人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第2课时）》示范教学课件

解直角三角形及其应用

（第2课时）人教版九年级数学下册1．什么叫做解直角三角形？一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？如图，在

Rt△ABC

中，∠C

为直角，∠A，∠B，∠C

所对的边分别为

a，b，c，那么除直角∠C

外的五个元素之间有如下关系：（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；

（3）边角之间的关系上述（3）中的

A

都可以换成

B，同时把

a，b

互换．类型一、解直角三角形1．（1）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，已知

BC＝12，AC＝4

，解这个直角三角形；解：（1）在

Rt△ABC

中，

因为所以∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°．（2）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，a＝31，c＝31

，解这个直角三角形．解：（2）因为

所以∠A＝45°．所以∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°，所以∠A＝∠B．所以

b＝a＝31．已知两边解直角三角形的方法（1）已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角．（2）已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦（或余弦）值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角．归纳2．（1）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解这个直角三角形；所以

BC＝AB·sin

A＝10×sin

60°＝5

．解：（1）在

Rt△ABC

中，∠B＝90°－60°＝30°．因为

，因为

，所以

AC＝AB·cos

A＝10×cos

60°＝5．（2）在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解这个直角三角形（精确到

0.001，sin

35°≈0.573

6，cos

35°≈0.819

2，tan

35°≈0.700

2）．所以

．解：（2）在

Rt△ABC

中，∠B＝90°－35°＝55°．因为

，所以

BC＝AC·tan

A＝3×tan

35°≈3×0.700

2≈2.101．因为

，已知一锐角和一边解直角三角形的方法（1）已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边．（2）已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边．当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边．（在这个过程中，也可利用勾股定理求其中的某条边）

归纳类型二、“化斜为直”解非直角三角形3．如图，在

△ABC

中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2

，求

AB

的长．所以

CD＝AC·sin

30°＝

＝

，AD＝AC·cos

30°＝

＝3．所以

BD＝CD＝

．解：如图，过点

C

作

CD⊥AB

于点

D．在

Rt△ACD

中，因为∠A＝30°，在

Rt△BCD

中，因为

tan

45°＝

，所以

AB＝AD＋BD＝3＋

．D“化斜为直”解非直角三角形的方法一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高）添加辅助线，将非直角三角形分割成两个直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．若条件中有线段的比或锐角三角函数，则也可以设一个辅助未知数，列出方程求解．归纳类型三、解直角三角形与三角形面积的综合应用4．如图，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AD

平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC

的面积．解：如图，过点

D

作

DE⊥AB

于点

E．因为

AD

是∠BAC

的平分线，∠C＝90°，所以

DE＝CD＝6．在

Rt△BDE

中，BD＝12，

．又因为∠B

是锐角，所以∠B＝30°．E所以△ABC

的面积为

．在

Rt△ABC

中，BC＝BD＋CD＝18，

AC＝BC·tan

B＝

＝

，E解与三角形有关的面积问题的方法先作辅助线构造直角三角形，再利用锐角三角函数求三角形的底或高，最后利用三角形面积公式求面积．归纳5．如图所示，已知四边形

ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝30

，BC＝50

，求四边形

ABCD

的面积．在

Rt△EAB

中，AE＝AB·tan

60°＝30

×

＝90，

，解：方法

1，如图所示，延长

DA，CB

交于点

E，则∠ABE＝60°，∠E＝30°．所以

CE＝BE＋BC＝60

＋50

＝110

．类型四、运用解直角三角形求不规则图形的面积EDC＝CE·tan

30°＝

＝110，在

Rt△DCE

中，所以

S四边形ABCD＝S△DCE－S△EAB

＝

＝

．EEC＝BC·tan∠CBE＝50

×tan

30°＝50．方法

2，如图所示，过点

B

作

BE∥AD，交

CD

于点

E，过点

E

作

EF∥AB，交

AD

于点

F，则

BE⊥AB，EF⊥AD，所以四边形

ABEF

是矩形，所以∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°．在

Rt△BCE

中，

，EF＝

×(130＋100)×30

＋

×50

×50＝4

700

．所以

S四边形ABCD＝S梯形ABED＋S△BCE＝

(AD＋BE)·AB＋

BC·EC在

Rt△DEF

中，

．所以

AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130．EF用割补法求不规则图形的面积（1）分割原有图形为规则图形．（2）粘补原有图形为规则图形．（3）综合运用分割、粘补的方法，使原有图形变为规则图形．归纳类型五、解直角三角形与圆的综合性问题6．如图，在矩形

ABCD

中，点

O

在对角线

AC

上，以

OA

的长为半径的⊙O

与

AD，AC

分别交于点

E，F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线

CE

与⊙O

的位置关系，并证明你的结论；解：（1）直线

CE

与⊙O

相切．证明：连接

OE．因为四边形

ABCD

是矩形，所以

BC∥AD，∠ACB＝∠DAC．又因为∠ACB＝∠DCE，所以∠DAC＝∠DCE．因为

OA＝OE，所以∠DAC＝∠AEO＝∠DCE．因为∠DCE＋∠DEC＝90°，所以∠AEO＋∠DEC＝90°，所以∠OEC＝90°，所以直线

CE

与⊙O

相切．（2）若

tan∠ACB＝

，BC＝2，求⊙O

的半径．所以

DE＝DC·tan∠DCE＝

＝1．所以

AB＝BC·tan∠ACB＝

，解：（2）因为

，BC＝2，所以

．因为∠ACB＝∠DCE，所以

．又因为

DC＝AB＝

，在

Rt△CDE

中，

．设⊙O

的半径为