2025年高考数学二轮复习突破专项训练-直线与圆【含答案】

2025年高考数学二轮考点突破专项训练一直线与圆

一、必备知识夯实练

1.（2024浙江温州三模）已知直线/i：x+y=0,/2：ox+by+l=0,若/iJ_b,则a+b-{）

A.-lB.OC.lD.2

2.（2024河北张家口二模）已知点P（尤0,死）为圆C:f+y2=2上的动点,则直线/:无吐yoy=2与圆C的位置

关系为（）

A.相交B.相离

C.相切D.相切或相交

3.（2024广东梅州二模）若直线/:znx+〃y+»j=O将圆C:（尤-2）?+y2=4分成弧长之比为21的两部分，则直

线的斜率为（）

A而n/2V5「/V2、/V2

A--yB--c--yD-T

4.（2024全国乙，文11）已知满足V+y2-4x-2y-4=0,则尤-y的最大值是（）

A.1+芋B.4C.1+3V2D.7

5.（2024山东潍坊模拟）若点M是圆C:x2+y2_4x=0上的任一点，直线/:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交

于A,8两点，则/K48的最小值为（）

_2

6.（2024山东济宁二模）在平面直角坐标系中，过点尸（3,0）作圆O:（x-l）2+（y-2V3）=4的两条切线，切点

分别为A,8,则直线48的方程为（）

A.x-V^y+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x-y+3=0D.V3x+j+3=0

7.（多速题X2024广东惠州模拟）已知直线/:自子左=0与圆AfM+yMxNy+lR,则下列说法正确的是

（）

A.直线/恒过定点（1,0）

B.圆M的圆心坐标为（2,1）

C.存在实数左使得直线/与圆M相切

D.若左=1,直线/被圆M截得的弦长为2

8.（2024新高考/,6）过（0,-2）与圆d+jM/lnO相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.lB.孚

C.孚D.q

44

9.（2024福建莆田模拟）写出一个被直线x-y-0平分且与直线x+y=O相切的圆的方程:一

10.（2024江苏南京师大附中一模）过点P（3,-2）且与圆CV+V-ZxTy+kO相切的直线方程

为.

二、关键能力提升练

11.（2024广东深圳中学模拟）若圆（x-a）2+（j-3）2=20上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为6,则实数a

的取值范围是（）

A.（-®,-1y3）U（y17,+co>

、

BR•/（173万17）

C.（o,3$ug7+8）

37

D%，5）

12.（2024四川德阳模拟）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交

河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为

/+y2Wl,若将军从点尸（-1,-2）处出发，河岸线对应的直线方程为x+y=2,并假定将军只要到达军营所在

区域即回到军营，则“将军饮马，，问题中的最短总路程为（）

A.6B.5C.4D.3

13.（多选题）已知圆C:f+y2-4y+3=0,一条光线从点P（2,l谢出经x轴反射，则下列结论正确的是（）

A.圆C关于无轴对称的圆的方程为f+V+dy+Sn。

B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0

C.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点8,则|P8|+|84|=2

D.若反射光线与圆C交于两点，则△CNM面积的最大值为］

14.（多选题X2024浙江杭州、宁波4月联考）已知圆。/+声=1,尸是直线/:x-y+2=0上一点，过点P作

圆。的两条切线，切点分别为KN,则（）

A.直线龙W经过定点

的最小值为近

C.点（2,0）到直线MN的距离的最大值为|

D./MPN是锐角

15.（2024河南商丘模拟）已知圆C2过点（2,-1）且与圆G相切于点（2,1）,则圆。2的方

程为.

16.（2024山东淄博一模）在平面直角坐标系中，已知点尸（3,1）,直线y=fcv+6与圆/+产4。交于两

点，若为正三角形,则实数b=.

三、核心素养创新练

17.（2024河北邯郸一模）已知点4（0,0）,2（6,0）,符合点48到直线/的距离分别为1,3的直线方程

为.（写出一条即可）

18.（2024广东深圳一模）设a>0,A（2a,0）,B（0,2）,0为坐标原点，则以OA为弦，且与相切于点A的圆

的标准方程为;若该圆与以。2为直径的圆相交于第一象限内的点P,则点P横

坐标尤的最大值为

参考答案与解析

1.B解析因为直线/i：x+y=0,/2：〃%+Z<y+l=0,且/JL,则1,。+1乃=0,所以a+b=Q.

2.C解析由题意可得鬲+诏=2,则圆心C到直线/的距离4=暮==4=42,所以直线和圆

相切.

3.D解析如图,令直线/与圆C交于点4,民依题意,NACB=120°,而圆C的圆心C(2,0),半径

r=2,ZABC=3Q°，因此点C到直线/的距离d=rsin30°=1,于是d=即。=1,

yJjmz+nz

整理得n=±2ypini,

所以直线/的斜率％=-;=士系

4.C解析(方法一)由一+广以2口=。,得(x-2)2+(y-l)2=9,该方程表不圆心为(2,1),半径为3的圆.

设贝Ix-y-〃=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-l)2=9有公共点，则号W3,解得1-

3鱼或〃<1+3鱼，所以x-y的最大值为1+3V1

(方法二)由『+>2_4/2广4=0,得02>+(广1)2=9,令］;I:需。<°<2兀，

所以x・y=l+3cos0-3sin6=1+3V2cos(0+-y),cos(9+：)=l时,x-y的最大值为1+3a.故选C.

44

5.A解析如图，直线/的斜率为-1,倾斜角为手，故/0A8=q圆C的标准方程为(+2)2+户4,圆心

44

为C(2,0),半径为r=2.易知直线/交x轴于点4(20),所以HC|=4.

由图可知,当直线4W与圆C相切，且切点位于x轴下方时,/MA3取最小值.由圆的几何性质可

知CML4M且9必=2=口4C,则/。4/4

26

故NMAB2NOABW=；_£=摄

64612

2

6.A解析圆O:(x-l)2+(y-2g)=4的圆心为。(1,2旧),半径为2,P。的中点坐标为

I22

M2,V3),|PO|=J(3-1)2+(2V3-0)=4,则以N为圆心，尸O为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-b)=4.

因为过点尸(3,0)作圆O:(x-l)2+(y-2V3)=4的两条切线，切点分别为4,3,所以43是两圆的公共

弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x-V3y+3=0.

7.AB解析直线/:依-y-%=0变形为y=Z(x-l),故直线/恒过定点(1,0),故A正确；

圆M-JC+/-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-=4,圆心坐标为(2,1),故B正确；

令圆心(2,1)到直线l:kx-y-k=0的距离华坦=2,整理得3M+2左+3=0,由/=4-36=-32<0可得，方程

Ji+fc2

无解，故不存在实数左，使得直线/与圆/相切，故C错误；

若％=1,则直线/的方程为尤-y-l=0,圆心(2,1)在直线/:x-y-l=0上,故直线/被圆M截得的弦长为直

径4,故D错误.

故选AB.

8.B解析由/+9心-1=0,得02>+9=5,故圆心C(2,0),半径R=V5.

过点。(0,-2)作圆的切线，与圆的两个切点为48,连接463。,。,48,

则AB1.CD,ZCAD=ZCBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由几何知识得,|8。|=|4?|=逐,|C£)|=J(0-2)2+(20)2=2或.

由勾股定理得,|AD|=|BD|=J|CD|2_R2=V3.

a\BD\V3V6.a\BC\V5V10

cosi=9=玄=T'sini=两=次=丁，

、生「

si.na=2csi•na-cosa-=c2x—V1—0xV—6=-V15.故选B.

22444

9.(x-l)2+(y-l)2=2(答案不唯一)解析由题意可知，圆心过直线x-y=O,不妨设圆心坐标为(1,1),半

径为r.

又因为圆心(1,1)到直线x+y=O的距离d=,1+11=V^=r，所以(尤-1)?+01户=2符合题意.

Jl2+12

10.x=3或3x+4y-l=0解析将圆C方程化为圆的标准方程(尤-1)2+(广2)2=4,得圆心C(l,2),半径为

r=2.

当过点尸(3,-2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=3,是圆C的切线，满足题意;当过点P(3,-2)的

直线斜率存在时，可设直线方程为尹2=小-3),即日咪3h2=0,利用圆心到直线的距离等于半径得

阜坦=2,解得左即此直线方程为3x+4y-l=0.

月4

综上，满足题意的直线方程为x=3或3x+4y-l=0.

11.D解析因为圆的方程为0。)2+”3)2=20,所以圆心为(。,3),半径为2遍.又圆(+a)2+(y-3)2=20

上有四个点到直线2x-y+l=0的距离为近，所以圆心到直线2x-y+l=0的距离d<遮,所以甯<

圾即|2a-2|<5,得[<a<]

(对+U=2

12.C解析如图，设点P关于直线x+y=2的对称点为Q(x,y),则I”第2一罐得匕-上即

U+i'

2(4,3),

所以|0。|=月不可=5,则“将军饮马”问题中的最短总路程为|OQ|-1=5-1=4.

13.ABD解析对于A,由圆C方程可得V+(y-2)2=l,故圆心C(0,2),半径r=l,

...圆C关于X轴对称的圆的圆心为CQ-2),半径为1,

/.所求圆的方程为^+0+2)2=1,即f+V+、+sR,故A正确；

对于B「.•反射光线平分圆C的周长,.••反射光线经过圆心C(0,2),...入射光线所在直线经过点

。(0,-2),

kcp=^=I，二入射光线所在直线方程为y+2=|无，即3元-2y-4=0,故B正确；

对于C；反射光线经过点尸(2,1)关于x轴的对称点尸(2,-1),

.,.|P3|+|A4|=|P5|+由A|=|PA|,又|PA|=JpC|2-l=2g,.\『3|+|54|=2行,故C错误;

对于D,设NCMN=6(0<eg),则圆心C(0,2)到直线MN的距离d=sin0,：.|MA^|=2Vl-sin20=2cos

e,

11

S^CNM=-\MN\-^=sin9cos0=-sin29,

则当时,(SACNM)max=J,故D正确.故选ABD.

4Z

22

14.AB解析设P(Xo,%o+2),则以。尸为直径的圆的方程为(久-登产+⑪-竽产=染野旦，化简

得J^-XOX-(XO+2)y+y2=0,

与x1+y2=l联立，可得MN所在直线方程为xo%+(xo+2)y=l,即xo(x+y)+2y-l=O,

故可知直线MN恒过定点(3,：),故A正确；

点。到过定点(-1，)的直线MN距离的最大值为J(-j-0)2+(1-0)2=与,IMNImin=2xjl-(y)2=

VX故|MN|的最小值为VX故B正确；

当点(2,0)与定点(悔的连线与直线MN垂直时，此时点(2,0)到直线MN的距离最大，且最大值为

[(《-2)2+(/0)2=亨，故c错误;

圆心。到直线/的距离为，由于在直角三角形中,

V2/MPN=2NMPO,sinN

MPO^=上

\OP\|OP「

当点P运动到满足OPL时，此时|0尸|最小,NMPO最大，此时sinZMPO-y,ZMPO=45°,Z

MPN=90°,故D错误.故选AB.

15.(x-4)2+y2=5解析如图，过点(0,2)和(2,1)的直线方程为x+2y-4=0,以点(2,-1)和点(2,1)为端点

的线段的垂直平分线的方程为y=0.

由，]不"=°，得G(4,0),则圆C2的半径r=VFTP=迷，所以圆C2的方程为(尤-4)2+丁=5.

16.-5解析由题意可知点尸(3,1)在圆上，如图.设MN的中点为“,连接尸”,因为△PMN为正三角

形，所以PH过点。，且PHLMN,

则直线MN的斜率k=--^—=-3,y=kx+b即为y=-3x+b.

kop

因为△「；而为正三角形,所以点。为△PMN的中心油中心及重心性质知,[0"|=等=手，故

得=乎,解得匕=±5.结合点尸(3,1)在圆上,△PMN是圆的内接正三角形，可知A<0,即b=-5.

vi+y2

17.x+2&y+3=0或x-2V2y+3=0或2x+V5y-3=0或2x-d§y-3=0(写出一条即可)解析由题意可

知直线/是圆d+y2=l与圆(%-6)2+y2=9的公切线，

因为两圆外离，所以满足条件的直线/有四条,如图.

当直线/位于直线小/2位置时，由几何性质(相似三角形的性质)易知直线/过点(-3,0).

设直线I的方程为％二町-3,则7^=^=1,解得根=王2&,此时直线I的方程为九+2/丁+3=0或x-

2伤+3=0.当直线/位于直线4/4位置时油几何性质(相似三角形的性质)易知直线/过点(|,0),

|3|“

设直线/的方程为x=〃y+|,贝ij解得〃二H亭此时直线/的方程为21+遍丁