为25x12，窗的每周营销成本为60x22。6.2.1非线性营销成本问题解：新的模型考虑了非线性的营销成本，所以在原来模型的基础上，需要修改目标函数。(1)决策变量设x1为门的每周产量，x2为窗的每周产量。(2)目标函数①每周门的销售毛利润为375x1，门的每周营销成本为25x12

，因此，每周门的净利润为375x1－25x12

；②每周窗的销售毛利润为700x2，窗的每周营销成本为60x22

，因此，每周窗的净利润为700x2－60x22

。本题的目标是总的净利润最大，因此6.2.1非线性营销成本问题(3)约束条件，还是原有的三个车间每周可用工时限制和非负约束。因此，该问题的数学模型为：6.2.1非线性营销成本问题例6.2的电子表格模型6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合管理大量证券投资组合的职业经理人，现在都习惯于用部分基于非线性规划的计算机模型来指导他们的工作。因为投资者不仅关心预期回报，还关注着投资带来的相应风险，所以非线性规划经常用来确定投资的组合，该投资组合在一定的假设下可以获得收益和风险之间的最优平衡。这种方法主要来自于哈里

马克维茨（HarryMarkowitz）和威廉

夏普（WilliamSharpe）开创性的研究，他们因为该项研究而获得了1990年的诺贝尔经济学奖。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合这种方法是将3.2节的成本收益平衡问题非线性化。在这种情况下，成本是与投资有关的风险，收益是投资组合的预期回报。因此，该模型的一般表达形式为：最小化风险约束条件预期回报≥最低可接受水平这个模型关注投资组合的风险和预期收益之间的平衡。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合投资组合优化，就是确定投资项目中的一组最优投资比例。这里所说的“最优”，可以是在一定风险水平下使得投资回报最大，也可以是在一定的投资回报水平下使得风险最小。首先介绍关于均值、方差等概念，然后举三个例子说明在不同数据条件下投资组合优化问题的建模与求解方法。1、单项投资的期望回报率与风险2、一组投资（即多项投资）的期望回报与风险6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.3：投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数现有三个可投资的项目：股票1，股票2和债券。它们自1981年至2000年20年的投资回报率如表8-2所示。分别计算这三个单项投资回报率的期望值、方差、标准方差，以及三个项目之间的相关系数矩阵。并计算对三个投资项目的最优投资比例，要求在总投资回报率不低于0.13的前提下，使得投资的风险最小。

表8-2三个投资项目的单项回报率历史数据例5投资组合优化模型1历史数据2时期股票1股票2债券3100.070.06420.040.130.07530.130.140.05640.190.430.0475-0.150.670.0786-0.270.640.08970.3700.061080.24-0.220.04119-0.070.180.0512100.070.310.0713110.190.590.114120.330.990.111513-0.05-0.250.1516140.220.040.1117150.23-0.110.0918160.06-0.150.119170.32-0.120.0820180.190.160.0621190.050.220.0522200.17-0.020.07解：用Excel中公式（见表8-1所示）计算这三个投资项目的单项回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数。其Spreadsheet中的公式如表8-3所示表8-3三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算公式表ABCD1例投资组合优化模型25统计量计算26期望值=AVERAGE(B4:B23)=AVERAGE(C4:C23)=AVERAGE(D4:D23)27方差=VAR(B4:B23)=VAR(C4:C23)=VAR(D4:D23)28标准方差=STDEV(B4:B23)=STDEV(C4:C23)=STDEV(D4:D232930相关系数31股票1股票2债券32股票11=CORREL(B4:B23,C4:C23)=CORREL(B4:B23,D4:D23)33股票2=C321=CORREL(C4:C23,D4:D23)34债券=D32=D331计算相关系数的另一个方法是打开Excel中的“工具”菜单，选择项目“数据分析”，就会出现一张数据分析表，如图8-2所示。表8-4三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算结果ABCD1例5投资组合优化模型25统计量计算26单项期望值0.11300.18500.075527单项方差0.02740.11020.000828标准方差0.16560.33190.02782930相关系数31股票1股票2债券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434债券-0.0289-0.01341.0000建立非线性规划模型ABCD30协方差矩阵31股票1股票2债券32股票1=B27=COVAR(B4:B23,C4:C23)=COVAR(B4:B23,D4:D23)33股票2=C32=C27=COVAR(C4:C23,D4:D23)34债券=D32=D33=D27ABCDEFG25统计量计算26单项期望值0.11300.18500.075527单项方差0.02740.11020.000828标准方差0.16560.33190.02782930相关系数31股票1股票2债券32股票11.0000-0.1959-0.028933股票2-0.19591.0000-0.013434债券-0.0289-0.01341.00003536模型3738决策变量39股票1股票2债券投资比例之和40投资比例0.50630.32430.16931=141投资比例的平方0.25640.10520.02874243总回报率期望值44实际值要求值450.1300>=0.13464748总回报率方差0.01514950总回报率方差0.1228模型运行结果见表。由该表可得本问题的最优解如下：股票1、股票2、债券的投资比例为0.5063:0.3243:0.1693。这时，投资组合的总回报率期望值达到所要求的0.13，而投资组合的总回报率的方差最小，为0.0151。（1）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-总回报率标准方差，总回报率期望值+总回报率标准方差]的概率是68%；（2）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-2总回报率标准方差，总回报率期望值+2总回报率标准方差]的概率是95%；（3）总回报率的值落在区间[总回报率期望值-3总回报率标准方差，总回报率期望值+3总回报率标准方差]的概率是99.7%。置信区间分析

本题中，总回报率期望值=0.13，总回报率的标准差=0.1228，所以当总回报率服从正态分布时，有：总回报率以68%的概率落在区间[0.0072，0.2528]（即[0.13-0.1228，0.13+0.1228]）；以95%的概率落在区间[-0.1156，0.3756]（即[0.13-2*0.1228，0.13+2*0.1228]）；以99.7%的概率落在区间[-0.2384，0.4984]（即[0.13-3*0.1228，0.13+3*0.1228]）。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.4

现要投资三种股票（股票1、股票2和股票3）。表6-3给出了三种股票所需要的数据（这些数据主要是从前些年的股票收益中取几个样本，接着计算了这些样本的平均值、标准差和协方差，具体计算方法见例6.3。当股票的前景与前几年的不一致时，至少要对一个股票预期收益的相应估计作出调整）。如果投资者预期回报的最低可接受水平为18%，请确定三种股票的最优投资比例，使投资组合的总风险最小。解：（这种情况要求掌握）数学模型：P249电子表格模型：P250结果分析：P251～252例6.4分析过程三种股票的投资比例（决策变量）－－投资组合x1—股票1占总投资的比例x2—股票2占总投资的比例x3—股票3占总投资的比例约束条件：这些比例相加必须等于100％：x1+x2+x3=100％根据每种股票的预期回报率，计算整个投资组合的预期回报：

总预期回报＝21％x1+30％x2+8％x3投资者当前选择的最低可接受水平为：

最低可接受预期回报＝18％总风险(方差)：每种股票的独立风险(系数为方差=标准差的平方)＋两种股票交叉风险（系数为交叉风险＝协方差的2倍），公式为：

Min总风险（方差）＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3注意：P249表6-3给的风险系数为标准差和协方差例6.4数学模型（二次）决策变量：三种证券的投资比例（投资组合）x1—股票1占总投资的比例x2—股票2占总投资的比例x3—股票3占总投资的比例目标是总风险（方差）最小：Minz

＝

(0.25

2)

x12+(0.45

2)

x22+(0.052)

x32+2(0.04)x1x2+2(-0.005)x1x3+2(-0.01)x2x3约束条件：预期回报：21％x1+30％x2+8％x3

18％总比例：x1+x2+x3＝100％且 非负： x1，x2，x3

0这个模型的目标函数是边际收益递减的，且是二次的，所以是一个二次规划问题。是一个比较简单的非线性规划问题。例6.4

电子表格模型目标函数：Min总风险（方差）-------非线性，公式复杂结果：总风险(方差

2

)=0.0238，总风险(标准差

)=15.4%<预期回报()

＝18％（说明投资组合最终获得的实际收益不大可能为负）求总风险（方差）的一种简便方法由于目标函数“总风险（方差）”的公式是非线性的，也复杂，希望找到一种不容易出错且简便的办法构造协方差矩阵（方差、协方差）总风险（方差）=

SUMPRODUCT（MMULT（投资组合,协方差矩阵）,投资组合）注意:在输入此公式时,要在“投资组合”中先输入数据，如0寻找成本（风险）和收益（预期回报）之间的最佳平衡P251利用多次运行“规划求解”工具，将结果记录在一个表中，表格中给出了当预期回报最低可接受水平在某个范围（8％－30％，每隔2％）变动时，分别获得模型最优解时的预期回报与风险（表中还包括三种股票的投资比例）画总风险（标准差）和总预期回报的X-Y平滑散点图（曲线）投资者需要在表格和曲线中决定哪个投资组合在预期回报和风险之间提供了最佳平衡。6.2.2运用非线性规划优化

有价证券投资组合例6.5

某投资公司的最优投资组合管理。某公司正在对资产进行股票的投资组合，要投资的股票包括一只科技股、一只银行股、一只能源股。公司的金融分析师已经收集了数据，并估计了有关这些股票的收益率的期望值，以及有关这些股票的标准差和相关系数信息，具体如表6-5所示。如果公司预期回报的最低可接受水平为11%，请确定三种股票的最优投资比例，使投资组合的总风险最小。解：数学模型：P253电子表格模型：P2546.3可分离规划在二次规划中，讨论了边际收益递减的非线性规划问题。这里讨论的仍是边际收益递减的非线性规划问题，区别在于利润或成本曲线是分段直线。对于利润或成本曲线是分段直线并且边际收益递减的非线性规划问题，可利用可分离规划技术将问题转换成相应的线性规划问题。这有助于非常有效地求解模型，并且可以对线性规划问题进行灵敏度分析。可分离规划技术为利润或成本曲线上的每一段直线引入新的决策变量，以代替原来的单一决策变量。也就是为利润曲线（成本曲线）的每个线段给出一个分离的决策变量。6.3可分离规划例6.6

需要加班时的例1.1。表6-6给出了车间1和车间2每周在正常工作时间和加班工作时间生产门、窗的最大数量及单位利润。车间3不需要加班，约束条件也不需要改变。产品每周最大产量产品的单位利润正常工作时间加班时间总计正常工作时间加班时间门314300200窗3365001006.3可分离规划解：（1）决策变量例1.1中的决策变量是：x1为每周门的产量；x2为每周窗的产量。由于加班时的产品单位利润减少，所以利用可分离规划技术，将正常时间和加班时间的产量分开，引入新的决策变量：

x1R=正常工作每周门的产量；

x1O=加班工作每周门的产量；

x2R=正常工作每周窗的产量；

x2O=加班工作每周窗的产量。并且有：x1=x1R+x1O

x2=x2R+x2O6.3可分离规划（2）目标函数本问题的目标是使得总利润最大。由于正常工作和加班工作的产品单位利润不同，所以在目标函数中用的是新引入的决策变量。（3）约束条件①原有的例1.1的三个车间的约束还是有效的，只不过将x1以（x1R＋x1O）代替，x2以（x2R＋x2O）代替。②正常工作和加班工作的每周最大产量约束③非负6.3可分离规划例6.6的电子表格模型6.3可分离规划由于有“每周总产量”等于“每种产品在正常工作时间和加班工作时间的产量总和”，也就是说，有：x1=x1R+x1O，x2=x2R+x2O所以数学模型也可以为：Theendofchapter8第6章库存模型什么是库存模型?一、存储的有关概念（一）、存储存储——就是将一些物资（如原材料、外购零件、部件、在制品等等）存储起来以备将来的使用和消费；（二）、存储的作用存储是缓解供应与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。第一节有关存储论的基本概念（三）存储问题首先，有存储就会有费用（占用资金、维护等费用——存储费），且存储越多费用越大。存储费是企业流动资金中的主要部分。其次，若存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失（失去销售机会、失去占领市场的机会、违约等）。因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。引例：毛巾订货量问题：“百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。每年营业时间为360天，每天平均售出400张毛巾，每张毛巾的批发价平均为0·70元，每次订货的平均费用为112元。即每次订货，不论购买的数量多少都要支出112元。现在商店是每半年进一次货，一年进两次货

。每张毛巾的存贮费用一年为0·126元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次的数量应该为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。一、与库存有关的费用

1、存贮费用∶为保持库存量而耗用的费用统称为存贮费用。存贮费用一般包括：

1）存贮物资占用的流动资金及这些资金的利息；

2）

物资在存贮中，因物品的腐蚀

、变质、破损、遗失、被窃而产生的损失费用；某些物资因技术发展，新产品向世而降价或淘汰的损失费用。

3）由于保管而产生的费用，如仓库的租金或税金、保险费、修理费、通风照明、保暖冷藏、水电、办公用品费及保管人员工资等费用。

存贮费用是笔相当大的开支，一般为库存物资价值的12%—35%左右。存贮费用随库存量的增加而增加。

2、订货费用：每次物资从订货到入库所需的费用统称为订货费用。如发出订单费、催办联络费、旅差费、运输费、进货检查费、调整费、验收费、搬运费等等。这些费用一般是以每次订货来计算的

。因此，订货费用随着订货次数的增加而增加。

3、脱销费用：因库存不足造成商品脱销，工厂生产停工待料而产生

的直接和间接损失费用统称为脱销费用。如商店因脱销而不能按期执行供货合同而受到罚款产生的直接损失费用；工厂停工待料使产量下降造成的直接损失费用。同时，商店或工厂因此而受到信誉上的间接损失费用，甚至可能永远失掉一些“顾客”而造成未来业务上的间接损失费用，也称为脱销费用。这种间接损失费用往往难于直接计量而常被人忽视，许多工厂和商店不重视形象和信誉，以至于生意清淡或难以为继还不知原因所在。

良好的库存管理就是控制、压缩和平衡这三类互相矛盾的费用，使总的库存费用最少。

二、需求形式一般的，对需求问题的研究有三种角度：

1、间断的还是连续的。比如羽绒服、空调、冷饮等这类有季节性的产品其需求是间断的，而日常用品的需求是连续的；

2、均匀的还是不均匀的。如车间自动生产流水线对原料的需求是均匀的，而一个家庭对电的需求则不是均匀的；

3、确定性的还是随机的。如生产活动对原材料的需求一般是确定的，而销售活动中对商品的需求量通常具有不确定性，但我们可以通过大量观察试验，掌握其统计规律性。正是根据需求量的确定与否，我们的存储模型分为了确定性存储模型与随机性存储模型两大类。三、补充形式为了满足不断的需求，存储系统需要经常补充存储的物资品。补充的途径有内部生产和外部订购两种方式。但是在补充供应时需要考虑补充的时滞性，也即是从订货到交货之间是有一段滞后时间的，这一时滞可以是某一常量，也可以是随机的。总之，为了在某一时刻获得补充，就必须提前一段时间订货，这段时间称作订货提前期。ABCDEFGH123基本数据最佳现金持有量规划求解分析4现金总量T5000005每次交易成本b180最佳现金余额6有价证券利率r15%总成本789最佳现金持有量分析表10现金余额300003500038000420005000055000500011持有成本22502625285031503750412537512交易成本3000257123682143180016361800013总成本52505196521852935550576118375表1最优订货批量模型ABCDEFG123基本数据最佳现金持有量规划求解分析4现金总量T5000005每次交易成本b180最佳现金余额34641.026有价证券利率r15%总成本5196.152最佳现金持有量表ABCDE3存货名称甲乙丙丁4材料年需要量D180002000030000250005一次订货成本K252525256单位存储成本C23437每日送货量P1002003002508每日耗用量D203040259数量折扣di2%2%2%2%10单价U10203025

最优订货批量模型ABCDE1415存货名称甲乙丙丁16最优订货批量Q*75062665868017采购成本17640039200088200061250018订货成本599.99993798.436251140.1754918.5586719存储成本600.00007798.43571140.1754918.5586420177600393596.87884280.35614337.1221总成本2069814.322最佳订货次数0.02666670.04790620.06080940.036742323最佳订货周期(月)37.50000420.87413616.44483827.21655224经济订货量占用资金3750.00046262.24079866.90268505.1726

计算结果ABCDE1415存货名称甲乙丙丁16最优订货批量Q*17采购成本=B4*B10*(1-B9)=C4*C10*(1-C9)=D4*D10*(1-D9)=E4*E10*(1-E9)18订货成本=B4/B16*B5=C4/C16*C5=D4/D16*D5=E4/E16*E519存储成本=(B16-B16/B7*B8)/2*B6=(C16-C16/C7*C8)/2*C6=(D16-D16/D7*D8)/2*D6=(E16-E16/E7*E8)/2*E620=B17+B18+B19=C17+C18+C19=D17+D18+D19=E17+E18+E1921总成本综合成本=B20+C20+D20+E2022最佳订货次数=B8/B16=C8/C16=D8/D16=E8/E1623最佳订货周期(月)=1/B22=1/C22=1/D22=1/E2224经济订货量占用资金=B16/2*B10=C16/2*C10=D16/2*D10=E16/2*E10

计算公式四、存储策略(供给形式)

在一个存储系统中，有两个基本问题需要我们做出决策——何时订货和订货数量，又分别称作“期”和“量”的问题。关于“何时订货”和“订货数量”的决策，就称为存储系统的存储策略，也称为供给形式,管理者也就通过控制这两个变量，来调节存储系统的运行，以达到最优的存储安排。常用存储策略有以下几种类型：循环策略时间补充存货，补充量为比较明确的存储策略。即当存储量为s时立即补充，订货量为即每隔t时间检查库存，当库存量小于s时，立即补充库存量到S；而当库存量大于s时，可以暂时不补充。即每隔1、2、。这是一种适用于需求策略，表明把库存量补充到S。3、策略

第二节确定型库存模型

一、无折扣的经济订货量模型

毛巾订货量问题：“百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。每年营业时间为360天，每天平均售出400张毛巾，每张毛巾的批发价平均为0·70元，每次订货的平均费用为112元。即每次订货，不论购买的数量多少都要支出112元。现在商店是每半年进一次货，一年进两次货

。每张毛巾的存贮费用一年为0·126元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。每次的数量应该为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。

这里我们假定毛巾的需求量不变的，即每天都是售出400张毛巾。（以后我们将对这种假设提出疑问，但这种假设对于许多均衡生产的工厂是基本合理的）库存量的补充是一次及时补充，即第一次库存刚好用完时，第二次订货又一次进入库房。这样就得到一个简单而理想的库存图

（图5.1）库存量

(Q)最大库存量

平均库存量

时间（t）图5.1等量消耗，一次补充的库存图另外，我们假定毛巾的批发价不论购买数量多少，都是每张0·7元，这时称为无折扣的订货价格（有时，批发部门为了鼓励订货，对一次购买达到一定数量以上的实行优惠价格，这时称为有折扣的订货价格）现在“百花”商店是每年进货两次，每年毛巾的需求量是H=（400*360)144000张，则每次订货数量为144000/2=72000张。这个库存问题是等量需求及时补充的，因此不会产生脱销费用。这时的年度总库存费用=年订货费用+年存贮费用，用公式表示为∶A=B+C

其中∶A为年总库存费用，B为年订货费用，B=HS/Q，式中H为年需求量，本例H=144000张。S为每次订货费用，S=112元。Q为每次订货量，本例Q=72000张。则B=HS/Q=144000×112/72000=224元。

每年订货次数（N=H/Q)，则B=NS=2×112=224元。

C为年存贮费用，C=Q/2×K，K为单位商品的存贮费用，Q/2为平均库存量。本例K=0.126元，则C=72000/2×0.126=4536元。

因此“百花”商店每年订货两次，每次订货量为

72000张时的总库存费用为A=B十C=224＋4536=4760元。

问题在于是否还有其它更好的订货次数和订货批量能使总的库存费用更省呢？让我们先用列举法来看能否找到一个更好的库存策略。我们考虑年订货次数为2、4、6、9、

12、

18时总库存费用的情况是怎样的呢？（表5.l）年需求量（张）

每次订量（张）

年订货次数（次

）

每次订货费用（元

）

单位年存贮费用（元

）

年订货费用（元

）

年存贮费用（元

）

年总库存费用（元

）

HQN=H/QSKB=NSC=QK/2A=B+C1440007200021120.126224453647601440003600041120.126448226827161440002400061120.126672151221841440001600091120.12610081008201614400012000121120.126134475621001440008000181120.12620165042520表

5.1不同订货次数和不同订货量的库存费用

从表5.1中我们可以清楚地看到，年订货费用随着订货次数的增加而增加，而年存贮费用随着每次订货量的增加而增加。而当年订货费用等于年存贮费用时，年总的库存费用最低，这时为2016元，对应的每次订货批量为16000张，年订货次数为9次。这就是“百花”商店应该采用的最好的订货策略，较之每年订货2次，每次订货量为72000张的年度总库存费用4760元，节约了2744元（4760-2016）。“百花”商店采用每年订货9次，每次订货量为16000张毛巾时。意味着每次订货能供应(16000/400=40天)。如果每次从订货到入库的时间为15天，则每次进货后的第26天是下一次开始订货的时间。从上面的列举法，我们可以得到订货量与库存费用的关系图（图66.2）图6.2订货批量与库存费用的关系

订货批量库存费用总库存费用存贮费用订货费用QEG

从图中可以看出，当存贮费用等于订货费用时。即图中表现为两曲线的交点

E时，总库存费用最低，图中E点对应于总库存费用曲线的最低点G，这时G对应在横轴上的交点Q就是最佳的每次订货批量（

EOQ）

。

在实际工作中，不会使用列举的笨办法。因年存贮费用等于年订货费用的总库存费用最低．我们利用这一等式可以推出经济订货量Q，即∶

时

A最小

利用这一公式，“百花”商店的经济订货量为：张存储费=订货费=二、有折扣的经济订货量模型“百花”商店的采购人员在向批发部门进货时得知，每次若购买的数量低于18000张时，每张毛巾的单价为0.7元；若每次购买的数量在18000及以上至70000张以下，每张毛巾的单价给予I0％的折扣，即每张毛巾的单价为0.7X0.9=0.63元；若每次购买的数量在70000张及以上，给予12％的折扣，即每张毛巾的单价为0.7X0·88=0.616元。商店负责人想知这在这种有价格折扣的情况下，他是否能够利用这一价格折扣的好处？并且在有两种以上的价格折扣时，他应该利用那一种价格折扣更合适呢？

在很多时候，商品的供应方为了多推销产品，规定每次购买达到一定数量时，给以价格上的折扣予以优惠，以鼓励购买方多购买。这时，购买方则面临着有价格折扣下的订货决策问题。利用价格折扣的好处，在于可获得较低的单价，并且由于每次订货的数量大，可以减少订货的次数而降低年订货费用。有时还因大批购货可得到运输上的好处，如铁路上的整车发运就比零担发运的价格低。但另一方面，批量过大会使存贮费用增加，积压资金。由于有价格折扣这一因素的加入，存贮费用与购买物品的费用直接有关，这时决策者是从总费用（包括购买物品的费用）最小的标准来选择订货批量的。

现在让我们来帮助“百花”商店在有两种价格折扣的情况下来进行订货批量的选择。我们已知每张毛巾的年存贮费用为0.126元。在有价格折扣的条件下，年度的单位存贮费用显然就与单位商品的价格直接有关。因此我们需要将单位存贮费用分为两部分，使K=PI，其中P为订货单价，I为单位存货价格的百分比。我们知K=0·126元是在单价为0.7元时的单位存贮费用，I=K/P=0.126/0.7=0.18，表示单位存贮费用是单价的18%，这一般是一个不变的比例。在有价格折扣的条件时，则可计算出不同的单位存贮费用，例：当P1=0·7元时，K1=P1I1=0·7*0.18=0·126元；当P2=0·63元时，K2=P2I2=0·63*0.18=0.1134元；当P3=0·616元时，K3=P3I3=0·616*0·18=0.11088元。这时经济订货批量的公式可写成∶当不同的订货单价时，经济订货批量也不一样

。当P1=0·7元时，当P2=0·63元时，当P3=0·616元时，（张）

（张）（张）

从上面的计算可以看出，当订货单价为0·63元时，“百花”商店应该每批订货I6865张，这时总的库存费用最低，但是订16865张不能取得折扣10%的好处，因供应方规定取得折扣好处的最低订货量是18000张，为了取得折扣，“百花”商店女必须

一次订购18000张。但这是否合算呢？当单价为0.616时，取得总库存费用最低的订货数量应为17056张，但这个订购数量也不能取得折扣12%的好处，要能得到12％的折扣，商店必须“强迫”一次进货70000张以上，但这对商店是否有利呢？要对这几种订货批量作出评价。必须从总费用（T）的角度来加以衡量∶

总费用=年存贮费用十年订货费用十年购货费用用D表示年购货费用，则D=PH，则T=B＋C＋D．当订货单价为0.7元

，订货批量为16000件时，则年订货费用为∶元年存贮费用年购货费用元元则总费用

元

当订货单价为0·63元时，经济订货批量=16865张，但这不能取得价格折扣10%的优惠，迫使要将一次货批量定为18000张，这18000张是带限制性的最优量，计算总费用时应以=18000代入进行计算，这时的年订货费用不等于年存贮费用，这时：年订货费用年存贮费用年购货费用则总费用元元元元

当订货单价为0·616元时，经济订货批量为=17056张，同样不能取得价格折扣12％的优惠

，商店一次订货量要在70000张以上，为了使订货次数为整数，将每次取得价得折扣12％的订货批量定为72000张，以=72000张，来计算总费用，这时：年订货费用年存贮费用年购货费用则总费用

可见三种订货单价下，以每次订货18000张毛巾的总费用92637元为最低，商店负责人应选择每年订货8次，这时能获得价格折扣I0％的好处，且总费用为最低。

元元元元三、边补充边消耗的库存模型“百花”商店的经理最近得到供应方的通知，由于对方运输和生产上的原因，近几年准备将原来的一次订货量一次送达的供货方式，改为每天送60打一包的毛巾来，即每天送来720张，保证商店的销售。经理考虑到由于毛巾是陆续分批到达，商店实际上是处于一边进货一边售货的状况，在这种情况下，是否应该改变商店的订货策略以适应这种变他化，而使总的库存费用最低呢？

有的时候

，订货由于生产或者运输方面的原因，不能一次到齐，而是分批送到，库存就是陆续补充陆续消耗的，而在货物一次到达时，库存是一次补充陆续消耗的，就企业来说，大多数情况都是边补充边消耗的，如加工车间向装配车间提供零部件，就是陆续送到装配车间的，就装配车间来讲，库存就是边补充边消耗的。边补充边等量消耗的库存情况如图5.3。

图

5.3等量消耗，分次补充的库存图

库存量

最大库存量订货批量

时间

从图中可以看出，在边补充边消耗的情况下，最大的库存量低于经济订货批量。而在等量消耗，一次补充的库存图中，最大库存量是等于订购批量的（图5.1）。在这种情况下，我们将会找到新的订货策略。

当“百花”商店面临供货方式改变的情况下，让我们来考虑新的订货策略。令商店每天的销售量为U，则U=400张，令每天进货量为R，则R=720张。商店在获得价格折扣10％的最优订货是18000张，每年订货8次，订货单价为P=0.63元，单位存贮费用为单位价格的18%，每次订货费用还是S=112元。由于是分批进货，销售与进货同时进行，因此最大库存量小于订货批量。这时的最大库存量是多少呢？假定在分批进货的订货批量仍是18000张，现在是每天进货R=720张。则原来一次进的货现在要18000/720=25天才能进货完毕。当25天进完18000张毛巾时，由于商店每天售出400张，进货完时商店已经售出了25*400=10000张毛巾，这时仓库的最大库存量为18000-10000=8000张。因为平均库存量为最大库存量的一半，则平均库存量为4000张。则得到分批进货时的平均库存量∶年存贮费用为∶年订货费用为∶即有∶则∶在分批进货的条件下，”百花”商店的每次订货量应为∶但这时的订货次数N=H/=144000/25298=5.7（次）不是整数，用“四舍五入”得到每年订货次数为6次，得到修正后的订货批量=144000/6=24000张，这时的年订货费用为∶张

较之每年订货8次，订货量为18000张，全部订货一次入库的年总库存费用896+1021=1917元要少。年存贮费用为∶年总库存费用为∶元元元投产批量决策（经济订货模型的应用）火星机械厂成批生产一种类型的家用电器，年产量为6000台。这种类型的家用电器有几种不同的规格和型号，每换一种规格和型号的生产时，需要对设备作一些小的调整，清洗和开始生产的质量控制试验及生产和材料的准备等，这需要花一笔费用。每次为375元。每个电器未出厂前在仓库的年存贮费用为2元。负责生产的厂长希望能确定每批产品的数量和年调整次数，以使每批产品调整的总费用最少。

经济批量的确定在于使总的库存费用最少。这个模式对于一些分批或间断性生产的工厂如何确定合理的投产批量也是十分有用的。如许多机械厂生产一定数量的某一产品后转而生产另一种产品，这是分批生产的例子；一个化工厂，生产一定数量的美容油脂后，转而生产一种工业用油脂，这是间断生产的例子。为了使—定批量调整的总费用最少，这相当于库存问题中使总库存费用最少。

转产时，如设备改装费、调整费、生产和材料准备费等统称为调整费用，相当于订货费用。生产批量则相当于订货批量。要使年度的调整要用降低，一则需减少调整次数（这相当于年订货次数）但调整次数降低，则要加大生产批量，生产批量加大会增加产品在仓库的存贮费用。平衡两种费用的办法就是选择一个经济的投产批量。而使其调整的总费用最少。因此经济订货批量的公式在解决生产批量问题时是完全适用的。家用电器的投产批量中，年产量H=6000台，每次调整费用

S=375元，单位存贮费用k=2元，则经济批量为∶因此，火星机械厂一种规格和型号的投产批量应为1500台，每年的调整次数为4次。这时的年调整费用B=NS=4*375=1500元，年存贮费用C=KQ/2=2*1500/2=1500元,年总费用为A=B+C=1500+1500=3000元。台

第二节不确定型库存模型

一、有安全库存量的订货模型火炬商店经营一种汽车配件，商店一年营业360天，平均每天售出10件，这种配件是从附近一家汽车配件厂进的货，每次订货费用为126元，每件的年存贮费用为2.5元。这家商店用经济批量模型计算出每次的最优订货量为600件，订货后25天汽车配件厂一次交货入库。因此商店每当库存量降到250件时就开订下一批货，这样当库存量刚好售完时则另一批货正好运到。但实际的销售情况并非如此理想，销售10件产品是一个平均数，并不是每天都不多不少正好销出10件，而是时多时少，在10件左右浮动。有时，在下一批订货还未到时，商店里已经售完了库存的最后一个配件，产生脱销；有时，则是因为汽车配件厂的货没有按时到达而造成脱销。该商店经理估计每脱销一件配件将损失5元的利润，但更使经理忧虑的是，当商店的汽车配件脱销后，顾客将到其它的商店购买，并且有可能永远失去这些顾客。他认为这是比直接利润损失更严重的事情。

解决脱销的办法是提前订货或者是增加每批的订货量，这样将得到一个保险的安全库存量，以减少脱销的机会，这将降低或消除由脱销而损失的费用。但提前订货或者增加订货批量将会增加库存而使存贮费用增加，他希望能找到一个能平衡脱销费用和存贮费用的方法。在“百花”商店的毛巾订货问题中，我们就提到对每天平均销售400张毛巾提出过疑问，这400张毛巾的销量也是一个平均数，而实际的销售情况是变化的，有时减少有时增加，这种情况也将使商店有面临脱销危险而造成脱销损失，同样也有可能由于进货不及时而造成脱销损失。这两种情况的脱销如图5.4。图5.4脱销图

缺货缺货0时间CBA库存量D订货点订货点

减少脱销费用的一个有效办法是厂商保有一个安全库存量。所谓安全库存量就是一种能防止因意外情况售完正常库存商品而保持的库存量。假定厂商有一个数量为M的安全库存量，这时的最大库存量为Q+M，因此，在拥有安全库存量的情况下，当由于再订货后需求量增加而将发生脱销时，或者由于发货方延期交货将发生脱销时，则可动用安全库存量来防止脱销情况的发生。最大库存量安全库存量订货点库存量时间M1M2M3Q1Q2Q3Q4图5.5利用安全库存量防止脱销

但显然我们不能把安全库存量M定得太多来防止全部的脱销情况。因为过多的安全库存量将增加年存贮费用，我们需要确定一个合理的安全库存量以使存贮费用和脱销货用的总和为最小。而这一数值决定于存贮费用、脱销费用和发生脱销的概率。我们现在来为火炬商店确定一个合理的安全库存量M*。其步骤是：首先确定在一个订货周期内不同需求量下的脱销概率并计算各种安全库存于下年度的期望脱销费用；其次计算出存贮费用；最后比较各种安全库存量下的总费用。总费用最少的安全库存量则为最优的安全库存量。

一个订货周期是指从订货到货物入库间的时间。火炬商店订货周期为25天，经济订货批量Q*=600件，即当库存为250件时，应开始进行下一次的订货活动。在这个时期内，若需求量超过250件则会发生脱销。商店过去50