2.2 直线的方程（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.2直线方程知识点一点斜式【【解题思路】直线的点斜式方程的步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．【例1】（2024江苏淮安·阶段练习）写出下列直线的点斜式方程．（1）经过点，且其倾斜角与直线相等；（2）经过点，且与轴平行；（3）经过点，且与轴垂直．(4)经过点，斜率为3；(5)经过点，倾斜角是；(6)经过点，倾斜角是．【变式】（23-24新疆）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1,－1)，与x轴平行．(4)P（2，3），；(5)P（-2，-1），；(6)P（-5，-1），．（7）经过点，斜率是；（8）经过点，倾斜角是；（9）经过点，倾斜角是；（10）经过点倾斜角是．知识点二斜截式【【解题思路】求直线的斜截式方程的思路(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【例2】（2024湖北）写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是，在轴上的截距是；(2)倾斜角为，在轴上的截距是；(3)倾斜角为，在轴上的截距是．【变式】1．（2024四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为.2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是.3．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2；(2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1.(3)斜率为2，在y轴上的截距是5；(4)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(5)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.知识点三两点式【【解题思路】两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．(2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．【例3】（2023江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).【变式】1．（2024吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是A． B． C． D．2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程：(1)，；(2)，．（3），；

（4），．知识点四截距式【【解题思路】截距式求直线方程(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用【例4-1】（2023湖北）直线的截距式方程是（

）A． B．C． D．【例4-2】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【例4-3】（23-24高二上·吉林·期末）（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或2．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·黑龙江·期中）（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（

）A． B．1 C． D．34．（2023-2024山西）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为.（2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是.5（2024福建）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.知识点五直线的一般式【例5】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式.①斜率是，经过点；②经过点，平行于x轴；③在x轴和y轴上的截距分别是，；④经过两点【变式】1．（23-24高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．(1)斜率是，经过点；(2)法向量，经过点；(3)经过点，平行于x轴；(4)在x轴和y轴上的截距分别是，；(5)经过两点．(6)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；(7)经过两点，；(8)经过点，平行于x轴；(9)在x轴，y轴上的截距分别为，．2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）.(1)边上的中线所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程；(3)边上的垂直平分线所在直线的方程.知识点六直线图像【例6-1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（

）A．， B．，C．， D．，【例6-2】（23-24湖南）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A．B．C．D．【变式】1．（22-23高二·江苏·课后作业）直线可能是（

）A． B．C． D．2．（23-24江西抚州）已知，，则直线通过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．（23-24高二上·安徽六安）直线不过第二象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（

）A． B．C． D．知识点七直线与坐标轴围城的面积【例7】（2023-2024陕西）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点.(1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程；(2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程.【变式】1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（

）A． B．C． D．2．（2023山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（

）A．2 B． C．3 D．3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.（1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；（2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程.知识点八含参直线过定点【【解题思路】含参直线过定点的解题思路：提出参数令参数的系数为0【例8-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为.【例8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是．【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点.2．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点.3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（

）A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等4．（23-24高二上·河南商丘·期中）（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（

）A． B． C．1 D．3【题组一点斜式】1.（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（

）A． B．C． D．2（22-23陕西延安）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（

）A． B．C． D．3（2023上海浦东新·期中）已知、、三点，则经过点且与平行的直线的点斜式方程为4（2024上海浦东新）在中，，则边上的高所在的直线的点斜式方程为.【题组二斜截式】1（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是，在y轴上的截距是；(2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是；(3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为.2（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.【题组三两点式】1．（22-23高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（

）A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．（22-23高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；②直线方程也可写成；③过点，的直线可以表示成.其中正确说法的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是．4．（21-22高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为．5．（2024云南）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为．【题组四截距式】1（2024浙江·期中）直线的截距式方程为（

）A． B． C． D．2（2024北京）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（

）A． B． C． D．3（2024安徽）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为()A． B．C． D．4（2024高二上·全国·专题练习）（多选）下列说法中错误的是（）A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B．与是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为5（2024上海）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.【题组五一般式】1（2023高二·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点；(2)经过点两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为；(4)经过点，且平行于x轴．(5)求过点，斜率是3的直线方程.(6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.2（23-23高二·全国·课后作业）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为，；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．【题组六直线的图像】1．（2023陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（

）A． B． C． D．2（2024四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（）A．、、同号 B．，C．， D．，3（2024湖南株洲）直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4（2024山西运城·期中）已知则直线不过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5（2023·全国·单元测试）若直线不经过第二象限，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【题组七直线与坐标轴围城的面积】1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（

）A． B．C． D．2．（2023四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（

）A．或B．或C．或D．或3（2024高三·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（

）A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条4（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：(1)时，求直线l的方程．(2)当的面积最小时，求直线l的方程．5（22-23高二上·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.6（2024内蒙古呼和浩特）已知一条动直线，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.7（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半