人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第3课时）》示范教学课件

相似三角形（第3课时）人教版九年级数学下册目前我们学习了哪些判定三角形相似的方法？定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．利用三边判定三角形相似：三边成比例的两个三角形相似．利用两边和夹角判定三角形相似：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？问题有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺相似．任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，这时∠C＝∠C′吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，

，，你有什么发现？探究根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′；通过度量、计算可知，＝＝；所以△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′猜想：两角分别相等的两个三角形相似．

你能证明这个猜想吗？如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′ABCA′B′C′DE

证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D

作DE∥B′C′，交A′C′于点E．∵DE∥B′C′，

∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴∠B＝∠A′DE．∵AB＝A′D，∴△ABC≌△A′DE，∴△ABC∽△A′B′C′．两角分别相等的两个三角形相似．一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：

符号表示：

∵在△ABC

和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，

∴△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′

例1

如图，Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E

是AC

上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D．求AD

的长．

解：∵ED⊥AB，

∴∠EDA＝90°．又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC.∴＝．∴AD＝＝＝4．ABCDE归纳判定相似找两角，隐含条件很重要已知两个三角形中有一组角对应相等，只要看是否还有另一组角对应相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件．对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？问题由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．

我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？问题猜想：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

你能证明这个猜想吗？如图，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．ACBA′C′B′

分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证＝＝．若设＝＝k，则只需证＝k．

证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．由勾股定理，得BC＝，B′C′＝．∴＝＝＝

＝k，∴＝＝，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．ACBA′C′B′斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的定理：

符号表示：

∵在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，＝，

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．CBAC′B′A′

例2

如图，在

Rt△ABC

和

Rt△A′B′C′

中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且

CD∶C′D′＝AC∶A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．

证明：∵CD，C′D′

分别是两个三角形斜边上的高，∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，∴∠A＝∠A′．∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′．归纳直角三角